Diziler

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir bankadan çektiğin kredinin aylık taksitlerini, bir bakteri kolonisinin saat saat çoğalmasını ya da bir merdivenin basamak yüksekliklerini düşün. Hepsi bir sıra ile dizilmiş sayılardır. Matematikte böyle sıralı sayı listesine dizi denir. Bu konuda dizinin tanımını, aritmetik ve geometrik dizileri, terim ve toplam formüllerini, sonsuz geometrik serinin toplamını ve toplam sembolünü ($\sum$) öğreneceksin. Diziler, limit ve integrale geçiş için önemli bir köprüdür.

1. Dizi kavramı

$a:\mathbb{N}^+\to\mathbb{R}$ fonksiyonuna dizi denir. $a(n)=a_n$ yazılır ve $n$. terim anlamına gelir.

Genel terim örnekleri:

• $a_n=3n-2$ ise $1,4,7,10,\dots$
• $a_n=2^n$ ise $2,4,8,16,\dots$
• $a_n=(-1)^n$ ise $-1,1,-1,1,\dots$

Terimler arası ilişki: $a_n$ ile $S_n$ (ilk $n$ terimin toplamı) arasında $a_n=S_n-S_{n-1}$ ($n\ge2$) ve $a_1=S_1$ bağıntısı vardır.

Monotonluk: Her $n$ için $a_{n+1}>a_n$ ise dizi artan, $a_{n+1}<a_n$ ise azalandır.

2. Aritmetik dizi

Ardışık terimler arasındaki fark sabit ise dizi aritmetiktir. Bu sabite ortak fark ($d$) denir.

$a_n=a_1+(n-1)d,\qquad a_n=a_k+(n-k)d$

Toplam:

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

Özellikler:

• Ortadaki terim, yanındaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır: $a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.
• Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı sabittir.

Örnek: $a_3=7$ ve $a_7=19$ ise $4d=12$ ve $d=3$. $a_1=7-6=1$ ve $a_{10}=1+9\cdot3=28$.

Toplam örneği: $a_n=3n-2$ için ilk terim 1, yirminci terim $58$. $S_{20}=\dfrac{20(1+58)}{2}=590$.

3. Geometrik dizi

Ardışık terimlerin oranı sabit ise dizi geometriktir. Bu sabite ortak çarpan ($r$) denir.

$a_n=a_1r^{n-1},\qquad a_n=a_kr^{n-k}$

Toplam: $r\ne1$ için

$S_n=a_1\dfrac{r^n-1}{r-1}=a_1\dfrac{1-r^n}{1-r}$

Özellik: Ortadaki terim, yanındaki iki terimin geometrik ortalamasıdır: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.

Örnek: $a_2=6$ ve $a_5=162$ ise $r^3=\dfrac{162}{6}=27$ ve $r=3$. $a_1=2$ ve $a_7=2\cdot3^6=1458$.

4. Sonsuz geometrik seri

Terim sayısı sonsuz olan geometrik toplam, yalnızca $\lvert r\rvert<1$ ise bir sayıya yaklaşır:

$a_1+a_1r+a_1r^2+\dots=\dfrac{a_1}{1-r}$

Örnek: $10+5+\dfrac52+\dots$ serisinde $a_1=10$ ve $r=\dfrac12$. Toplam $\dfrac{10}{1-\frac12}=20$.

Tekrar eden ondalık sayılar: $0{,}\overline{3}=0{,}3+0{,}03+0{,}003+\dots=\dfrac{0{,}3}{1-0{,}1}=\dfrac13$.

Sıçrayan top problemi: Bir top $h$ yüksekten düşüp her seferinde önceki yüksekliğin $r$ katı kadar sıçrıyorsa toplam yol $h+2h\cdot\dfrac{r}{1-r}$ olur.

5. Toplam sembolü

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\dots+a_n$ biçiminde gösterilir.

Özellikler:

• $\displaystyle\sum(a_k+b_k)=\sum a_k+\sum b_k$
• $\displaystyle\sum c\,a_k=c\sum a_k$
• $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=nc$ (sabit toplamı terim sayısı çarpı sabit)

Bilinen toplamlar:

Örnek: İlk 20 tek sayının toplamı $20^2=400$.

Teleskopik toplam: $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ yazılırsa ara terimler birbirini götürür. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}=1-\dfrac{1}{n+1}$.

6. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.