Yolumnet

AYT · Matematik

Çemberin Analitik İncelemesi

Yaklaşık 14 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-24

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir cep telefonunun baz istasyonuna ne kadar uzakta olduğunu ve sinyalin hangi bölgeyi kapsadığını düşün. İstasyon bir merkezdir, sinyalin ulaştığı bölge bir dairedir. Bir koordinat düzleminde bu bölgenin sınırı bir çemberdir ve denklemle yazılabilir. Bu konuda çemberin denklemini, genel denklemden merkez ve yarıçapı bulmayı, bir noktanın ve doğrunun çembere göre konumunu, teğet ve kiriş problemlerini ve iki çemberin birbirine göre durumunu öğreneceksin. Önceki konu olan analitik geometri, burada sürekli kullanılacak.

Hedefler

  1. Merkezi ve yarıçapı bilinen çemberin denklemini yazmak.
  2. Genel denklemden merkez ve yarıçapı bulmak.
  3. Nokta ve çemberin konumunu belirlemek.
  4. Doğru ve çemberin konumunu uzaklıkla incelemek, kiriş uzunluğunu bulmak.
  5. Teğet denklemini yazmak.
  6. İki çemberin birbirine göre durumunu yarıçaplar ve merkezler arası uzaklıkla belirlemek.
Çemberin Analitiği · Matematiğin Güler Yüzü

1. Çemberin denklemi

Standart biçim: Merkezi M(a,b)M(a,b), yarıçapı rr olan çember

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Merkez orijinde ise x2+y2=r2x^2+y^2=r^2.

Genel biçim: x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 denkleminde

Merkez (−D2,−E2),r2=D2+E2−4F4\text{Merkez }\left(-\dfrac D2,-\dfrac E2\right),\qquad r^2=\dfrac{D^2+E^2-4F}{4}

Bunun çember belirtmesi için D2+E2−4F>0D^2+E^2-4F>0 olmalıdır.

Örnek: x2+y2−6x+4y−12=0x^2+y^2-6x+4y-12=0 için tam kareye tamamla: (x−3)2+(y+2)2=12+9+4=25(x-3)^2+(y+2)^2=12+9+4=25. Merkez (3,−2)(3,-2) ve r=5r=5.

2. Nokta ve çemberin konumu

P(x0,y0)P(x_0,y_0) noktası ve (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 çemberi için ∣PM∣2\lvert PM\rvert^2 değerini yarıçapın karesi ile karşılaştır:

Durum Konum
∣PM∣<r\lvert PM\rvert<r Çemberin içinde
∣PM∣=r\lvert PM\rvert=r Çember üzerinde
∣PM∣>r\lvert PM\rvert>r Çemberin dışında

Pratik: Noktanın koordinatlarını çemberin denkleminde yerine yaz. Sonuç <r2<r^2 ise iç, =r2=r^2 ise üzerinde, >r2>r^2 ise dıştadır.

3. Doğru ve çemberin konumu

Merkezden dd doğrusuna olan uzaklığa ℓ\ell dersen (ℓ=∣aa0+bb0+c∣a2+b2\ell=\dfrac{\lvert aa_0+bb_0+c\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}):

Uzaklık Konum
ℓ>r\ell>r Doğru çemberi kesmez
ℓ=r\ell=r Doğru çembere teğet
ℓ<r\ell<r Doğru çemberi iki noktada keser

Kiriş uzunluğu: Doğru çemberi iki noktada kesiyorsa kirişin uzunluğu

∣AB∣=2r2−ℓ2\lvert AB\rvert=2\sqrt{r^2-\ell^2}

Örnek: x2+y2=25x^2+y^2=25 çemberi ve 3x+4y−15=03x+4y-15=0 doğrusu için ℓ=155=3\ell=\dfrac{15}{5}=3 ve kiriş 225−9=82\sqrt{25-9}=8.

Cebirsel yol: Doğrunun denklemini çemberde yerine yazarsan xx ya da yy için ikinci dereceden bir denklem çıkar. Δ>0\Delta>0 ise iki nokta, Δ=0\Delta=0 ise teğet, Δ<0\Delta<0 ise kesişme yok.

Örnek: x2+y2=8x^2+y^2=8 çemberine y=x+ky=x+k doğrusu teğetse ℓ=∣k∣2=22\ell=\dfrac{\lvert k\rvert}{\sqrt2}=2\sqrt2 olur ve ∣k∣=4\lvert k\rvert=4.

Doğrunun çembere göre üç konumu: kesmez, teğet, iki noktada keser
Merkezden doğruya uzaklık d ile yarıçap r karşılaştırılır

4. Teğet denklemi

Çember üzerindeki noktada teğet: x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 çemberinin (x0,y0)(x_0,y_0) noktasındaki teğeti

x0x+y0y=r2x_0x+y_0y=r^2

Genel durumda (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 için (x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2.

Teğet, yarıçapa diktir: Merkez ile değme noktasını birleştiren doğrunun eğimi ile teğetin eğimi çarpımı −1-1'dir.

Dışardaki noktadan teğetler: Dışarıdaki bir noktadan çembere iki teğet çizilir. Teğet uzunluğu ∣PM∣2−r2\sqrt{\lvert PM\rvert^2-r^2} olur ve iki teğet parçası eşittir.

5. İki çemberin birbirine göre konumu

Merkezleri arasındaki uzaklık dd, yarıçapları r1>r2r_1>r_2 olsun.

Durum Şart
Birbirinin dışında, kesişmez d>r1+r2d>r_1+r_2
Dıştan teğet d=r1+r2d=r_1+r_2
İki noktada keser r1−r2<d<r1+r2r_1-r_2<d<r_1+r_2
İçten teğet d=r1−r2d=r_1-r_2
Biri diğerinin içinde d<r1−r2d<r_1-r_2
Eş merkezli d=0d=0

Örnek: (x−1)2+(y−2)2=9(x-1)^2+(y-2)^2=9 ve (x−5)2+(y−5)2=r2(x-5)^2+(y-5)^2=r^2 çemberlerinin merkezleri (1,2)(1,2) ve (5,5)(5,5) olup d=16+9=5d=\sqrt{16+9}=5. Dıştan teğet olmaları için 3+r=53+r=5 ve r=2r=2. İçten teğet olmaları için r−3=5r-3=5 ve r=8r=8.

Ortak kiriş: İki çemberin denklemleri taraf tarafa çıkarılırsa kesişim noktalarından geçen doğru bulunur.

6. Çemberde sık karşılaşılan durumlar

  • Bir çember xx eksenine teğetse yarıçap, merkezin ordinatının mutlak değeridir: r=∣b∣r=\lvert b\rvert.
  • yy eksenine teğetse r=∣a∣r=\lvert a\rvert.
  • İki eksene birden teğet çemberde merkez (r,r)(r,r) biçimindedir (birinci bölgede).
  • Çapın uç noktaları AA ve BB ise merkez, orta noktadır ve r=∣AB∣2r=\dfrac{\lvert AB\rvert}{2}.

7. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Çember denklemi (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
Genel denklem Merkez (−D2,−E2)\left(-\dfrac D2,-\dfrac E2\right)
Doğru-çember ℓ\ell ile rr'yi karşılaştır
Kiriş 2r2−ℓ22\sqrt{r^2-\ell^2}
Teğet x0x+y0y=r2x_0x+y_0y=r^2
İki çember dd ile r1±r2r_1\pm r_2
Eksene teğet r=∣b∣r=\lvert b\rvert ya da ∣a∣\lvert a\rvert

Mini test

Soru 1

x2+y2−6x+4y−12=0x^2+y^2-6x+4y-12=0 çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

  1. A1
  2. B5
  3. C13
  4. D25
  5. E37
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. Genel denklemde D=−6D=-6, E=4E=4, F=−12F=-12.
  2. r2=D2+E2−4F4=36+16+484=25r^2=\dfrac{D^2+E^2-4F}{4}=\dfrac{36+16+48}{4}=25.
  3. r=5r=5. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: 1 FF'nin işareti ters alınmış, 9+4−129+4-12 / 13 FF unutulmuş, 9+49+4 / 25 yarıçapın karesi yarıçap sanılmış / 37 FF iki kez eklenmiş, 25+1225+12.

Soru 2

x2+y2=8x^2+y^2=8 çemberine y=x+ky=x+k doğrusu teğet olduğuna göre kk'nin pozitif değeri kaçtır?

  1. A2
  2. B222\sqrt2
  3. C4
  4. D8
  5. E16
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Doğru x−y+k=0x-y+k=0 biçiminde yazılır. Merkez orijin ve r=22r=2\sqrt2.
  2. Teğet olması için merkezin doğruya uzaklığı yarıçapa eşittir: ∣k∣1+1=22\dfrac{\lvert k\rvert}{\sqrt{1+1}}=2\sqrt2.
  3. ∣k∣=22⋅2=4\lvert k\rvert=2\sqrt2\cdot\sqrt2=4 ve k=4k=4. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 2 yarıçap 2\sqrt2 sanılmış, ∣k∣2=2\dfrac{\lvert k\rvert}{\sqrt2}=\sqrt2 çözülmüş / 222\sqrt2 ∣k∣\lvert k\rvert doğrudan yarıçapa eşitlenmiş / 8 yarıçapın karesi kk sanılmış / 16 k22=8\dfrac{k^2}{2}=8 çözülüp k2k^2 değeri yazılmış.

Soru 3

x2+y2=25x^2+y^2=25 çemberi ile 3x+4y−15=03x+4y-15=0 doğrusunun kesişiminden oluşan kirişin uzunluğu kaç birimdir?

  1. A3
  2. B4
  3. C5
  4. D6
  5. E8
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. Merkez orijindir ve r=5r=5. Merkezden doğruya uzaklık ℓ=∣−15∣9+16=3\ell=\dfrac{\lvert-15\rvert}{\sqrt{9+16}}=3.
  2. ℓ<r\ell<r olduğundan doğru çemberi iki noktada keser.
  3. Kiriş uzunluğu 2r2−ℓ2=225−9=82\sqrt{r^2-\ell^2}=2\sqrt{25-9}=8. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: 3 merkezden doğruya uzaklık yazılmış / 4 yarım kiriş bulunup 2 ile çarpılmamış / 5 yarıçap yazılmış / 6 uzaklığın iki katı alınmış.

Soru 4

Merkezi (1,2)(1,2) ve yarıçapı 3 olan çember ile merkezi (5,5)(5,5) ve yarıçapı rr olan çember dıştan teğet ise rr kaçtır?

  1. A2
  2. B3
  3. C5
  4. D8
  5. E15
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. Merkezler arası uzaklık d=(5−1)2+(5−2)2=25=5d=\sqrt{(5-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{25}=5.
  2. Dıştan teğetlikte d=r1+r2d=r_1+r_2 olur: 5=3+r5=3+r.
  3. r=2r=2. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 3 diğer çemberin yarıçapı tekrar edilmiş / 5 uzaklık yarıçap sanılmış / 8 içten teğet formülü kullanılmış, r−3=5r-3=5 / 15 uzaklık ile yarıçap çarpılmış.

Kendini dene

Kendini dene

Merkezi (2,−1)(2,-1), yarıçapı 4 olan çemberin denklemi nedir?

(x−2)2+(y+1)2=16(x-2)^2+(y+1)^2=16.

x2+y2=9x^2+y^2=9 çemberinin yarıçapı kaçtır?

d=rd=r ise doğru çembere nasıl bir konumdadır?

Teğettir.

(3,4)(3,4) noktası x2+y2=25x^2+y^2=25 çemberine göre nerededir?

Üzerinde, çünkü 9+16=259+16=25.

x2+y2=4x^2+y^2=4 ve x2+y2=1x^2+y^2=1 çemberleri nasıl bir konumdadır?

Eş merkezli, biri diğerinin içinde.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Matematik dersinin diğer konuları