Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık

Bu konuda ne öğreneceksin

Sınıfta bir başkan ve bir yardımcı seçerken sıra önemlidir, çünkü "Ali başkan, Ayşe yardımcı" ile "Ayşe başkan, Ali yardımcı" farklı durumlardır. İki kişilik bir nöbet ekibi seçerken ise sıra önemsizdir. İşte permütasyon ve kombinasyon bu farktan doğar. Olasılık ise bu saymaların oran olarak kullanılmasıdır. Bu konuda sayma yöntemlerini, permütasyon ve kombinasyonu, binom açılımını ve olasılık hesaplarını öğreneceksin. Bu konuda iyi bir sınıflandırma yapmak, yani hangi durumda hangi yöntemin kullanılacağını görmek, formül bilmekten daha önemlidir.

1. Sayma kuralları

• Toplama kuralı: İki iş birlikte yapılamıyorsa ($A$ ya da $B$), yollar toplanır. $m+n$.
• Çarpma kuralı: İki iş art arda yapılıyorsa ($A$ ve sonra $B$), yollar çarpılır. $m\cdot n$.

Faktöriyel: $n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$, $0!=1$.

Örnek: 3 gömlek ve 4 pantolonla $3\cdot4=12$ farklı kombin olur. Bir gömlek ya da bir ceket seçecek olsan $3+2=5$ seçenek olur.

2. Permütasyon

$n$ elemanın $r$ tanesinin sıralı seçimi:

$P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$

Tekrarlı permütasyon: $n$ elemanın içinde $a$, $b$, $c$ tane aynı eleman varsa $\dfrac{n!}{a!\,b!\,c!}$.

Örnek: ANKARA kelimesinde 6 harf var ve A harfi 3 kez geçer. Yer değiştirmeyle $\dfrac{6!}{3!}=120$ farklı dizilim yazılır.

Dairesel permütasyon: $n$ elemanın yuvarlak masaya dizilişi $(n-1)!$. Masa çevrilebilir olduğu için bir kişiyi sabitleyip diğerlerini dizeriz. Anahtarlık gibi çevrilip ters çevrilebilen dizilişte $\dfrac{(n-1)!}{2}$ olur.

Şartlı dizilişler: Yan yana olması gereken elemanları bir paket say, paketin içini ayrıca say. Yan yana gelmesi istenmeyenlerde önce hepsini say, yan yana gelenleri çıkar.

3. Kombinasyon

$n$ elemanın $r$ tanesinin sırasız seçimi:

$C(n,r)=\dbinom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Özellikler:

• $\dbinom{n}{r}=\dbinom{n}{n-r}$
• $\dbinom{n}{0}=\dbinom{n}{n}=1$
• $\dbinom{n}{r}+\dbinom{n}{r+1}=\dbinom{n+1}{r+1}$ (Pascal)
• Toplam alt küme sayısı: $2^n$

Örnek: 7 kişilik gruptan 2 kişilik temsilci grubu $\dbinom{7}{2}=21$ yolla seçilir. Cinsiyet şartı varsa gruplar ayrı ayrı seçilir ve çarpılır: 6 erkek ve 4 kızdan 2 erkek, 2 kız seçilirse $\dbinom{6}{2}\dbinom{4}{2}=15\cdot6=90$.

4. Binom açılımı

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k$

Genel terim: $T_{k+1}=\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

Katsayılar toplamı: $a=b=1$ yazılır. $(x+y)^n$ için toplam $2^n$.

Örnek: $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^6$ açılımında genel terim $\dbinom{6}{k}x^{6-k}\dfrac{2^k}{x^k}=\dbinom{6}{k}2^kx^{6-2k}$. Sabit terim için $6-2k=0$ ve $k=3$. Sabit terim $\dbinom{6}{3}\cdot2^3=20\cdot8=160$.

5. Olasılık

Klasik olasılık: Örnek uzay eşit olasılıklıysa

$P(A)=\dfrac{s(A)}{s(E)},\qquad 0\le P(A)\le1$

Temel kurallar:

• $P(A')=1-P(A)$
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• $A$ ve $B$ ayrık ise $P(A\cap B)=0$ ve $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
• $A$ ve $B$ bağımsız ise $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Koşullu olasılık: $B$ olduğu biliniyorsa $A$'nın olasılığı

$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Örnek: Torbada 4 kırmızı ve 6 mavi top var. İadesiz 2 top çekilirken ikisinin aynı renkte olma olasılığı $\dfrac{\dbinom42+\dbinom62}{\dbinom{10}{2}}=\dfrac{6+15}{45}=\dfrac{7}{15}$ olur.

6. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.