Yolumnet

AYT · Matematik

İkinci Dereceden Denklemler

Yaklaşık 15 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-24

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir top havaya atıldığında ne zaman yere düşeceğini, bir bahçenin kenarlarını alanından bulmayı ya da bir ürünün kâr-zarar dengesini hesaplamayı düşün. Bu soruların çoğu ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 biçiminde bir denkleme çıkar. Bu konuda ikinci dereceden denklemin köklerini, diskriminantı, köklerin toplamı ve çarpımı bağıntılarını, kökleri verilen denklemi kurmayı ve karmaşık sayılara giriş kısmını öğreneceksin. AYT'de bu bağıntılar çok kısa çözüm yolları sunar. Kökleri tek tek bulmadan sonuca gidebilirsin.

Hedefler

  1. ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 denkleminin köklerini çarpanlara ayırma ve formülle bulmak.
  2. Diskriminant ile kök sayısını yorumlamak.
  3. Köklerin toplamı ve çarpımı bağıntılarını kullanmak.
  4. Kökleri verilen ya da kökleri dönüştürülen denklemi yazmak.
  5. i2=−1i^2=-1 ile karmaşık kökleri tanımak.
İkinci Dereceden Denklemler · Matematiğin Güler Yüzü

1. Denklemin kökleri

a≠0a\neq0 olmak üzere ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 denklemine ikinci dereceden denklem denir.

Çözüm yöntemleri:

  • Çarpanlara ayırma: x2−5x+6=(x−2)(x−3)=0x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 ise x=2x=2 ya da x=3x=3.
  • Tam kareye tamamlama: x2+6x+5=(x+3)2−4=0x^2+6x+5=(x+3)^2-4=0 ise x+3=±2x+3=\pm2.
  • Formül: x1,2=−b±Δ2ax_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.

2. Diskriminant ve kök sayısı

Durum Kök sayısı Anlamı
Δ>0\Delta>0 2 farklı gerçek kök Parabol xx eksenini iki noktada keser
Δ=0\Delta=0 Çakışık (çift katlı) kök Parabol xx eksenine teğet
Δ<0\Delta<0 Gerçek kök yok Parabol xx eksenini kesmez

Örnek: x2−6x+k=0x^2-6x+k=0 denkleminin çift katlı kökü varsa Δ=36−4k=0\Delta=36-4k=0 olur ve k=9k=9. Denklem (x−3)2=0(x-3)^2=0 olur.

bb çift ise kısa formül: b=2b′b=2b' için Δ′=b′2−ac\Delta'=b'^2-ac ve x=−b′±Δ′ax=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}.

3. Köklerin toplamı ve çarpımı

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olsun.

x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}

Sık kullanılan ifadeler:

İstenen Bağıntı
x12+x22x_1^2+x_2^2 (x1+x2)2−2x1x2(x_1+x_2)^2-2x_1x_2
(x1−x2)2(x_1-x_2)^2 (x1+x2)2−4x1x2(x_1+x_2)^2-4x_1x_2
1x1+1x2\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2} x1+x2x1x2\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}
x13+x23x_1^3+x_2^3 (x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)

Örnek: x2−3x−5=0x^2-3x-5=0 için x1+x2=3x_1+x_2=3 ve x1x2=−5x_1x_2=-5. (x1−x2)2=9−4(−5)=29(x_1-x_2)^2=9-4(-5)=29.

Köklerin işareti: x1x2>0x_1x_2>0 ise kökler aynı işaretlidir. x1x2<0x_1x_2<0 ise zıt işaretlidir. Aynı işaretliyken x1+x2>0x_1+x_2>0 ise ikisi de pozitiftir.

4. Kökleri verilen denklemi yazma

Kökleri x1x_1 ve x2x_2 olan denklem:

x2−(x1+x2)x+x1x2=0x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0

Kökleri dönüştürülen denklem: Yeni kökler y=x+ky=x+k ise eski kök x=y−kx=y-k yazılır.

Örnek: x2−5x+3=0x^2-5x+3=0 denkleminin köklerinin 2 fazlasını kök kabul eden denklem istenirse y=x+2y=x+2 ve x=y−2x=y-2.

(y−2)2−5(y−2)+3=y2−9y+17=0(y-2)^2-5(y-2)+3=y^2-9y+17=0

Kontrol: yeni toplam 5+4=95+4=9, yeni çarpım 3+2⋅5+4=173+2\cdot5+4=17.

5. Karmaşık sayılara giriş

Δ<0\Delta<0 iken gerçek kök yoktur ama karmaşık kök vardır. i2=−1i^2=-1 tanımıyla −4=2i\sqrt{-4}=2i olur.

  • x2+4=0x^2+4=0 ise x=±2ix=\pm2i.
  • Karmaşık sayı z=a+biz=a+bi biçimindedir. aa gerçek, bb sanal kısımdır.
  • Kökler karmaşıksa birbirinin eşleniğidir: x=−b±i−Δ2ax=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.
  • ii'nin kuvvetleri 4'lü döngüdür: i1=ii^1=i, i2=−1i^2=-1, i3=−ii^3=-i, i4=1i^4=1. Üssü 4'e bölünce kalanı kullanırsın.

Örnek: i27i^{27} için 27=4⋅6+327=4\cdot6+3 ve i27=i3=−ii^{27}=i^3=-i.

6. Parametreli sorular

Gerçek kök yok: Δ<0\Delta<0 koşulu bir eşitsizliğe dönüşür. x2+mx+m+3=0x^2+mx+m+3=0 için Δ=m2−4m−12=(m−6)(m+2)<0\Delta=m^2-4m-12=(m-6)(m+2)<0 olur, yani −2<m<6-2<m<6.

Kökler pozitif olsun: Δ≥0\Delta\ge0, x1+x2>0x_1+x_2>0, x1x2>0x_1x_2>0 koşullarının üçü birden sağlanır.

Bir kök verilmişse: Kökü denkleme yaz, parametreyi bul. Sonra diğer kökü Vieta ile bul.

7. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Δ\Delta b2−4acb^2-4ac
Δ>0\Delta>0 İki farklı gerçek kök
Δ=0\Delta=0 Çift katlı kök
Δ<0\Delta<0 Gerçek kök yok
Toplam ve çarpım −ba-\dfrac{b}{a} ve ca\dfrac{c}{a}
Kök kurma x2−(toplam)x+c¸arpım=0x^2-(\text{toplam})x+\text{çarpım}=0
ii'nin kuvveti 4'e bölümden kalana bak

Mini test

Soru 1

x2−6x+k=0x^2-6x+k=0 denkleminin çakışık iki gerçek kökü olduğuna göre kk kaçtır?

  1. A3
  2. B6
  3. C9
  4. D12
  5. E36
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Çakışık kök için Δ=0\Delta=0 olmalıdır.
  2. Δ=(−6)2−4⋅1⋅k=36−4k=0\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot k=36-4k=0 ve k=9k=9. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 3 Δ=0\Delta=0 yerine b/2=3b/2=3 alınmış / 6 bb'nin mutlak değeri kk sanılmış / 12 4k=364k=36 yerine 3k=363k=36 çözülmüş / 36 Δ\Delta yerine yalnızca b2b^2 alınmış.

Soru 2

x2−3x−5=0x^2-3x-5=0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olduğuna göre (x1−x2)2(x_1-x_2)^2 kaçtır?

  1. A4
  2. B14
  3. C19
  4. D29
  5. E34
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. x1+x2=3x_1+x_2=3 ve x1x2=−5x_1x_2=-5.
  2. (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=9−4(−5)=29(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9-4(-5)=29. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: 4 9+59+5 yerine 9−59-5 yapılmış / 14 çarpımın işareti dikkate alınmamış, 9+59+5 bulunmuş / 19 x12+x22=9+10x_1^2+x_2^2=9+10 hesaplanmış / 34 9+259+25 alınmış, çarpım karesi toplanmış.

Soru 3

x2−5x+3=0x^2-5x+3=0 denkleminin köklerinin 2 fazlasını kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Ax2−x−3=0x^2-x-3=0
  2. Bx2−7x+17=0x^2-7x+17=0
  3. Cx2−9x+3=0x^2-9x+3=0
  4. Dx2−9x+13=0x^2-9x+13=0
  5. Ex2−9x+17=0x^2-9x+17=0
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. Yeni kökler y=x+2y=x+2 olduğundan x=y−2x=y-2 yazılır.
  2. (y−2)2−5(y−2)+3=y2−4y+4−5y+10+3=y2−9y+17(y-2)^2-5(y-2)+3=y^2-4y+4-5y+10+3=y^2-9y+17. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: x2−x−3x^2-x-3 köklerin 2 eksiği alınmış / x2−7x+17x^2-7x+17 toplam 5'e yalnızca 2 eklenmiş / x2−9x+3x^2-9x+3 çarpım değişmemiş sanılmış / x2−9x+13x^2-9x+13 (x1+2)(x2+2)(x_1+2)(x_2+2) açılırken 44 unutulmuş, 3+10=133+10=13.

Soru 4

x2+mx+m+3=0x^2+mx+m+3=0 denkleminin gerçek kökü bulunmadığına göre mm hangi aralıktadır?

  1. A−2<m<6-2<m<6
  2. Bm<−2m<-2 veya m>6m>6
  3. C−6<m<2-6<m<2
  4. Dm<−6m<-6 veya m>2m>2
  5. E2<m<62<m<6
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. Gerçek kök yoksa Δ<0\Delta<0.
  2. Δ=m2−4(m+3)=m2−4m−12=(m−6)(m+2)<0\Delta=m^2-4(m+3)=m^2-4m-12=(m-6)(m+2)<0.
  3. Çarpım negatif olduğundan mm iki kökün arasındadır: −2<m<6-2<m<6. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: m<−2m<-2 veya m>6m>6 Δ>0\Delta>0 çözülmüş / −6<m<2-6<m<2 kökler işaretçe ters alınmış / m<−6m<-6 veya m>2m>2 hem işaret hem eşitsizlik yönü yanlış / 2<m<62<m<6 yalnızca bir kökün işareti düzeltilmiş.

Kendini dene

Kendini dene

x2−7x+12=0x^2-7x+12=0 denkleminin kökleri nedir?

3 ve 4.

x2+2x+5=0x^2+2x+5=0 denkleminin diskriminantı kaçtır?

4−20=−164-20=-16, gerçek kök yok.

2x2−8x+3=02x^2-8x+3=0 denkleminde kökler toplamı kaçtır?

−−82=4-\dfrac{-8}{2}=4.

Kökleri 2 ve −5-5 olan denklem nedir?

x2+3x−10=0x^2+3x-10=0.

i10i^{10} kaçtır?

10=4⋅2+210=4\cdot2+2 olduğundan i2=−1i^2=-1.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Matematik dersinin diğer konuları