Yolumnet

AYT · Matematik

Dönüşüm Geometrisi

Yaklaşık 16 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-24

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir bilgisayar oyununda karakterin ekranda yürümesi, bir fotoğrafı döndürmen, aynadaki görüntün ya da bir logonun büyütülüp küçültülmesi, hepsi geometrik dönüşümdür. Bir şeklin yerini ya da boyunu değiştirirken yaptığın işlem düzenli kurallara bağlıdır. Bu konuda öteleme, yansıma, dönme ve homotetiyi koordinat düzleminde öğreneceksin. Bu dönüşümlerin hangisinin şekli koruduğunu, hangisinin boyu değiştirdiğini ve fonksiyon grafiklerinde nasıl kullanıldığını göreceksin.

Hedefler

  1. Öteleme, yansıma ve dönmenin koordinat kurallarını uygulamak.
  2. Birden fazla dönüşümü art arda uygulamak.
  3. Bir doğrunun ya da eğrinin dönüşüm sonrası denklemini yazmak.
  4. Homotetide uzunluk ve alan değişimini hesaplamak.
  5. Şeklin simetri eksenlerini ve dönel simetrisini belirlemek.
Dönüşümler · Matematiğin Güler Yüzü

1. Dönüşüm çeşitleri

İzometri (eş yapılı) dönüşümler: Uzunluğu ve açıyı korur, şeklin boyu değişmez. Öteleme, yansıma ve dönme izometridir.

Benzerlik dönüşümü (homoteti): Şeklin biçimini korur ama boyunu değiştirir.

2. Öteleme

Her noktayı aynı yönde ve aynı uzaklıkta kaydırır. v⃗=(a,b)\vec v=(a,b) vektörü ile öteleme:

P(x,y)→P′(x+a, y+b)P(x,y)\to P'(x+a,\,y+b)

Özellikler: Doğru, kendine paralel bir doğruya gider. Şekil dönmez, boyu değişmez.

Eğri ötelemesi: y=f(x)y=f(x) grafiğini (a,b)(a,b) vektörüyle ötelemek için xx yerine x−ax-a yaz, yy yerine y−by-b yaz: y−b=f(x−a)y-b=f(x-a).

Örnek: y=x2−2xy=x^2-2x parabolü (2,3)(2,3) vektörüyle ötelenirse y−3=(x−2)2−2(x−2)y-3=(x-2)^2-2(x-2) ve y=x2−6x+11y=x^2-6x+11 olur.

3. Yansıma (simetri)

Yansıma Kural
xx eksenine göre (x,y)→(x,−y)(x,y)\to(x,-y)
yy eksenine göre (x,y)→(−x,y)(x,y)\to(-x,y)
Orijine göre (x,y)→(−x,−y)(x,y)\to(-x,-y)
y=xy=x doğrusuna göre (x,y)→(y,x)(x,y)\to(y,x)
y=−xy=-x doğrusuna göre (x,y)→(−y,−x)(x,y)\to(-y,-x)
x=ax=a doğrusuna göre (x,y)→(2a−x, y)(x,y)\to(2a-x,\,y)
y=by=b doğrusuna göre (x,y)→(x, 2b−y)(x,y)\to(x,\,2b-y)

Fonksiyonlarda: y=f(x)y=f(x) grafiğinin xx eksenine göre yansıması y=−f(x)y=-f(x), yy eksenine göre yansıması y=f(−x)y=f(-x), y=xy=x doğrusuna göre yansıması ff'nin tersidir.

Özellikler: Doğru üzerindeki noktalar kendine gider. Yansıma, şeklin yönünü ters çevirir (saat yönü ters saat yönüne döner).

4. Dönme

Orijin etrafında dönme (θ\theta kadar, saat yönünün tersine):

Açı Kural
90∘90^\circ (x,y)→(−y, x)(x,y)\to(-y,\,x)
180∘180^\circ (x,y)→(−x, −y)(x,y)\to(-x,\,-y)
270∘270^\circ (x,y)→(y, −x)(x,y)\to(y,\,-x)

Genel dönme: (x,y)→(xcos⁡θ−ysin⁡θ, xsin⁡θ+ycos⁡θ)(x,y)\to(x\cos\theta-y\sin\theta,\ x\sin\theta+y\cos\theta).

Merkez başka bir nokta ise: Önce merkezi orijine ötele, döndür, geri ötele.

Özellikler: Dönme açıyı ve uzaklığı korur. Merkez, sabit noktadır. 180∘180^\circ'lik dönme, orijine göre yansımayla aynıdır.

Örnek: A(3,−2)A(3,-2) noktası önce xx eksenine göre yansıtılır: (3,2)(3,2). Sonra orijin etrafında 90∘90^\circ döndürülür: (−2,3)(-2,3).

Doğru örneği: y=2x+1y=2x+1 doğrusu orijin etrafında 90∘90^\circ döndürülürse (x,y)→(x′,y′)=(−y,x)(x,y)\to(x',y')=(-y,x) olduğundan x=y′x=y' ve y=−x′y=-x' yazılır. −x′=2y′+1-x'=2y'+1 ve y′=−x′2−12y'=-\dfrac{x'}{2}-\dfrac12. Eğim 22'den −12-\dfrac12'ye geçer, doğrular birbirine diktir.

5. Homoteti

Merkezi OO ve oranı kk olan homotetide PP noktası P′P''ne giderken OP′⃗=kOP⃗\vec{OP'}=k\vec{OP} olur. Merkez orijinse (x,y)→(kx,ky)(x,y)\to(kx,ky).

  • k>0k>0: Şekil aynı yönde kalır. k<0k<0: Şekil ters yöne döner.
  • ∣k∣>1\lvert k\rvert>1 büyütme, ∣k∣<1\lvert k\rvert<1 küçültme.
  • Uzunluk ∣k∣\lvert k\rvert katı olur, açılar değişmez.
  • Alan k2k^2 katı olur, hacim ∣k∣3\lvert k\rvert^3 katı olur.

Örnek: Köşeleri (1,1)(1,1), (4,1)(4,1), (1,5)(1,5) olan üçgenin alanı 12⋅3⋅4=6\dfrac12\cdot3\cdot4=6. Orijin merkezli ve k=2k=2 oranlı homotetide alan 4⋅6=244\cdot6=24 olur.

6. Simetri

  • Çizgisel (eksenel) simetri: Şekil bir doğruya göre yansıyınca kendisiyle çakışır. Eşkenar üçgenin 3, karenin 4, dikdörtgenin 2, çemberin sonsuz simetri ekseni vardır.
  • Dönel simetri: Şekil bir merkez etrafında bir açı kadar dönünce kendisiyle çakışır. Karede 90∘90^\circ ve katları.
  • Noktasal simetri: 180∘180^\circ dönmede çakışır. Paralelkenar ve dikdörtgenin merkezi vardır.

Fonksiyon simetrisi: Çift fonksiyonun grafiği yy eksenine, tek fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

7. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Öteleme (x+a, y+b)(x+a,\,y+b)
xx eksenine yansıma (x,−y)(x,-y)
y=xy=x'e yansıma (y,x)(y,x)
90∘90^\circ dönme (−y, x)(-y,\,x)
180∘180^\circ dönme (−x,−y)(-x,-y)
Homoteti Uzunluk kk, alan k2k^2
Sıra Art arda dönüşümde sıra önemli

Mini test

Soru 1

A(3,−2)A(3,-2) noktası önce xx eksenine göre yansıtılıyor, çıkan nokta orijin etrafında saat yönünün tersine 90∘90^\circ döndürülüyor. Elde edilen noktanın apsisi kaçtır?

  1. A−3-3
  2. B−2-2
  3. C1
  4. D2
  5. E3
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. xx eksenine göre yansıma: (3,−2)→(3,2)(3,-2)\to(3,2).
  2. 90∘90^\circ dönme kuralı (x,y)→(−y,x)(x,y)\to(-y,x): (3,2)→(−2,3)(3,2)\to(-2,3).
  3. Apsis −2-2. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: −3-3 yansıma yy eksenine göre yapılmış / 1 apsis ile ordinat toplanmış, −2+3-2+3 / 2 dönme yönü ters alınmış, (2,−3)(2,-3) / 3 yansıma yapılıp dönme unutulmuş, (3,2)(3,2).

Soru 2

y=x2−2xy=x^2-2x parabolü (2,3)(2,3) vektörü ile ötelendiğinde elde edilen parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Ay=x2−2x+3y=x^2-2x+3
  2. By=x2+2x+3y=x^2+2x+3
  3. Cy=x2−6x+5y=x^2-6x+5
  4. Dy=x2−6x+11y=x^2-6x+11
  5. Ey=x2+2x−1y=x^2+2x-1
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. Öteleme (a,b)=(2,3)(a,b)=(2,3) için xx yerine x−2x-2, yy yerine y−3y-3 yazılır: y−3=(x−2)2−2(x−2)y-3=(x-2)^2-2(x-2).
  2. y=x2−4x+4−2x+4+3=x2−6x+11y=x^2-4x+4-2x+4+3=x^2-6x+11. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: x2−2x+3x^2-2x+3 yalnızca yy yönünde ötelenmiş / x2+2x+3x^2+2x+3 xx için ters yönde, x+2x+2 yazılmış / x2−6x+5x^2-6x+5 yy yönünde ters ötelenmiş, −3-3 / x2+2x−1x^2+2x-1 her iki yönde de ters ötelenmiş.

Soru 3

y=2x+1y=2x+1 doğrusu orijin etrafında saat yönünün tersine 90∘90^\circ döndürülürse elde edilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Ay=−x2−12y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac12
  2. By=−x2+1y=-\dfrac{x}{2}+1
  3. Cy=−2x−1y=-2x-1
  4. Dy=x2−1y=\dfrac{x}{2}-1
  5. Ey=2x−1y=2x-1
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. 90∘90^\circ dönmede (x,y)→(x′,y′)=(−y,x)(x,y)\to(x',y')=(-y,x). Buradan x=y′x=y' ve y=−x′y=-x'.
  2. Doğruda yerine yazılırsa −x′=2y′+1-x'=2y'+1 olur.
  3. y′=−x′2−12y'=-\dfrac{x'}{2}-\dfrac12. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: −x2+1-\dfrac x2+1 eğim doğru ama sabit terim dönmeden etkilenmemiş sanılmış / −2x−1-2x-1 eğim yalnızca işaret değiştirmiş / x2−1\dfrac x2-1 dönme yönü ters alınmış, eğim yanlış işaretli / 2x−12x-1 doğru y=xy=x'e göre ya da kendine yansıtılmış gibi işlenmiş.

Soru 4

Köşeleri (1,1)(1,1), (4,1)(4,1) ve (1,5)(1,5) olan üçgen, orijin merkezli ve oranı 22 olan homotetiye uğratılıyor. Yeni üçgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A6
  2. B12
  3. C24
  4. D36
  5. E48
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. İlk üçgen dik üçgendir. Kenarları 33 ve 44, alan 12⋅3⋅4=6\dfrac12\cdot3\cdot4=6.
  2. Homotetide uzunluklar 22 katına çıkar, alan 22=42^2=4 katına çıkar.
  3. Yeni alan 4⋅6=244\cdot6=24. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 6 alan değişmez sanılmış / 12 alan yalnızca 22 katına çıkarılmış / 36 alan oranı 323^2 gibi alınmış, 6⋅66\cdot6 / 48 hacim oranı k3k^3 gibi alınmış, 6⋅86\cdot8.

Kendini dene

Kendini dene

(2,5)(2,5) noktasının yy eksenine göre yansıması nedir?

(−2,5)(-2,5).

(1,2)(1,2) noktasını (3,−1)(3,-1) vektörü ile ötelersen yeni nokta ne olur?

(4,1)(4,1).

(3,4)(3,4) noktasının y=xy=x doğrusuna göre yansıması nedir?

(4,3)(4,3).

180∘180^\circ dönmede (x,y)(x,y) nereye gider?

(−x,−y)(-x,-y).

Homotetide oran k=3k=3 ise alan kaç katına çıkar?

9 katına.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Matematik dersinin diğer konuları