Geometrik Cisimler

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir su deposuna kaç litre su sığar? Bir konserve kutusunun etiketi ne kadar kâğıt ister? Bir külah dondurma ile bir bardak aynı yükseklikte olunca hangisine daha çok sığar? Bu soruların hepsi geometrik cisimlerin hacim ve yüzey alanı hesabına dayanır. Bu konuda prizma, silindir, koni ve piramidin yüzey alanı ile hacmini hesaplamayı öğreneceksin.

1. Dik prizma

Prizma, iki tabanı eş ve paralel çokgenlerden, yan yüzleri dikdörtgenlerden oluşan cisimdir. Yan kenarlar tabana dikse prizmaya dik prizma denir. Taban şekline göre isim alır: üçgen prizma, dikdörtgen prizma (kutu), kare prizma gibi.

$V = \text{Taban alanı} \cdot \text{Yükseklik}$

$\text{Yüzey alanı} = 2 \cdot \text{Taban alanı} + \text{Yanal alan}$

Yanal alan, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır: $\text{Yanal alan} = \text{Taban çevresi} \cdot h$.

Örnek: Ayrıtları 4 cm, 5 cm ve 6 cm olan dikdörtgenler prizması.

• Hacim: $4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$ cm³
• Yüzey alanı: $2(4 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 6) = 2(20 + 24 + 30) = 148$ cm²

2. Dik dairesel silindir

Silindir, iki tabanı eş daireler olan, yan yüzü açılınca dikdörtgen olan cisimdir. Taban yarıçapı $r$, yüksekliği $h$ olsun. Bu ünitede $\pi$ yaklaşık olarak 3 alınır (soruda belirtilir).

$V = \pi r^2 h$

$\text{Yanal alan} = 2\pi r h$

$\text{Toplam yüzey alanı} = 2\pi r h + 2\pi r^2$

Yan yüz açılınca kenarları $2\pi r$ ve $h$ olan bir dikdörtgen oluşur. Bu yüzden yanal alan çevre çarpı yüksekliktir.

Örnek: $r = 3$ cm, $h = 10$ cm, $\pi = 3$ olan silindir.

• Hacim: $3 \cdot 3^2 \cdot 10 = 270$ cm³
• Yanal alan: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 10 = 180$ cm²
• Toplam yüzey: $180 + 2 \cdot 3 \cdot 3^2 = 180 + 54 = 234$ cm²

3. Dik dairesel koni

Koni, bir dairesel tabandan ve bir tepe noktasından oluşur. Tabanın merkezi ile tepe noktası arasındaki dik uzaklık yüksekliktir ($h$). Tepe noktasından taban çemberindeki bir noktaya olan uzaklığa ana doğru ($l$) denir. Dik üçgen oluşur, bu yüzden Pisagor kullanılır.

$l^2 = r^2 + h^2$

$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$

$\text{Yanal alan} = \pi r l \qquad \text{Toplam yüzey alanı} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)$

Örnek: $r = 3$ cm, $h = 4$ cm, $\pi = 3$ olan koni.

• Ana doğru: $l = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ cm
• Hacim: $\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot 9 \cdot 4 = 36$ cm³
• Yanal alan: $3 \cdot 3 \cdot 5 = 45$ cm²
• Toplam yüzey: $45 + 3 \cdot 9 = 72$ cm²

4. Piramit

Piramit, çokgen bir tabanı ve tabandaki köşeleri tek bir tepe noktasına bağlayan üçgen yüzlerden oluşur. Taban kare ise kare piramit, üçgen ise üçgen piramit adını alır.

$V = \dfrac{1}{3} \cdot \text{Taban alanı} \cdot \text{Yükseklik}$

Yükseklik, tepe noktasından tabana indirilen dik uzunluktur. Yüzey alanı, taban alanı ile yan yüz üçgenlerinin alanları toplamıdır.

Örnek: Tabanı 6 cm kenarlı bir kare olan, yüksekliği 5 cm olan piramidin hacmi

$V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = 60\ \text{cm}^3$

• Aynı taban ve yükseklikte prizma ve piramitPiramidin hacmi prizmanın $\dfrac{1}{3}$ ü kadardır.
• Aynı taban ve yükseklikte silindir ve koniKoninin hacmi silindirin $\dfrac{1}{3}$ ü kadardır.
• Yarıçap iki katına çıkarSilindir ya da koninin hacmi 4 katına çıkar, çünkü $r^2$ ile orantılıdır.

5. Hacim, litre ve su problemleri

Birimler arasındaki ilişkiyi bil.

Örnek: Tabanı 20 cm × 25 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir akvaryumda su yüksekliği 12 cm’dir. Kaç litre su vardır?

$V = 20 \cdot 25 \cdot 12 = 6\,000\ \text{cm}^3 = 6\ \text{litre}$

Örnek: Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 12 cm olan silindir şeklindeki bir bardakla, taban ve yüksekliği aynı olan koni şekilli bir kabın hacimleri oranı $3 : 1$ dir. Çünkü koni, silindirin $\dfrac{1}{3}$ ü kadar su alır.

6. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.