Yolumnet

AYT · Matematik

Analitik Geometri

Yaklaşık 15 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-24

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir haritada iki şehir arasındaki mesafeyi, bir navigasyonun en kısa yolu hesaplayışını ya da bir oyundaki karakterin ekranda hareketini düşün. Hepsinde konumlar koordinatlarla gösterilir ve işlemler cebirle yapılır. Analitik geometri, geometrik şekilleri koordinat düzleminde denklemlerle inceleme yöntemidir. Bu konuda iki nokta arasındaki uzaklığı, orta noktayı, bir doğrunun denklemini, doğrular arasındaki ilişkileri, bir noktanın doğruya uzaklığını ve üçgenin alanını koordinatla bulmayı öğreneceksin. Bu araçlar bir sonraki konu olan çemberin analitik incelemesinin temelidir.

Hedefler

  1. İki nokta arasındaki uzaklığı ve orta noktayı hesaplamak.
  2. Doğru parçasını verilen oranda bölen noktayı bulmak.
  3. Bir doğrunun denklemini farklı verilerle yazmak.
  4. Paralel ve dik doğruları eğimlerle ayırt etmek.
  5. Bir noktanın doğruya uzaklığını hesaplamak.
  6. Üçgenin alanını koordinatlarla bulmak.
Analitik Geometri · Matematiğin Güler Yüzü

1. Uzaklık, orta nokta, bölme

A(x1,y1)A(x_1,y_1) ve B(x2,y2)B(x_2,y_2) için:

∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2\lvert AB\rvert=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Orta nokta: M(x1+x22,y1+y22)M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right).

Bölme oranı: CC noktası [AB][AB] doğru parçasını ∣AC∣:∣CB∣=m:n\lvert AC\rvert:\lvert CB\rvert=m:n oranında içten bölüyorsa

C(n x1+m x2m+n, n y1+m y2m+n)C\left(\dfrac{n\,x_1+m\,x_2}{m+n},\ \dfrac{n\,y_1+m\,y_2}{m+n}\right)

Örnek: A(1,2)A(1,2) ve B(9,10)B(9,10) için ∣AC∣:∣CB∣=3:1\lvert AC\rvert:\lvert CB\rvert=3:1 ise C=(1⋅1+3⋅94,1⋅2+3⋅104)=(7,8)C=\left(\dfrac{1\cdot1+3\cdot9}{4},\dfrac{1\cdot2+3\cdot10}{4}\right)=(7,8).

Ağırlık merkezi: Köşeleri A,B,CA,B,C olan üçgenin ağırlık merkezi G(x1+x2+x33,y1+y2+y33)G\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right).

2. Doğrunun denklemi

Verilen Denklem
Eğim mm ve yy kesimi nn y=mx+ny=mx+n
Eğim mm ve bir nokta (x1,y1)(x_1,y_1) y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1)
İki nokta y−y1y2−y1=x−x1x2−x1\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}
Eksen kesim noktaları aa ve bb xa+yb=1\dfrac xa+\dfrac yb=1
Genel biçim ax+by+c=0ax+by+c=0

Eğim: İki nokta için m=y2−y1x2−x1m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. Genel biçimde m=−abm=-\dfrac ab. Eğim aynı zamanda doğrunun xx ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır: m=tan⁡αm=\tan\alpha.

Özel doğrular: xx eksenine paralel doğrunun eğimi 0, denklemi y=ky=k. yy eksenine paralel doğrunun eğimi tanımsız, denklemi x=kx=k.

3. İki doğrunun durumu

d1: a1x+b1y+c1=0d_1:\ a_1x+b_1y+c_1=0 ve d2: a2x+b2y+c2=0d_2:\ a_2x+b_2y+c_2=0 olsun.

Durum Şart
Paralel m1=m2m_1=m_2 ya da a1a2=b1b2≠c1c2\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}
Çakışık a1a2=b1b2=c1c2\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}
Dik m1⋅m2=−1m_1\cdot m_2=-1 ya da a1a2+b1b2=0a_1a_2+b_1b_2=0
Kesişen Eğimleri farklı. Kesim noktası denklem sistemiyle bulunur

Örnek: (m−1)x+2y−3=0(m-1)x+2y-3=0 ve 3x+(m+1)y+5=03x+(m+1)y+5=0 doğruları dik ise 3(m−1)+2(m+1)=03(m-1)+2(m+1)=0 ve 5m−1=05m-1=0, m=15m=\dfrac15.

Açı: İki doğru arasındaki dar açı tan⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\tan\theta=\left\lvert\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right\rvert.

4. Noktanın doğruya uzaklığı

P(x0,y0)P(x_0,y_0) noktasının ax+by+c=0ax+by+c=0 doğrusuna uzaklığı

d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d=\dfrac{\lvert ax_0+by_0+c\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}

Örnek: P(2,3)P(2,3) noktasının 3x−4y+5=03x-4y+5=0 doğrusuna uzaklığı ∣6−12+5∣9+16=15\dfrac{\lvert6-12+5\rvert}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{1}{5}.

Paralel iki doğru arası uzaklık: ax+by+c1=0ax+by+c_1=0 ve ax+by+c2=0ax+by+c_2=0 için d=∣c1−c2∣a2+b2d=\dfrac{\lvert c_1-c_2\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}. Denklemlerin xx ve yy katsayıları aynı olmalıdır.

5. Üçgenin alanı

A(x1,y1)A(x_1,y_1), B(x2,y2)B(x_2,y_2), C(x3,y3)C(x_3,y_3) köşeli üçgenin alanı

A=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣A=\dfrac12\left\lvert x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right\rvert

Örnek: A(1,1)A(1,1), B(5,2)B(5,2), C(3,6)C(3,6) için 12∣1(2−6)+5(6−1)+3(1−2)∣=12∣−4+25−3∣=9\dfrac12\lvert1(2-6)+5(6-1)+3(1-2)\rvert=\dfrac12\lvert-4+25-3\rvert=9.

Pratik yol: Bir kenar eksene paralelse alan, o kenarın uzunluğu ile karşı köşenin kenara uzaklığının çarpımının yarısıdır.

Doğrusallık: Üç nokta doğrusal ise alan sıfırdır.

6. Simetri ve yansıma

  • P(a,b)P(a,b) noktasının xx eksenine göre simetriği (a,−b)(a,-b), yy eksenine göre (−a,b)(-a,b), orijine göre (−a,−b)(-a,-b).
  • y=xy=x doğrusuna göre simetriği (b,a)(b,a).
  • Bir noktanın bir doğruya göre simetriğini bulmak için, noktadan doğruya dik çizilir ve diğer tarafa aynı uzaklıkta alınır.

7. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Uzaklık Δx2+Δy2\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}
Orta nokta Koordinatların ortalaması
Eğim ΔyΔx=−ab\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-\dfrac ab
Paralel Eğimler eşit
Dik Eğimler çarpımı −1-1
Noktadan doğruya ∣ax0+by0+c∣a2+b2\dfrac{\lvert ax_0+by_0+c\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}
Üçgen alanı Determinant biçimi

Mini test

Soru 1

A(1,2)A(1,2) ve B(7,10)B(7,10) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. A6
  2. B8
  3. C10
  4. D12
  5. E14
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Δx=7−1=6\Delta x=7-1=6 ve Δy=10−2=8\Delta y=10-2=8.
  2. ∣AB∣=62+82=100=10\lvert AB\rvert=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 6 yalnızca yatay fark alınmış / 8 yalnızca dikey fark alınmış / 12 yatay fark iki katı alınmış, 2⋅62\cdot6 / 14 farklar doğrudan toplanmış, 6+86+8.

Soru 2

P(2,3)P(2,3) noktasının 3x−4y+5=03x-4y+5=0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?

  1. A15\dfrac15
  2. B1
  3. C115\dfrac{11}{5}
  4. D235\dfrac{23}{5}
  5. E5
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. a=3a=3, b=−4b=-4, c=5c=5 ve P(2,3)P(2,3) için ∣3⋅2−4⋅3+5∣=∣6−12+5∣=1\lvert3\cdot2-4\cdot3+5\rvert=\lvert6-12+5\rvert=1.
  2. a2+b2=9+16=5\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5.
  3. d=15d=\dfrac15. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 1 paydadaki a2+b2=5\sqrt{a^2+b^2}=5 ile bölme unutulmuş / 115\dfrac{11}{5} cc'nin işareti ters alınmış, ∣6−12−5∣\lvert6-12-5\rvert / 235\dfrac{23}{5} yy teriminin işareti yanlış, ∣6+12+5∣\lvert6+12+5\rvert / 5 yalnızca payda hesaplanmış.

Soru 3

A(1,2)A(1,2) ve B(9,10)B(9,10) noktaları veriliyor. CC noktası [AB][AB] doğru parçası üzerinde olup ∣AC∣:∣CB∣=3:1\lvert AC\rvert:\lvert CB\rvert=3:1 ise CC noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

  1. A7
  2. B11
  3. C13
  4. D15
  5. E22
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. CC noktası AA'dan BB'ye giden yolun 34\dfrac34'ünde bulunur.
  2. x=1+34⋅8=7x=1+\dfrac34\cdot8=7 ve y=2+34⋅8=8y=2+\dfrac34\cdot8=8. C(7,8)C(7,8).
  3. Koordinatlar toplamı 7+8=157+8=15. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: 7 oran ters alınmış, C(3,4)C(3,4) / 11 orta nokta bulunmuş, (5,6)(5,6) / 13 yalnızca xx koordinatına oran uygulanmış, C(7,6)C(7,6) / 22 AA ve BB'nin koordinatları toplanmış.

Soru 4

(m−1)x+2y−3=0(m-1)x+2y-3=0 ve 3x+(m+1)y+5=03x+(m+1)y+5=0 doğruları birbirine dik olduğuna göre mm kaçtır?

  1. A−5-5
  2. B−15-\dfrac15
  3. C15\dfrac15
  4. D1
  5. E5
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Dik olma şartı a1a2+b1b2=0a_1a_2+b_1b_2=0 yazılır.
  2. 3(m−1)+2(m+1)=03(m-1)+2(m+1)=0 ve 5m−1=05m-1=0 olur.
  3. m=15m=\dfrac15. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: −5-5 hem işaret hem oran hatası yapılmış / −15-\dfrac15 2(m+1)2(m+1) terimi eksi alınarak çözülmüş / 1 eğimlerin eşit olduğu varsayılmış / 5 çarpma yerine ters oran kurulmuş.

Kendini dene

Kendini dene

A(0,0)A(0,0) ve B(3,4)B(3,4) arasındaki uzaklık nedir?

y=2x+1y=2x+1 doğrusunun eğimi kaçtır?

Eğimi 2 olan doğruya dik doğrunun eğimi kaçtır?

−12-\dfrac12.

(2,6)(2,6) ile (4,10)(4,10) noktalarının orta noktası nedir?

(3,8)(3,8).

Orijinin 3x+4y−10=03x+4y-10=0 doğrusuna uzaklığı kaçtır?

105=2\dfrac{10}{5}=2.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Matematik dersinin diğer konuları