Fonksiyonlar konu anlatımı · AYT Matematik

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir otomatın makinesine 5 lira atıp 2 numaralı tuşa basarsan her seferinde aynı ürünü alırsın. Makine her girdiye tek bir çıktı verir. Fonksiyon tam olarak budur. TYT'de fonksiyonun tanımını, değer bulmayı ve basit bileşkeyi öğrendin. AYT'de bu temel, fonksiyon çeşitleri, bileşke, ters fonksiyon, grafik dönüşümleri, tek ve çift fonksiyonlar, parçalı fonksiyonlar ile genişler. Türev ve integralin dili de bu konudan çıkar, bu yüzden burada sağlam durman gerekir.

Hedefler

Birebir, örten, içine, sabit ve birim fonksiyonları ayırt etmek.
Bileşke işlemini yapmak ve $f(g(x))$ ile $g(f(x))$ farkını bilmek.
Bir fonksiyonun tersini bulmak ve grafikteki anlamını yorumlamak.
Öteleme ve yansıma ile grafik dönüşümlerini uygulamak.
Tek ve çift fonksiyonları cebirsel olarak ayırt etmek.
Parçalı fonksiyonlarda doğru kolu seçerek değer hesaplamak.

Fonksiyonlar · Matematiğin Güler Yüzü

1. Fonksiyon çeşitleri

$A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı $f$ fonksiyonunda $A$ 'nın her elemanı $B$ 'de tam bir elemanla eşlenir. Çeşitler eşleşme biçimine göre ayrılır.

Tür	Tanım	Nasıl anlarsın
Birebir	Farklı elemanlar farklı elemanlara gider	$f(a)=f(b)$ ise $a=b$ . Grafikte yatay doğru en fazla bir noktada keser
Örten	Değer kümesinin her elemanı kullanılır	Görüntü kümesi değer kümesine eşit
İçine	Örten değildir	Değer kümesinde boşta eleman var
Sabit	Hepsi aynı elemana gider	$f(x)=c$
Birim	Her eleman kendisine gider	$f(x)=x$

Eleman sayısı bilgisi: $s(A)=m$ , $s(B)=n$ olsun.

Toplam fonksiyon sayısı: $n^m$
Birebir fonksiyon sayısı ( $m\le n$ ): $n(n-1)\cdots(n-m+1)$
Birebir ve örten ise $m=n$ olur ve sayı $m!$ olur.

Örnek: $A=\{1,2,3\}$ ve $B=\{a,b,c,d\}$ için birebir fonksiyon sayısı $4\cdot3\cdot2=24$ olur.

2. Bileşke fonksiyon

$f$ ve $g$ için bileşke $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ biçiminde tanımlanır. Önce $g$ uygulanır, çıkan değere $f$ uygulanır.

Özellikler:

$f\circ g \neq g\circ f$ olabilir. Bileşke genelde değişmeli değildir.
$(f\circ g)\circ h = f\circ(g\circ h)$ . Birleşme özelliği vardır.
$f\circ I = I\circ f = f$ . Birim fonksiyon bileşkede etkisizdir.

Örnek: $f(x)=2x+3$ ve $g(x)=x^2-1$ ise

$(f\circ g)(x)=2(x^2-1)+3=2x^2+1$
$(g\circ f)(x)=(2x+3)^2-1=4x^2+12x+8$

Bileşkeden fonksiyon bulma: $g(x)=x+4$ ve $(f\circ g)(x)=3x+2$ ise $f$ 'yi bulmak için $x+4=t$ yaz, $x=t-4$ olur. $f(t)=3(t-4)+2=3t-10$ . Yani $f(x)=3x-10$ .

3. Ters fonksiyon

$f$ birebir ve örten ise tersi vardır. $f^{-1}$ şu özelliği sağlar:

$f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a$

Ters bulma yöntemi:

$y=f(x)$ yaz.
$x$ 'i $y$ cinsinden çek.
$x$ ile $y$ 'nin yerini değiştir.

Örnek: $f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$ olsun. $y(x-2)=3x+1$ olur, $xy-2y=3x+1$ , $x(y-3)=2y+1$ ve $x=\dfrac{2y+1}{y-3}$ . Yani $f^{-1}(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ .

Önemli özellikler:

$(f^{-1})^{-1}=f$
$(f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x$
$(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$ . Sıra tersine döner.
$f$ ile $f^{-1}$ grafikleri $y=x$ doğrusuna göre simetriktir.
Doğrusal $f(x)=ax+b$ için $f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}$ .

Bir fonksiyon ile tersinin grafikleri y = x doğrusuna göre simetrik — Fonksiyon ve tersi

4. Grafik dönüşümleri

$y=f(x)$ grafiğine uygulanan temel dönüşümler:

Dönüşüm	Yeni fonksiyon	Etkisi
Sağa $a$ öteleme	$f(x-a)$	$x$ yönünde $a$ birim sağa
Sola $a$ öteleme	$f(x+a)$	$a$ birim sola
Yukarı $b$ öteleme	$f(x)+b$	$b$ birim yukarı
Aşağı $b$ öteleme	$f(x)-b$	$b$ birim aşağı
$x$ eksenine göre yansıma	$-f(x)$	Grafik yatay eksene göre döner
$y$ eksenine göre yansıma	$f(-x)$	Grafik dikey eksene göre döner
Mutlak değer (değer)	$\lvert f(x)\rvert$	$x$ ekseninin altı yukarı katlanır
Mutlak değer ( $x$ )	$f(\lvert x\rvert)$	$y$ eksenin sağı sola yansıtılır

Hatırlatma: $x$ 'in içine yazılan işlem tersine çalışır. $f(x-2)$ sağa gider, $f(x+2)$ sola gider. $x$ 'in dışına yazılan işlem düz çalışır.

5. Tek ve çift fonksiyonlar

Çift fonksiyon: $f(-x)=f(x)$ . Grafiği $y$ eksenine göre simetriktir. Örnek: $x^2$ , $x^4$ , $\lvert x\rvert$ , $\cos x$ .
Tek fonksiyon: $f(-x)=-f(x)$ . Grafiği orijine göre simetriktir. Örnek: $x$ , $x^3$ , $\sin x$ .

Ayırt etme yöntemi (polinom): Yalnızca çift kuvvet varsa çift, yalnızca tek kuvvet varsa tek fonksiyondur. İkisi karışıksa (sabit terim çift kuvvet sayılır) ne tek ne çift olur.

Toplam ve çarpım kuralları: Çift ile çiftin çarpımı çift, tek ile tekin çarpımı çift, tek ile çiftin çarpımı tektir. İki tek fonksiyonun toplamı tektir.

Önemli sonuç: $f$ tek ve $x=0$ 'da tanımlıysa $f(0)=0$ olur.

6. Parçalı fonksiyonlar

Farklı aralıklarda farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir.

$f(x)=\begin{cases}2x-1 & x<2\\ x^2-3 & x\ge 2\end{cases}$

Değer bulma: Önce $x$ değerinin hangi aralığa düştüğüne bak, sonra o kolu uygula. $f(0)=2\cdot0-1=-1$ ve $f(3)=3^2-3=6$ .

Bileşke işlemlerinde önce içteki değeri bul, çıkan sonucun hangi aralığa düştüğünü yeniden kontrol et: $f(f(3))=f(6)=6^2-3=33$ .

7. Konuyu toparla

Başlık	Kısa not
Birebir ve örten	Eşleşme bire bir ve değer kümesi tamamen dolu
Fonksiyon sayısı	$n^m$ , birebir olanlar $n(n-1)\cdots$
Bileşke	$f(g(x))$ için önce $g$
Ters fonksiyon	$f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a$ , grafikte $y=x$ 'e simetri
$(f\circ g)^{-1}$	$g^{-1}\circ f^{-1}$
Öteleme	$f(x-a)$ sağa, $f(x)+b$ yukarı
Çift fonksiyon	$f(-x)=f(x)$
Tek fonksiyon	$f(-x)=-f(x)$
Parçalı fonksiyon	Aralığa bak, kolu seç

Mini test

Soru 1

$f(x)=2x+3$ ve $g(x)=x^2-1$ olduğuna göre $(g\circ f)(1)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

$(g\circ f)(1)=g(f(1))$ olduğundan önce $f(1)$ hesaplanır: $f(1)=2\cdot1+3=5$ .
$g(5)=5^2-1=24$ . Doğru cevap E.

Diğer şıklar: 0 $f(1)\cdot g(1)$ alınmış, $g(1)=0$ olduğundan sonuç sıfır çıkmış / 3 sıra ters alınmış, $(f\circ g)(1)=f(0)=3$ / 5 $f(1)$ ile durulmuş ya da $f(1)+g(1)$ hesaplanmış / 12 $(2x+3)^2$ yerine $4x^2+9$ açılmış, $4+9-1=12$ .

Soru 2

$g(x)=x+4$ ve $(f\circ g)(x)=3x+2$ olduğuna göre $f(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A $3x-14$
B $3x+2$
C $3x+6$
D $3x-10$
E $3x+14$

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

$g(x)=x+4=t$ denirse $x=t-4$ olur.
$f(t)=3(t-4)+2=3t-12+2=3t-10$ . Doğru cevap D.

Diğer şıklar: $3x-14$ $+2$ eksiye çevrilmiş / $3x+2$ $g$ yok sayılmış / $3x+6$ $+4$ eklenmiş / $3x+14$ $x$ yerine $t+4$ yazılmış.

Soru 3

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi çift fonksiyondur?

A $f(x)=x^4-3x^2+1$
B $f(x)=x^3+x$
C $f(x)=x^2+x$
D $f(x)=\lvert x\rvert+x$
E $f(x)=x^3-x^2$

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

Çift fonksiyonda $f(-x)=f(x)$ olmalıdır.
$f(x)=x^4-3x^2+1$ için yalnızca çift kuvvetler ve sabit terim vardır. $f(-x)=x^4-3x^2+1=f(x)$ olur. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: $x^3+x$ tek kuvvetlerden oluştuğu için tek fonksiyon / $x^2+x$ çift ve tek kuvvet karışık, ne tek ne çift / $\lvert x\rvert+x$ $f(-x)=\lvert x\rvert-x$ olduğundan ne tek ne çift / $x^3-x^2$ karışık kuvvet, ne tek ne çift.

Soru 4

$f(x)=\begin{cases}2x-1 & x<2\\ x^2-3 & x\ge 2\end{cases}$ fonksiyonuna göre $f(f(3))+f(0)$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

$3\ge2$ olduğundan $f(3)=3^2-3=6$ .
$6\ge 2$ olduğundan $f(f(3))=f(6)=6^2-3=33$ .
$0<2$ olduğundan $f(0)=2\cdot0-1=-1$ .
Toplam $33+(-1)=32$ . Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 21 $f(3)$ için ilk kol kullanılmış, $f(3)=5$ , $f(5)=22$ , $22-1=21$ / 30 $f(0)$ ikinci kolla hesaplanmış, $0-3=-3$ ve $33-3=30$ / 33 $f(0)$ toplanmamış / 34 $f(0)=-1$ çıkarılmış, $33+1=34$ .

Kendini dene

f(x)=3x-6

ise

f^{-1}(x)

nedir?

$f^{-1}(x)=\dfrac{x+6}{3}$ .

A=\{1,2\}

B=\{a,b,c\}

için kaç fonksiyon tanımlanabilir?

$3^2=9$ .

f(x)=x^3

tek mi çift midir?

$f(-x)=-x^3=-f(x)$ olduğu için tektir.

f(x)

grafiğini 2 birim sağa kaydırınca yeni fonksiyon nedir?

$f(x-2)$ .

f(x)=2x+1

ise

(f\circ f)(x)

nedir?

$2(2x+1)+1=4x+3$ .

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Fonksiyonlar

Bu konuda ne öğreneceksin

Hedefler

1. Fonksiyon çeşitleri

2. Bileşke fonksiyon

3. Ters fonksiyon

4. Grafik dönüşümleri

5. Tek ve çift fonksiyonlar

6. Parçalı fonksiyonlar

7. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Kendini dene

Matematik dersinin diğer konuları