Katı Cisimler

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir su deposunun kaç litre aldığını, bir külahlı dondurmanın üstündeki topun külaha sığıp sığmayacağını ya da bir kutuyu kaplamak için kaç metrekare kâğıt gerektiğini hesaplarken katı cisimlerle uğraşırsın. TYT'de prizma ve silindirin hacmini öğrendin. AYT'de bu bilgi piramit, koni ve küre ile genişler. Bu konuda cisimlerin yüzey alanını ve hacmini, kesit ve açınım fikrini, dönel cisimleri, birleşik cisimleri ve su seviyesi problemlerini öğreneceksin. Formüller çok görünür ama hepsi "taban alanı çarpı yükseklik" fikrinin değişik biçimleridir.

1. Prizma ve silindir

Prizma: Taban alanı $A_t$, yükseklik $h$. Hacim $V=A_t\cdot h$. Yanal alan $=$ taban çevresi $\times\ h$. Toplam alan $=$ yanal alan $+2A_t$.

Dikdörtgenler prizması ($a,b,c$): $V=abc$, $A=2(ab+bc+ac)$, cisim köşegeni $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Küp (ayrıt $a$): $V=a^3$, $A=6a^2$, cisim köşegeni $a\sqrt3$.

Dik silindir (yarıçap $r$, yükseklik $h$):

Örnek: $r=3$ ve $h=5$ olan silindirin hacmi $\pi\cdot9\cdot5=45\pi$.

2. Piramit ve koni

Piramit ve koni, taban alanı ve yüksekliği aynı olan prizma ya da silindirin hacminin üçte biridir.

Piramit: $V=\dfrac13A_t\cdot h$. Yanal alan, yan yüzlerin alanlarının toplamıdır. Düzgün piramitte yan yüzler eş ikizkenar üçgendir.

Dik koni (yarıçap $r$, yükseklik $h$, ana doğru (eğik yükseklik) $l=\sqrt{r^2+h^2}$):

Örnek: $r=6$, $h=8$ olan koni için $l=\sqrt{36+64}=10$. Yanal alan $60\pi$, taban $36\pi$, toplam alan $96\pi$. Hacim $\dfrac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi$.

Koni açınımı: Yanal yüzey, yarıçapı $l$ ve yay uzunluğu $2\pi r$ olan bir daire dilimidir. Dilimin merkez açısı $\theta=\dfrac{2\pi r}{l}$ radyandır.

Kesik koni ve kesik piramit: Üstten tabana paralel kesilince kalan parçadır. Kesilen küçük cisim ile bütün cisim benzerdir.

3. Küre

Yarıçapı $r$ olan kürede:

$V=\dfrac43\pi r^3,\qquad A=4\pi r^2$

• Kürenin büyük dairesinin alanı $\pi r^2$, çevresi $2\pi r$'dir.
• Bir düzlemle kesişimi bir dairedir. Merkezden $d$ uzaklıktaki düzlemin kestiği dairenin yarıçapı $\sqrt{r^2-d^2}$.
• Küre, yarım dairenin çapı etrafında döndürülmesiyle oluşur.

Örnek: Hacmi $288\pi$ olan kürede $\dfrac43r^3=288$ ve $r^3=216$, $r=6$. Yüzey alanı $4\pi\cdot36=144\pi$.

4. Dönel cisimler

Bir düzlem şekli bir eksen etrafında döndürülünce dönel cisim oluşur.

Dik üçgenin hipotenüs etrafında dönmesi iki konin birleşimini oluşturur.

5. Birleşik cisimler ve su seviyesi

Birleşik cisim: Cisimleri parçalarına ayır, hacimleri topla ya da çıkar. Ortak yüzeyin alanını toplam yüzey alanından düşmeyi unutma.

Su seviyesi: Kaba bir cisim batırılınca su, cismin hacmi kadar yükselir. Yükselme miktarı $\Delta h=\dfrac{V_{cisim}}{A_{taban}}$.

Örnek: Yarıçapı 4, su yüksekliği 6 olan silindirik kaba yarıçapı 3 olan bir küre atılıyor (tamamen batıyor). Kürenin hacmi $\dfrac43\pi\cdot27=36\pi$. Taban alanı $16\pi$. Yükselme $\dfrac{36\pi}{16\pi}=\dfrac94$ ve yeni yükseklik $6+\dfrac94=\dfrac{33}{4}$.

6. Benzer cisimler

İki cismin uzunluk oranı $k$ ise alan oranı $k^2$, hacim oranı $k^3$ olur.

Örnek: İki kürenin yarıçapları 2 ve 6 ise oran $k=3$. Yüzey alanları oranı 9, hacimleri oranı 27.

Üstten kesilen koni: Yüksekliğin yarısında tabana paralel kesilirse üstteki küçük koninin hacmi bütünün $\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18$'idir.

7. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.