Limit ve Süreklilik

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir arabanın hız göstergesi, tam o anda kaç kilometre hızla gittiğini gösterir. Ama hız "yol bölü zaman" demektir ve bir anda geçen zaman sıfırdır. Sıfıra bölemediğimiz halde "anlık hız" nasıl bulunur? Cevap limittir: Zaman aralığını sıfıra yaklaştırırken oranın neye yaklaştığına bakarsın. Limit, bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken aldığı değeri anlatır. Süreklilik ise grafiğin kalemi kaldırmadan çizilebilmesidir. Bu konu türevin ve integralin temelidir.

1. Limit kavramı

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$, $x$, $a$'ya yaklaşırken ($x\ne a$) $f(x)$'in $L$'ye yaklaştığını anlatır. $f(a)$ değerinin ne olduğu ya da tanımlı olup olmadığı limiti etkilemez.

Soldan ve sağdan limit:

• $\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)$: $a$'ya sol taraftan yaklaşırken.
• $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)$: $a$'ya sağ taraftan yaklaşırken.

Limitin var olması için soldan ve sağdan limit eşit olmalıdır.

Örnek: $f(x)=\begin{cases}x+1 & x<2\\ 5-x & x\ge2\end{cases}$ için $\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)=3$ ve $\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=3$. Limit 3'tür, $f(2)=3$ de olur.

2. Limit kuralları

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$ ve $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=M$ ise

• $\displaystyle\lim(f\pm g)=L\pm M$
• $\displaystyle\lim(f\cdot g)=L\cdot M$
• $\displaystyle\lim\dfrac fg=\dfrac LM$ ($M\ne0$)
• $\displaystyle\lim\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}$ (kök tanımlıysa)
• $\displaystyle\lim c\cdot f(x)=cL$

Polinomlarda limit, değeri yerine koymak demektir.

3. Belirsizlikler

$\dfrac00$ belirsizliği: Pay ve payda aynı anda sıfır oluyorsa ortak çarpan vardır.

Örnek: $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}=\lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x-3)=-1$.

Kök varsa eşlenikle çarp: $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ için pay ve paydayı $\sqrt{x+4}+2$ ile çarp: $\dfrac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\dfrac14$.

$\dfrac\infty\infty$ belirsizliği ($x\to\pm\infty$, rasyonel fonksiyon):

Örnek: $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-5x+1}{2x^2+x-7}=\dfrac32$.

$\infty-\infty$: Kök varsa eşlenikle çarp. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\dfrac12$.

4. Trigonometrik limitler

$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$

Kural: İçteki ifade ile paydaki aynıysa sonuç 1'dir. $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{bx}=\dfrac ab$.

Örnek: $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan4x}{2x}=\lim\dfrac{\tan4x}{4x}\cdot\dfrac{4x}{2x}=1\cdot2=2$.

5. Süreklilik

$f$ fonksiyonu $x=a$ noktasında sürekli ise üç koşul birlikte sağlanır:

1. $f(a)$ tanımlıdır.
2. $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ vardır.
3. $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Süreksizlik çeşitleri:

Sürekli fonksiyonlar: Polinomlar her yerde, rasyonel fonksiyonlar paydayı sıfır yapmayan noktalarda, $\sin$ ve $\cos$ her yerde süreklidir. Sürekli iki fonksiyonun toplamı, çarpımı ve (payda sıfır değilse) bölümü süreklidir.

Parametre bulma örneği: $f(x)=\begin{cases}x+a & x<1\\ 5 & x=1\\ bx-1 & x>1\end{cases}$ fonksiyonu $x=1$'de sürekli ise soldan limit $1+a=5$ ve $a=4$, sağdan limit $b-1=5$ ve $b=6$. $a+b=10$.

6. Asimptotlar

• Yatay asimptot: $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ ise $y=L$.
• Dikey asimptot: Payda sıfır, pay sıfır değilse $x=a$.

Örnek: $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ için $x=3$ dikey, $y=2$ yatay asimptottur.

7. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.