Türev

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir arabanın hız göstergesi, yolun zamanla ne kadar hızlı değiştiğini gösterir. Bir şirketin kârının hangi üretim miktarında en yüksek olduğunu, bir kutunun hangi ölçülerde en az malzemeyle yapılacağını bulmak için de bir şeyin başka bir şeye göre ne kadar hızlı değiştiğini bilmen gerekir. Bu hıza türev denir. Geometrik olarak türev, eğriye çizilen teğetin eğimidir. Bu konuda türevin tanımını, kurallarını, teğet ve normal denklemlerini, artan ve azalan aralıkları, yerel en büyük ve en küçük değerleri ve en iyi (optimizasyon) problemlerini öğreneceksin.

1. Türevin tanımı

$f$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki türevi

$f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$

limitidir. Limit varsa fonksiyon $a$'da türevlidir.

Geometrik anlamı: $f'(a)$, $y=f(x)$ eğrisine $(a,f(a))$ noktasında çizilen teğetin eğimidir.

Fiziksel anlamı: Yer değiştirme $s(t)$ ise anlık hız $v(t)=s'(t)$, anlık ivme $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Türevlenebilirlik: Soldan ve sağdan türev eşit olmalıdır. Sivri uçlu noktalarda ($\lvert x\rvert$ fonksiyonunun $x=0$ noktası gibi) fonksiyon sürekli ama türevsizdir. Türevli olan fonksiyon her zaman süreklidir, tersi doğru değildir.

2. Türev kuralları

İşlem kuralları:

• $(f\pm g)'=f'\pm g'$
• $(c\,f)'=c\,f'$
• Çarpım: $(f\cdot g)'=f'g+fg'$
• Bölüm: $\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$
• Zincir: $\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Örnek: $f(x)=(x^2+1)^3$ için dıştan türev $3(x^2+1)^2$, içten türev $2x$. $f'(x)=6x(x^2+1)^2$ ve $f'(1)=6\cdot4=24$.

Örnek: $f(x)=x^3-3x^2+2x$ için $f'(x)=3x^2-6x+2$ ve $f'(2)=12-12+2=2$.

3. Teğet ve normal

$y=f(x)$ eğrisinin $x=a$ noktasındaki

• Teğet: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$
• Normal: $y-f(a)=-\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)$

Normal, teğete o noktada diktir. Eğimleri çarpımı $-1$ olur.

Örnek: $y=x^2-2x+3$ eğrisinin $x=2$ noktasında $f(2)=3$ ve $f'(x)=2x-2$ ile $f'(2)=2$. Teğet: $y-3=2(x-2)$, yani $y=2x-1$. Normal: $y-3=-\dfrac12(x-2)$, yani $y=-\dfrac{x}{2}+4$.

Yatay teğet: $f'(a)=0$ olan noktalarda teğet $x$ eksenine paraleldir.

4. Artan ve azalan fonksiyonlar, ekstremum

• Bir aralıkta $f'(x)>0$ ise $f$ artan.
• Bir aralıkta $f'(x)<0$ ise $f$ azalan.
• $f'(a)=0$ olan noktalar kritik noktadır.

Yerel ekstremum: Kritik noktada $f'$ işareti değişiyorsa ekstremum vardır.

• $f'$ işareti $+\to-$ ise yerel maksimum.
• $f'$ işareti $-\to+$ ise yerel minimum.

Örnek: $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ için $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Kritik noktalar $-1$ ve $3$. İşaret tablosu $+,-,+$. $x=-1$ yerel maksimum ($f(-1)=10$), $x=3$ yerel minimum ($f(3)=-22$).

5. İkinci türev ve konkavlık

• $f''(x)>0$ ise grafik konveks (içbükey, "çanak" gibi).
• $f''(x)<0$ ise grafik konkav (dışbükey, "tepe" gibi).
• $f''$ işaret değiştiriyorsa o nokta büküm noktasıdır.

İkinci türev testi: $f'(a)=0$ ve $f''(a)>0$ ise yerel minimum, $f''(a)<0$ ise yerel maksimum.

6. Maksimum ve minimum problemleri

1. Maksimum ya da minimum yapılacak büyüklüğü yaz.
2. Verilen koşulla tek değişkene indir.
3. Türevi al, sıfıra eşitle.
4. Bulunan değerin gerçekten en büyük ya da en küçük olduğunu kontrol et.

Örnek: Çevresi 60 m olan dikdörtgenin kenarları $x$ ve $30-x$ olur. Alan $A(x)=x(30-x)=30x-x^2$. $A'(x)=30-2x=0$ ve $x=15$. Alan $15\cdot15=225\ \text{m}^2$ ile en büyüktür, yani kare.

7. L'Hospital kuralı

$\dfrac00$ ya da $\dfrac\infty\infty$ belirsizliğinde pay ve paydanın ayrı ayrı türevi alınarak limit bulunabilir:

$\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

Örnek: $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{3\cos3x}{1}=3$.

Dikkat: Bölümün türevi alınmaz, pay ve payda ayrı ayrı türetilir.

8. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.