Yolumnet

AYT · Matematik

Parabol

Yaklaşık 16 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-24

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir basketbol topunun potaya giden yolunu, bir köprünün kablo eğrisini ya da bir uydu çanağının kesitini düşün. Hepsinde parabol vardır. İkinci dereceden fonksiyonun grafiği olan parabol, AYT'de her yıl sorulur. Bu konuda parabolün tepe noktasını, simetri eksenini, eksenleri kestiği noktaları, en büyük ve en küçük değerini ve doğruyla kesişimini öğreneceksin. Bir önceki konularda öğrendiğin Δ\Delta ve kök bağıntıları burada grafiğe dönüşüyor.

Hedefler

  1. y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c grafiğini aa, bb, cc ve Δ\Delta ile yorumlamak.
  2. Tepe noktasını ve simetri eksenini bulmak.
  3. Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirlemek.
  4. En büyük ya da en küçük değeri bulmak.
  5. Üç farklı biçimde parabol denklemi yazmak.
  6. Parabol ve doğrunun kesişimini incelemek.
Parabol · Matematiğin Güler Yüzü

1. Grafiğin yorumu

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c (a≠0a\ne0) fonksiyonunun grafiği paraboldür.

Katsayı Grafikteki anlamı
a>0a>0 Kolları yukarı, tepe en küçük değer
a<0a<0 Kolları aşağı, tepe en büyük değer
cc yy eksenini kestiği nokta: (0,c)(0,c)
Δ>0\Delta>0 xx eksenini iki noktada keser
Δ=0\Delta=0 xx eksenine teğet, tepe xx ekseni üzerinde
Δ<0\Delta<0 xx eksenini kesmez
ba\dfrac{b}{a} İşareti simetri ekseninin yerini söyler. −b2a>0-\dfrac{b}{2a}>0 ise eksen sağda

2. Tepe noktası ve simetri ekseni

Tepe noktası T(r,k)T(r,k):

r=−b2a,k=f(r)=−Δ4ar=-\dfrac{b}{2a},\qquad k=f(r)=-\dfrac{\Delta}{4a}

Simetri ekseni: x=rx=r doğrusu. x1x_1 ve x2x_2 kök ise r=x1+x22r=\dfrac{x_1+x_2}{2}.

Örnek: y=x2−6x+5y=x^2-6x+5 için r=3r=3, k=9−18+5=−4k=9-18+5=-4. Tepe T(3,−4)T(3,-4). Kökler 11 ve 55, ortaları 33.

En büyük ve en küçük değer: a>0a>0 ise en küçük değer kk, a<0a<0 ise en büyük değer kk. Kapalı aralıkta ise uç noktalardaki değerlere de bakılır.

Örnek: f(x)=−x2+4x+kf(x)=-x^2+4x+k fonksiyonunun en büyük değeri 7 ise r=2r=2 ve f(2)=−4+8+k=7f(2)=-4+8+k=7, k=3k=3.

3. Parabol denklemi yazma

Elinde hangi bilgi varsa ona uygun biçim seç.

Verilen Kullanılacak biçim
Tepe noktası (r,k)(r,k) ve bir nokta y=a(x−r)2+ky=a(x-r)^2+k
İki kök x1,x2x_1,x_2 ve bir nokta y=a(x−x1)(x−x2)y=a(x-x_1)(x-x_2)
Üç nokta y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c, üç denklemle çöz
xx eksenine teğet, kök rr y=a(x−r)2y=a(x-r)^2

Örnek: Kökleri 1 ve 5 olan, (0,−10)(0,-10) noktasından geçen parabolde a(0−1)(0−5)=5a=−10a(0-1)(0-5)=5a=-10 ve a=−2a=-2 olur. Tepe x=3x=3'tedir ve y=−2(3−1)(3−5)=8y=-2(3-1)(3-5)=8. Tepe T(3,8)T(3,8).

4. Parabolün ötelenmesi

y=ax2y=ax^2 parabolünün tepesi orijindedir. y=a(x−r)2+ky=a(x-r)^2+k parabolü, onun rr birim sağa ve kk birim yukarı ötelenmişidir. Öteleme, fonksiyonlar konusundaki dönüşüm kuralları ile aynıdır. Kolların genişliğini aa belirler. ∣a∣\lvert a\rvert büyüdükçe parabol daralır.

5. Parabol ve doğrunun konumu

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c parabolü ile y=mx+ny=mx+n doğrusunun kesişimi için iki denklem eşitlenir:

ax2+bx+c=mx+n ⇒ ax2+(b−m)x+(c−n)=0ax^2+bx+c=mx+n\ \Rightarrow\ ax^2+(b-m)x+(c-n)=0

Bu denklemin Δ\Delta değeri konumu belirler.

Δ\Delta Konum
>0>0 İki noktada keser
=0=0 Teğet
<0<0 Kesmez

Örnek: y=x2−4x+3y=x^2-4x+3 ve y=x−1y=x-1 için x2−5x+4=0x^2-5x+4=0 olur. Δ=25−16=9>0\Delta=25-16=9>0 olduğundan iki noktada keser ve kesim noktalarının apsisleri toplamı 55'tir.

Teğet olma şartı: Doğru parabole teğetse Δ=0\Delta=0 yazılır ve parametre bulunur.

6. Parabolde alan ve uzunluk soruları

  • Parabolün xx eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık ∣x1−x2∣=Δ∣a∣\lvert x_1-x_2\rvert=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{\lvert a\rvert}.
  • Maksimum alan soruları: Çevresi sabit dikdörtgenin alanı ikinci dereceden bir fonksiyondur, tepe noktasında en büyük olur. Çevre 40 ise kenarlar xx ve 20−x20-x olur ve alan x(20−x)x(20-x) ifadesi x=10x=10'da 100 ile en büyük olur.
  • Atış sorularında yükseklik zamanın ikinci derece fonksiyonudur, tepe noktası en yüksek noktayı verir.

7. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Tepe r=−b2ar=-\dfrac{b}{2a}, k=f(r)k=f(r)
a>0a>0 Kollar yukarı, en küçük değer
a<0a<0 Kollar aşağı, en büyük değer
yy kesimi (0,c)(0,c)
Kökler Δ\Delta ile
Simetri x=x1+x22x=\dfrac{x_1+x_2}{2}
Parabol-doğru Denklemleri eşitle, Δ\Delta'ya bak

Mini test

Soru 1

y=x2−6x+5y=x^2-6x+5 parabolünün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

  1. A−4-4
  2. B3
  3. C4
  4. D5
  5. E9
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. Tepe noktasının apsisi r=−−62=3r=-\dfrac{-6}{2}=3.
  2. Ordinat f(3)=9−18+5=−4f(3)=9-18+5=-4. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 3 apsis bulunmuş / 4 işaret düşürülerek ∣k∣\lvert k\rvert alınmış / 5 sabit terim yani yy eksenini kestiği nokta yazılmış / 9 r2r^2 değeri ordinat sanılmış.

Soru 2

f(x)=−x2+4x+kf(x)=-x^2+4x+k fonksiyonunun en büyük değeri 7 olduğuna göre kk kaçtır?

  1. A−3-3
  2. B3
  3. C4
  4. D7
  5. E11
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. Baş katsayı negatif olduğundan en büyük değer tepe noktasındadır. r=−4−2=2r=-\dfrac{4}{-2}=2.
  2. f(2)=−4+8+k=4+k=7f(2)=-4+8+k=4+k=7 ve k=3k=3. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: −3-3 4+k=74+k=7 çözülürken işaret hatası yapılmış / 4 tepeyi x=1x=1 alıp f(1)=3+k=7f(1)=3+k=7 bulunmuş / 7 en büyük değer kk sanılmış / 11 4+74+7 toplanmış.

Soru 3

Kökleri 1 ve 5 olan, (0,−10)(0,-10) noktasından geçen parabolün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

  1. A−8-8
  2. B−4-4
  3. C2
  4. D8
  5. E10
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. y=a(x−1)(x−5)y=a(x-1)(x-5) yazılır. (0,−10)(0,-10) için a⋅(−1)(−5)=5a=−10a\cdot(-1)(-5)=5a=-10 ve a=−2a=-2.
  2. Tepe, köklerin ortasındaki x=3x=3'tedir. y=−2(3−1)(3−5)=−2⋅2⋅(−2)=8y=-2(3-1)(3-5)=-2\cdot2\cdot(-2)=8. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: −8-8 a=2a=2 alınmış, işaret hatası / −4-4 (x−5)(x-5) çarpanı unutulmuş, −2⋅2-2\cdot2 hesaplanmış / 2 ∣a∣\lvert a\rvert ordinat sanılmış / 10 yy eksenini kestiği nokta yazılmış.

Soru 4

y=x2−4x+3y=x^2-4x+3 parabolü ile y=x−1y=x-1 doğrusunun kesim noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

  1. A−5-5
  2. B1
  3. C3
  4. D4
  5. E5
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. Eşitlenirse x2−4x+3=x−1x^2-4x+3=x-1 ve x2−5x+4=0x^2-5x+4=0.
  2. Δ=25−16=9>0\Delta=25-16=9>0 olduğundan iki kesim noktası vardır. Kökler toplamı −−51=5-\dfrac{-5}{1}=5. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: −5-5 Vieta'da işaret unutulmuş / 1 doğrunun eğimi yazılmış / 3 parabolün sabit terimi yazılmış / 4 kökler çarpımı ya da parabolün kendi köklerinin toplamı alınmış.

Kendini dene

Kendini dene

y=2x2−8x+3y=2x^2-8x+3 parabolünün simetri ekseni nedir?

x=−−84=2x=-\dfrac{-8}{4}=2.

y=x2−4y=x^2-4 parabolünün xx eksenini kestiği noktalar nelerdir?

(−2,0)(-2,0) ve (2,0)(2,0).

Kolları aşağı bakan parabolde tepe noktası ne olur?

En büyük değerin olduğu noktadır.

Δ=0\Delta=0 olan parabol xx eksenine göre nasıl durur?

Eksene teğettir.

y=−x2+6xy=-x^2+6x parabolünün en büyük değeri kaçtır?

r=3r=3 ve f(3)=−9+18=9f(3)=-9+18=9.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Matematik dersinin diğer konuları