Yolumnet

AYT · Matematik

İntegral

Yaklaşık 15 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-24

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir su deposunun içine saniyede ne kadar su aktığını biliyorsun ve bir dakika sonra depoda ne kadar su toplandığını bulmak istiyorsun. Ya da bir arabanın hızını biliyorsun ve ne kadar yol aldığını hesaplamak istiyorsun. Bu iki problem de bir değişim hızından toplam miktarı bulmaktır. Bu işlemin adı integraldir. Türev "bir şey ne kadar hızlı değişiyor?" sorusunun cevabıdır. İntegral bu sorunun tersidir: "Hızı bu olan şey toplamda ne kadar değişti?" Bu konuda belirsiz ve belirli integrali, integral kurallarını, eğri altındaki alanı ve dönel cisimlerin hacmini öğreneceksin.

Hedefler

  1. Belirsiz integralin türevin tersi olduğunu bilmek.
  2. Temel integral formüllerini ve değişken değiştirmeyi kullanmak.
  3. Belirli integralin özelliklerini bilmek ve hesaplamak.
  4. Eğri ile eksen arasında kalan alanı bulmak.
  5. İki eğri arasındaki alanı bulmak.
  6. Dönel cismin hacmini hesaplamak.
İntegral · Matematiğin Güler Yüzü

1. Belirsiz integral

F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) ise FF'ye ff'nin bir ters türevi denir ve

∫f(x) dx=F(x)+c\int f(x)\,dx=F(x)+c

yazılır. cc keyfi sabittir, çünkü sabitin türevi sıfırdır.

Temel formüller:

Fonksiyon İntegrali
kk (sabit) kx+ckx+c
xnx^n (n≠−1n\ne-1) xn+1n+1+c\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c
1x\dfrac1x ln⁡∣x∣+c\ln\lvert x\rvert+c
exe^x ex+ce^x+c
sin⁡x\sin x −cos⁡x+c-\cos x+c
cos⁡x\cos x sin⁡x+c\sin x+c
1cos⁡2x\dfrac{1}{\cos^2x} tan⁡x+c\tan x+c

Kurallar: ∫(f±g)=∫f±∫g\int(f\pm g)=\int f\pm\int g ve ∫k f=k∫f\int k\,f=k\int f. Çarpımın ve bölümün integrali, ayrı ayrı integrallerin çarpımı ya da bölümü değildir.

2. Değişken değiştirme

İçteki ifadenin türevi de integralin içinde çarpan olarak duruyorsa u=g(x)u=g(x) denir.

Örnek: ∫2x(x2+1)3 dx\displaystyle\int2x(x^2+1)^3\,dx için u=x2+1u=x^2+1 ve du=2x dxdu=2x\,dx. İntegral ∫u3 du=u44+c=(x2+1)44+c\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+c=\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+c.

Doğrusal içteki ifade: ∫(3x+1)5dx=(3x+1)66⋅3+c\displaystyle\int(3x+1)^5dx=\dfrac{(3x+1)^6}{6\cdot3}+c. İçteki ifadenin katsayısına bölersin.

3. Belirli integral

ff, [a,b][a,b] aralığında sürekli ve FF onun bir ters türevi ise

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)

(Analizin temel teoremi). Belirli integralin sonucu bir sayıdır ve +c+c yazılmaz.

Örnek: ∫02(3x2−2x+1) dx=[x3−x2+x]02=(8−4+2)−0=6\displaystyle\int_0^2(3x^2-2x+1)\,dx=\Big[x^3-x^2+x\Big]_0^2=(8-4+2)-0=6.

Özellikler:

  • ∫aaf=0\displaystyle\int_a^af=0 ve ∫abf=−∫baf\displaystyle\int_a^bf=-\int_b^af
  • ∫abf=∫acf+∫cbf\displaystyle\int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf
  • ff çift ise ∫−aaf=2∫0af\displaystyle\int_{-a}^af=2\int_0^af
  • ff tek ise ∫−aaf=0\displaystyle\int_{-a}^af=0
  • ∫ab∣f∣\displaystyle\int_a^b\lvert f\rvert için işaretin değiştiği noktada aralığı böl.

4. Alan hesabı

Eksen ile eğri arasındaki alan: ff aralıkta işaret değiştirmiyorsa A=∣∫abf(x) dx∣A=\left\lvert\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\right\rvert. İşaret değiştiriyorsa her bölge ayrı hesaplanıp mutlak değerleri toplanır.

Örnek: y=x2−4y=x^2-4 ile xx ekseni arasında kalan alan için x=±2x=\pm2 kesim noktalarıdır. Bu aralıkta eğri eksenin altındadır:

A=∫−22(4−x2) dx=2[4x−x33]02=2(8−83)=323A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=2\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2=2\left(8-\dfrac83\right)=\dfrac{32}{3}

İki eğri arasındaki alan: Üstteki fonksiyondan alttakini çıkar, kesim noktalarında sınır al:

A=∫ab[f(x)−g(x)]dx(f≥g)A=\int_a^b\left[f(x)-g(x)\right]dx\quad(f\ge g)

Örnek: y=xy=x ve y=x2y=x^2 eğrileri x=0x=0 ve x=1x=1'de kesişir. Arada x≥x2x\ge x^2 olduğundan A=∫01(x−x2) dx=12−13=16A=\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16.

5. Dönel cismin hacmi

y=f(x)y=f(x) eğrisi [a,b][a,b] aralığında xx ekseni etrafında döndürülürse oluşan cismin hacmi

V=π∫ab[f(x)]2dxV=\pi\int_a^b\left[f(x)\right]^2dx

Örnek: y=xy=\sqrt{x} eğrisi 0≤x≤40\le x\le4 aralığında döndürülürse V=π∫04x dx=π[x22]04=8πV=\pi\displaystyle\int_0^4x\,dx=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.

Not: Hacimde fonksiyonun karesi alınır. Bu, dairesel kesitin alanı πr2\pi r^2'den gelir.

6. Fizik ve günlük hayattan örnekler

  • Hız-zaman grafiğinin altındaki alan yer değiştirmedir: ∫t1t2v dt\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}v\,dt.
  • Kuvvet-yol grafiğinin altındaki alan iştir.
  • Debi (birim zamandaki hacim) integrali toplam hacmi verir.

Örnek: v(t)=3t2v(t)=3t^2 m/s ise ilk 2 saniyede yer değiştirme ∫023t2dt=[t3]02=8\displaystyle\int_0^23t^2dt=[t^3]_0^2=8 metredir.

7. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Ters türev F′=fF'=f, sonuna +c+c
Kuvvet xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}
Belirli integral F(b)−F(a)F(b)-F(a)
Çift / tek 2∫0a2\int_0^a / 0
Alan Üstten alttakini çıkar
Eksenin altı İntegral negatif, alan pozitif
Hacim π∫f2 dx\pi\int f^2\,dx

Mini test

Soru 1

∫02(3x2−2x+1) dx\displaystyle\int_0^2(3x^2-2x+1)\,dx integralinin değeri kaçtır?

  1. A6
  2. B8
  3. C9
  4. D12
  5. E14
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. Ters türev F(x)=x3−x2+xF(x)=x^3-x^2+x.
  2. F(2)−F(0)=(8−4+2)−0=6F(2)-F(0)=(8-4+2)-0=6. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 8 yalnızca 3x23x^2 teriminin integrali alınmış / 9 integral yerine f(2)=12−4+1f(2)=12-4+1 hesaplanmış / 12 sonuç üst sınırla çarpılmış / 14 −x2-x^2 terimi pozitif alınmış, 8+4+28+4+2.

Soru 2

∫2x (x2+1)3 dx\displaystyle\int2x\,(x^2+1)^3\,dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? (cc sabit)

  1. A(x2+1)4+c(x^2+1)^4+c
  2. B(x2+1)44+c\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+c
  3. C(x2+1)48x+c\dfrac{(x^2+1)^4}{8x}+c
  4. D(x2+1)33+c\dfrac{(x^2+1)^3}{3}+c
  5. E2x(x2+1)44+c\dfrac{2x(x^2+1)^4}{4}+c
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. u=x2+1u=x^2+1 denirse du=2x dxdu=2x\,dx olur.
  2. İntegral ∫u3 du=u44+c\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+c.
  3. uu yerine x2+1x^2+1 yazılırsa (x2+1)44+c\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+c. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: (x2+1)4+c(x^2+1)^4+c üssün artırılmasıyla gelen 44'e bölme unutulmuş / (x2+1)48x+c\dfrac{(x^2+1)^4}{8x}+c 2x2x çarpanına göre bölme yapılmış / (x2+1)33+c\dfrac{(x^2+1)^3}{3}+c üs artırılmamış / 2x(x2+1)44+c\dfrac{2x(x^2+1)^4}{4}+c 2x2x çarpanı sonuçta bırakılmış.

Soru 3

y=x2−4y=x^2-4 eğrisi ile xx ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A−323-\dfrac{32}{3}
  2. B163\dfrac{16}{3}
  3. C8
  4. D323\dfrac{32}{3}
  5. E16
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. Kesim noktaları x=−2x=-2 ve x=2x=2. Bu aralıkta eğri xx ekseninin altındadır.
  2. A=∫−22(4−x2) dx=2[4x−x33]02=2(8−83)=323A=\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=2\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2=2\left(8-\dfrac83\right)=\dfrac{32}{3}. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: −323-\dfrac{32}{3} integralin işareti alan sanılmış, alan negatif olamaz / 163\dfrac{16}{3} yalnızca 00 ile 22 arası alınmış / 8 4x4x terimi hesaplanıp kübik terim unutulmuş / 16 −x33-\dfrac{x^3}{3} terimi atlanmış, 2⋅82\cdot8.

Soru 4

y=xy=\sqrt{x} eğrisi 0≤x≤40\le x\le4 aralığında xx ekseni etrafında döndürülüyor. Oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür?

  1. A4π4\pi
  2. B16π3\dfrac{16\pi}{3}
  3. C8π8\pi
  4. D16π16\pi
  5. E32π32\pi
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Hacim formülü V=π∫04(x)2dx=π∫04x dxV=\pi\displaystyle\int_0^4\left(\sqrt{x}\right)^2dx=\pi\int_0^4x\,dx.
  2. π[x22]04=π⋅8=8π\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4=\pi\cdot8=8\pi. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 4π4\pi üst sınır 2 gibi hesaplanmış / 16π3\dfrac{16\pi}{3} fonksiyonun karesi alınmamış, π∫x dx\pi\int\sqrt{x}\,dx / 16π16\pi x22\dfrac{x^2}{2}'deki 22'ye bölme unutulmuş / 32π32\pi 2π2\pi ile çarpılıp bölme yapılmamış.

Kendini dene

Kendini dene

∫x2 dx\displaystyle\int x^2\,dx nedir?

x33+c\dfrac{x^3}{3}+c.

∫132 dx\displaystyle\int_1^3 2\,dx kaçtır?

2x∣13=42x\big|_1^3=4.

∫cos⁡x dx\displaystyle\int\cos x\,dx nedir?

sin⁡x+c\sin x+c.

ff tek fonksiyon ise ∫−33f(x) dx\displaystyle\int_{-3}^{3}f(x)\,dx kaçtır?

Hız-zaman grafiğinin altındaki alan neyi verir?

Yer değiştirmeyi.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Matematik dersinin diğer konuları