Polinomlar

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir marangoz masa yaparken ayak, tabla ve çerçeve parçalarını ayrı ayrı hazırlar, sonra birleştirir. Polinomlar da $x$'li terimlerin toplanıp çarpılarak birleştiği ifadelerdir. Fonksiyonların, denklemlerin, parabolün ve türevin hepsi polinomlarla çalışır. Bu konuda polinomun derecesini, katsayılarını, bölme işlemini, kalan teoremini ve çarpanlara ayırmayı öğreneceksin. AYT'de her yıl bu konudan en az bir soru gelir. Kalan bulma soruları çoğunlukla uzun bölme yapmadan, tek bir değer yazarak çözülür.

1. Temel kavramlar

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ biçimindeki ifadeye polinom denir. Burada üsler doğal sayıdır, katsayılar gerçek sayıdır.

• Derece: $x$'in en büyük üssü. $\text{der}[P(x)]=n$.
• Baş katsayı: En büyük dereceli terimin katsayısı, $a_n$.
• Sabit terim: $x$'siz terim, $P(0)=a_0$.
• Katsayılar toplamı: $P(1)$.
• Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı: $\dfrac{P(1)+P(-1)}{2}$.
• Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı: $\dfrac{P(1)-P(-1)}{2}$.

Polinom olmayan ifadeler: $\sqrt{x}$, $\dfrac{1}{x}$, $x^{-2}$ gibi üssü doğal sayı olmayan ifadeler polinom değildir.

Örnek: $P(x)=(2x-1)^3(x+1)^2$ için katsayılar toplamı $P(1)=1^3\cdot2^2=4$ olur. Sabit terim $P(0)=(-1)^3\cdot1=-1$. Derece $3+2=5$.

2. Polinomlarda işlemler

Toplama ve çıkarma: Aynı dereceli terimler toplanır. Sonucun derecesi en fazla büyük olan derecedir. Baş katsayılar birbirini götürürse derece düşebilir.

Çarpma: Her terim her terimle çarpılır. Çarpımın derecesi dereceler toplamıdır: $\text{der}(P\cdot Q)=\text{der}P+\text{der}Q$.

Bileşke: $\text{der}[P(Q(x))]=\text{der}P\cdot\text{der}Q$.

Derece kuralları özeti:

Yerine koyma soruları: $P(2x-1)=x^2+3x+5$ gibi verilirse, $P(a)$ için önce $2x-1=a$ denklemini çöz. $P(5)$ için $2x-1=5$ ve $x=3$ olur. Cevap $9+9+5=23$.

3. Bölme algoritması

$P(x)$ polinomu $B(x)$ ile bölünürse

$P(x)=B(x)\cdot Q(x)+K(x)$

yazılır. $Q(x)$ bölüm, $K(x)$ kalan polinomdur. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçüktür. Kalan sıfırsa $P(x)$, $B(x)$ ile tam bölünür.

Derece ilişkileri:

• $\text{der}Q=\text{der}P-\text{der}B$
• $\text{der}K<\text{der}B$

Kalanın biçimi: Bölen birinci dereceden ise kalan sabittir. Bölen ikinci dereceden ise kalan en fazla birinci derecedir, $K(x)=ax+b$.

4. Kalan teoremi

$P(x)$ polinomunun $(x-a)$ ile bölümünden kalan $P(a)$'dır.

Neden? $P(x)=(x-a)Q(x)+k$ yazılır. $x=a$ koyarsan $P(a)=k$ olur.

Örnek: $P(x)=x^3-2x^2+ax+6$ ve $(x-2)$ ile bölümünden kalan 4 ise $P(2)=8-8+2a+6=4$ olur. $2a=-2$ ve $a=-1$.

Genel biçim: $(ax+b)$ ile bölümünden kalan $P\!\left(-\dfrac{b}{a}\right)$.

İkinci dereceden bölen: $P(x)$ polinomunun $(x-1)(x+2)$ ile bölümünden kalan $K(x)=ax+b$ olsun. Kalanın biçimi yazılır ve iki bilinen değerden $a$ ile $b$ bulunur.

Örnek: $P(1)=5$ ve $P(-2)=-1$ olsun. $K(1)=a+b=5$ ve $K(-2)=-2a+b=-1$. Taraf tarafa çıkarırsan $3a=6$, $a=2$, $b=3$ olur. Kalan $2x+3$'tür.

5. Çarpan teoremi ve çarpanlara ayırma

$P(a)=0$ ise $(x-a)$ polinomun çarpanıdır. Tersi de doğrudur.

Rasyonel kök testi: Tam katsayılı polinomda $\dfrac{p}{q}$ kök ise $p$ sabit terimi, $q$ baş katsayıyı böler. Aday kökleri bu yolla listeleyip $P(a)=0$ kontrolü yaparsın.

Örnek: $P(x)=x^3-3x^2+ax+6$ polinomunun $(x-1)$ çarpanı olması için $P(1)=1-3+a+6=0$ gerekir. $a+4=0$ ve $a=-4$.

Ortak çarpan ve özdeşlikler: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$, $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.

Kökler toplamı ve çarpımı (iki kök için): $ax^2+bx+c=0$ için $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ ve $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$.

6. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.