Trigonometri

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir dönme dolabın yüksekliğinin zamanla nasıl değiştiğini, bir salıncağın gidip gelişini ya da bir ses dalgasının şeklini düşün. Hepsi dönme ve titreşim olaylarıdır ve trigonometri bu olayların matematiğidir. TYT'de dik üçgendeki oranları öğrendin. AYT'de açıyı birim çember üzerinde genişletiyor, trigonometrik oranları her açı için tanımlıyor, toplam-fark ve iki kat açı formüllerini, grafikleri ve denklemleri işliyorsun. Bu konunun formülleri çok, ama hepsi birim çemberden çıkar. Çemberi gözünün önüne getirebilirsen formül ezberlemene gerek kalmaz.

1. Radyan ve birim çember

$\pi$ radyan $=180^\circ$. Dönüşüm için $\dfrac{D}{180}=\dfrac{R}{\pi}$ bağıntısı kullanılır.

Birim çember: Merkezi orijin, yarıçapı 1 olan çemberdir. Başlangıç noktasından saat yönünün tersine $\theta$ kadar dönen noktanın koordinatları $(\cos\theta,\sin\theta)$ olur. Yani kosinüs $x$ koordinatı, sinüs $y$ koordinatıdır.

Bölgelere göre işaretler:

2. Özel açılar ve temel bağıntılar

Temel bağıntılar:

• $\sin^2x+\cos^2x=1$
• $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$
• $1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$

Örnek: $\sin x=\dfrac35$ ve $x$ ikinci bölgede ise $\cos x=-\dfrac45$ ve $\tan x=-\dfrac34$ olur.

3. İndirgeme

Açıyı $90^\circ$ ya da $180^\circ$ civarına yazıp dar açıya indirirsin.

• $180^\circ\pm x$ ve $360^\circ-x$ için fonksiyon aynı kalır, işaret bölgeye göre gelir.
• $90^\circ\pm x$ ve $270^\circ\pm x$ için fonksiyon değişir ($\sin\leftrightarrow\cos$), işaret bölgeye göre gelir.
• $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$, $\tan(-x)=-\tan x$.

Örnek: $\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\dfrac12$ ve $\cos120^\circ=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos60^\circ=-\dfrac12$. $\tan135^\circ=-\tan45^\circ=-1$. Üçünün toplamı $\dfrac12-\dfrac12-1=-1$.

4. Toplam-fark ve iki kat açı

$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$

$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$

$\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}$

İki kat açı formülleri:

• $\sin2x=2\sin x\cos x$
• $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$
• $\tan2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}$

Örnek: $\sin x+\cos x=\dfrac12$ ise iki yanın karesi $1+2\sin x\cos x=\dfrac14$ olur. $\sin2x=\dfrac14-1=-\dfrac34$.

5. Grafikler

$y=a\sin(bx+c)+d$ ve $y=a\cos(bx+c)+d$ için:

$\tan$ ve $\cot$ fonksiyonlarında periyot $\dfrac{\pi}{\lvert b\rvert}$'dir.

Örnek: $f(x)=3\sin\left(2x-\dfrac\pi3\right)+1$ için genlik 3, periyot $\pi$, orta çizgi $y=1$, en büyük değer 4, en küçük değer $-2$.

6. Trigonometrik denklemler

• $\sin x=\sin a$ ise $x=a+2k\pi$ ya da $x=\pi-a+2k\pi$.
• $\cos x=\cos a$ ise $x=\pm a+2k\pi$.
• $\tan x=\tan a$ ise $x=a+k\pi$.

Örnek: $2\sin x-1=0$ için $\sin x=\dfrac12$. $[0,2\pi)$ aralığında $x=\dfrac\pi6$ ya da $x=\dfrac{5\pi}6$. Çözüm toplamı $\pi$ olur.

İkinci dereceden denklem: $2\sin^2x-\sin x-1=0$ için $\sin x=t$ yazılır, $2t^2-t-1=0$ ve $t=1$ ya da $t=-\dfrac12$ olur.

7. Üçgende trigonometri

ABC üçgeninde kenarlar $a,b,c$ ve çevrel çemberin yarıçapı $R$ olsun.

• Sinüs teoremi: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
• Kosinüs teoremi: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
• Alan: $\dfrac12bc\sin A$

Örnek: $b=4$, $c=6$ ve aralarındaki açı $60^\circ$ ise $a^2=16+36-2\cdot4\cdot6\cdot\dfrac12=28$ ve alan $\dfrac12\cdot4\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3$.

8. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.