Eşitsizlikler

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir telefon tarifesinde ayda en az kaç dakika konuşunca yeni paketin daha ucuz olduğunu, bir asansörün taşıyabileceği en fazla kişi sayısını ya da bir fabrikanın zarar etmemesi için en az kaç ürün satması gerektiğini düşün. Bunların hepsi eşitlik değil, eşitsizlik problemidir. Eşitsizliğin cevabı tek bir sayı değil, bir aralıktır. Bu konuda birinci ve ikinci dereceden eşitsizlikleri, çarpım ve bölüm biçimindeki eşitsizlikleri, mutlak değerli eşitsizlikleri işaret tablosu ile çözeceksin.

1. Eşitsizliğin temel özellikleri

• Her iki yana aynı sayıyı ekleyip çıkarabilirsin. Yön değişmez.
• Her iki yanı pozitif sayıyla çarpıp bölersen yön değişmez.
• Her iki yanı negatif sayıyla çarpıp bölersen yön değişir.
• $0<a<b$ ise $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$. Çarpmaya göre ters alınca yön değişir.
• $a<b$ ve $c<d$ ise $a+c<b+d$. Eşitsizlikleri toplayabilirsin, çıkaramazsın.

Aralık gösterimi: $a<x<b$ için $(a,b)$, $a\le x\le b$ için $[a,b]$, $x>a$ için $(a,\infty)$. Eşit olan uç kapalı köşeli parantezle yazılır. $\pm\infty$ her zaman açıktır.

2. Birinci derece ve çarpım eşitsizlikleri

Birinci derece: $3x-5<7$ için $3x<12$ ve $x<4$.

Çarpım ve bölüm: Terimleri sıfır yapan kökleri bul, sayı doğrusuna yerleştir, aralıkların işaretini yaz.

İşaret tablosu kuralı:

1. Her çarpanın kökünü bul ve küçükten büyüğe sırala.
2. En sağdaki aralıkta işaret, çarpanların $x$ katsayılarının işaretlerinin çarpımıdır. Çoğunlukla $+$.
3. Her tek katlı kökte işaret değişir.
4. Her çift katlı kökte işaret değişmez.

Örnek: $(x-1)(x+3)(x-5)<0$ için kökler $-3,1,5$. Sağ uçtan $+,-,+,-$ gelir: $x<-3$ ya da $1<x<5$.

3. İkinci dereceden eşitsizlikler

$ax^2+bx+c$ ifadesinin işareti, kökleri ve $a$'nın işaretiyle belirlenir.

• $\Delta>0$ ve $a>0$: Kökler arasında negatif, dışında pozitif.
• $\Delta=0$: Kök dışında ifade $a$ ile aynı işaretlidir, kökte sıfırdır.
• $\Delta<0$: İfade her yerde $a$ ile aynı işaretlidir.

Örnek: $x^2-x-6<0$ için $(x-3)(x+2)<0$ ve $-2<x<3$. Tam sayı çözümleri $-1,0,1,2$ olur, dört tanedir.

Her $x$ için sağlanma: $ax^2+bx+c>0$ her gerçek sayı için doğru ise $a>0$ ve $\Delta<0$ olmalıdır.

Örnek: $x^2-2mx+m+6>0$ her $x$ için sağlanıyorsa $\Delta=4m^2-4m-24<0$, yani $m^2-m-6<0$ ve $(m-3)(m+2)<0$. Buradan $-2<m<3$ bulunur. Tam sayı değerleri $-1,0,1,2$.

4. Rasyonel eşitsizlikler

$\dfrac{P(x)}{Q(x)}\ge0$ gibi ifadelerde payı ve paydayı ayrı ayrı sıfır yapan değerleri bul.

• Payı sıfır yapan değerler eşitlik varsa dahil.
• Paydayı sıfır yapan değerler hiçbir zaman dahil değildir.

Örnek: $\dfrac{x-2}{x+1}\ge0$ için kökler $x=2$ (pay) ve $x=-1$ (payda). İşaret tablosu sağdan $+,-,+$ olur. Çözüm: $x<-1$ ya da $x\ge2$. $x=-1$ dahil edilmez.

Kesirli eşitsizliği karşıya geçirme: $\dfrac{x+1}{x-3}>2$ ise $\dfrac{x+1}{x-3}-2>0$ ve $\dfrac{x+1-2x+6}{x-3}=\dfrac{7-x}{x-3}>0$ yazılır.

5. Mutlak değerli eşitsizlikler

$a>0$ için:

Örnek: $\lvert 2x-3\rvert\le5$ için $-5\le2x-3\le5$, $-2\le2x\le8$ ve $-1\le x\le4$. Tam sayı çözümleri $-1,0,1,2,3,4$ ve toplamları $9$ olur.

Yorum: $\lvert x-a\rvert<r$, sayı doğrusunda $a$'ya uzaklığı $r$'den küçük sayıları anlatır. $\lvert x-3\rvert<2$ ise $1<x<5$.

6. Hata yapılan yerler

• Rasyonel eşitsizlikte paydayı çarpıp yön bozmak. İşareti bilinmeyen bir ifadeyle çarpma.
• Çift katlı kökte işareti değiştirmek.
• Paydayı sıfır yapan değeri çözüme almak.
• $\lvert x\rvert>a$ eşitsizliğini tek aralık yazmak. İki ayrı aralıktır.

7. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.