Yolumnet

AYT · Matematik

Logaritma

Yaklaşık 13 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-24

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir depremin şiddetini, bir sesin desibelini ya da bir çözeltinin pH değerini ölçerken çok büyük sayılarla uğraşırsın. Bu büyük sayıları küçük ve karşılaştırılabilir değerlere çeviren araç logaritmadır. Logaritma, üs almanın tersidir. 23=82^3=8 ise "2'yi kaçıncı kuvvete yükseltirsek 8 olur?" sorusunun cevabı log⁡28=3\log_28=3'tür. Bu konuda üstel fonksiyonu, logaritmanın tanımını ve özelliklerini, taban değiştirmeyi, üstel ve logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri öğreneceksin.

Hedefler

  1. Üstel fonksiyonun özelliklerini ve grafiğini bilmek.
  2. Logaritmayı üs olarak tanımlamak ve değer bulmak.
  3. Logaritma kurallarını ve taban değiştirmeyi uygulamak.
  4. Üstel ve logaritmik denklemleri tanım kümesine dikkat ederek çözmek.
  5. Logaritmik eşitsizliklerde tabana göre yön belirlemek.
Logaritma · Rehber Matematik

1. Üstel fonksiyon

a>0a>0 ve a≠1a\ne1 olmak üzere f(x)=axf(x)=a^x fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.

  • a>1a>1 ise fonksiyon artandır. xx büyüdükçe axa^x büyür.
  • 0<a<10<a<1 ise fonksiyon azalandır.
  • Grafik her zaman (0,1)(0,1) noktasından geçer ve xx eksenini kesmez. Değer kümesi (0,∞)(0,\infty).
  • ax=aya^x=a^y ise x=yx=y olur (birebirdir).

Üstel denklem: Tabanları eşitleyip üsleri eşitle. 2x+1=322^{x+1}=32 ise 2x+1=252^{x+1}=2^5 ve x=4x=4.

Değişken değiştirme: 32x−4⋅3x+3=03^{2x}-4\cdot3^x+3=0 için 3x=t3^x=t yazılır, t2−4t+3=0t^2-4t+3=0 ve t=1t=1 ya da t=3t=3. Buradan x=0x=0 ya da x=1x=1.

2. Logaritmanın tanımı

a>0a>0, a≠1a\ne1 ve b>0b>0 için

log⁡ab=x  ⟺  ax=b\log_ab=x\iff a^x=b

  • log⁡a1=0\log_a1=0 ve log⁡aa=1\log_aa=1.
  • log⁡aan=n\log_aa^n=n ve alog⁡ab=ba^{\log_ab}=b.
  • Ondalık logaritma: Taban 10 ise yazılmaz. log⁡100=2\log100=2.
  • Doğal logaritma: Taban e≈2,718e\approx2{,}718 ise ln⁡x\ln x yazılır.

Tanım koşulları: log⁡af(x)\log_a f(x) için f(x)>0f(x)>0, a>0a>0, a≠1a\ne1.

Örnek: log⁡28+log⁡39+log⁡100=3+2+2=7\log_28+\log_39+\log100=3+2+2=7.

3. Logaritma kuralları

Kural Formül
Çarpım log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay
Bölüm log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a\dfrac xy=\log_ax-\log_ay
Kuvvet log⁡axn=nlog⁡ax\log_ax^n=n\log_ax
Taban kuvveti log⁡amx=1mlog⁡ax\log_{a^m}x=\dfrac1m\log_ax
Taban değiştirme log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}
Ters log⁡ab=1log⁡ba\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}
Zincir log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac

Örnek: log⁡23=a\log_23=a ise log⁡312=log⁡3(3⋅4)=1+log⁡34=1+2log⁡23=1+2a=a+2a\log_312=\log_3(3\cdot4)=1+\log_34=1+\dfrac{2}{\log_23}=1+\dfrac2a=\dfrac{a+2}{a}.

4. Logaritmik fonksiyon ve grafiği

f(x)=log⁡axf(x)=\log_ax fonksiyonu f(x)=axf(x)=a^x'in tersidir. Grafikleri y=xy=x doğrusuna göre simetriktir.

  • a>1a>1 ise artan, 0<a<10<a<1 ise azalandır.
  • Tanım kümesi (0,∞)(0,\infty), değer kümesi R\mathbb{R}.
  • Grafik daima (1,0)(1,0) noktasından geçer ve yy eksenini kesmez.

Tanım kümesi örneği: f(x)=log⁡2(−x2+4x+5)f(x)=\log_2(-x^2+4x+5) için −x2+4x+5>0-x^2+4x+5>0 ve x2−4x−5<0x^2-4x-5<0, (x−5)(x+1)<0(x-5)(x+1)<0 ve −1<x<5-1<x<5. Tam sayı değerleri 0,1,2,3,40,1,2,3,4 olmak üzere beş tanedir.

5. Logaritmik denklemler

Denklemi log⁡af(x)=log⁡ag(x)\log_af(x)=\log_ag(x) biçimine getirip f(x)=g(x)f(x)=g(x) çöz, sonra tanım koşullarını kontrol et.

Örnek: log⁡2(x+3)+log⁡2(x−3)=4\log_2(x+3)+\log_2(x-3)=4 için x+3>0x+3>0 ve x−3>0x-3>0 olduğundan x>3x>3 olmalıdır. Çarpım yazılırsa log⁡2(x2−9)=4\log_2(x^2-9)=4 ve x2−9=16x^2-9=16, x2=25x^2=25 ve x=±5x=\pm5. x>3x>3 olduğundan yalnızca x=5x=5 kalır.

Tabanlı denklem: log⁡x16=2\log_x16=2 ise x2=16x^2=16 ve x=4x=4 (x=−4x=-4 tabanın pozitif olması koşuluyla elenir).

6. Eşitsizlikler

  • a>1a>1 ise log⁡ax>log⁡ay  ⟺  x>y>0\log_ax>\log_ay\iff x>y>0. Yön korunur.
  • 0<a<10<a<1 ise log⁡ax>log⁡ay  ⟺  0<x<y\log_ax>\log_ay\iff 0<x<y. Yön değişir.
  • Üstel eşitsizlikte de aynı: a>1a>1 için ax<ay  ⟺  x<ya^x<a^y\iff x<y, 0<a<10<a<1 için yön değişir.

Örnek: log⁡1/2(x−1)>log⁡1/23\log_{1/2}(x-1)>\log_{1/2}3 için taban 0<a<10<a<1 olduğundan 0<x−1<30<x-1<3 ve 1<x<41<x<4.

7. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Tanım log⁡ab=x  ⟺  ax=b\log_ab=x\iff a^x=b
Koşul Taban >0>0, ≠1\ne1, içi >0>0
Çarpım log⁡(xy)=log⁡x+log⁡y\log(xy)=\log x+\log y
Kuvvet log⁡xn=nlog⁡x\log x^n=n\log x
Taban değiştirme log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}
Denklem Çöz, sonra tanım kümesini kontrol et
Eşitsizlik Taban <1<1 ise yön değişir

Mini test

Soru 1

log⁡23=a\log_23=a olduğuna göre log⁡312\log_312 değeri aa cinsinden aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Aa+2a\dfrac{a+2}{a}
  2. Baa+2\dfrac{a}{a+2}
  3. C2a+12a+1
  4. Da+2a+2
  5. E2a\dfrac2a
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. log⁡312=log⁡3(3⋅4)=log⁡33+log⁡34=1+log⁡34\log_312=\log_3(3\cdot4)=\log_33+\log_34=1+\log_34.
  2. log⁡34=log⁡24log⁡23=2a\log_34=\dfrac{\log_24}{\log_23}=\dfrac2a.
  3. Toplam 1+2a=a+2a1+\dfrac2a=\dfrac{a+2}{a}. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: aa+2\dfrac{a}{a+2} sonucun tersi yazılmış / 2a+12a+1 log⁡34\log_34 yerine 2log⁡232\log_23 alınmış / a+2a+2 taban değiştirmede aa ile bölme yapılmamış / 2a\dfrac2a log⁡33=1\log_33=1 terimi unutulmuş.

Soru 2

log⁡2(x+3)+log⁡2(x−3)=4\log_2(x+3)+\log_2(x-3)=4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A{−5}\{-5\}
  2. B{2}\{2\}
  3. C{5}\{5\}
  4. D{13}\{13\}
  5. E{25}\{25\}
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Tanım koşulu: x+3>0x+3>0 ve x−3>0x-3>0, yani x>3x>3.
  2. Çarpım olarak yazılırsa log⁡2(x2−9)=4\log_2(x^2-9)=4 ve x2−9=16x^2-9=16, x2=25x^2=25.
  3. x=±5x=\pm5 bulunur, x>3x>3 olduğundan yalnızca x=5x=5 kalır. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: {−5}\{-5\} tanım koşulu kontrol edilmemiş, negatif kök alınmış / {2}\{2\} logaritmaların toplamı içeride de toplanmış, 2x=42x=4 / {13}\{13\} yalnızca ilk terim 4'e eşitlenmiş, x+3=16x+3=16 / {25}\{25\} x2=25x^2=25 iken kök almak unutulmuş.

Soru 3

32x−4⋅3x+3=03^{2x}-4\cdot3^x+3=0 denkleminin çözüm kümesindeki elemanların toplamı kaçtır?

  1. A0
  2. B1
  3. C2
  4. D3
  5. E4
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. 3x=t3^x=t yazılırsa t2−4t+3=0t^2-4t+3=0 ve (t−1)(t−3)=0(t-1)(t-3)=0, yani t=1t=1 ya da t=3t=3.
  2. 3x=13^x=1 ise x=0x=0, 3x=33^x=3 ise x=1x=1.
  3. Toplam 0+1=10+1=1. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: 0 yalnızca x=0x=0 çözümü alınmış / 2 t=1t=1 ve t=3t=3 için xx değerleri 11 ve 11 sanılmış / 3 tt değeri xx yerine yazılmış / 4 tt değerlerinin toplamı 1+31+3 alınmış.

Soru 4

f(x)=log⁡2(−x2+4x+5)f(x)=\log_2(-x^2+4x+5) fonksiyonunun tanım kümesinde kaç tam sayı vardır?

  1. A3
  2. B4
  3. C5
  4. D6
  5. E7
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: −x2+4x+5>0-x^2+4x+5>0, yani x2−4x−5<0x^2-4x-5<0.
  2. (x−5)(x+1)<0(x-5)(x+1)<0 ve −1<x<5-1<x<5.
  3. Tam sayılar 0,1,2,3,40,1,2,3,4 olup beş tanedir. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 3 yalnızca 1,2,31,2,3 alınmış, ortadaki sayılar sayılmış / 4 yalnızca pozitif tam sayılar sayılmış, sıfır unutulmuş / 6 uçlardan biri dahil edilmiş / 7 iki uç da dahil edilmiş.

Kendini dene

Kendini dene

log⁡327\log_327 kaçtır?

log⁡2+log⁡5\log2+\log5 kaçtır?

log⁡10=1\log10=1.

2x=642^x=64 ise xx kaçtır?

log⁡ab\log_ab ifadesinde aa hangi koşulları sağlamalıdır?

a>0a>0 ve a≠1a\ne1.

log⁡1/2x>log⁡1/24\log_{1/2}x>\log_{1/2}4 eşitsizliğinde yön değişir mi?

Evet, taban 1'den küçük olduğu için 0<x<40<x<4.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Matematik dersinin diğer konuları