Yolumnet

LGS · Matematik

Üçgenler

Yaklaşık 13 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-21

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir merdiven duvara dayanıyor. Merdivenin boyu ve duvardan uzaklığı belli, duvarda ne kadar yüksekliğe çıkar? Üç çubuğu uç uca getirip bir üçgen yapabilir miyiz? Bu soruların cevabı üçgenlerin kenar ve açı kurallarında gizli. Bu konuda üçgende açı-kenar ilişkilerini, üçgen oluşturma şartını ve meşhur Pisagor bağıntısını öğreneceksin.

Hedefler

  1. Üçgenin iç ve dış açıları arasındaki ilişkileri kullanmak.
  2. Üçgenin kenar uzunlukları ile açıları arasındaki ilişkiyi yorumlamak.
  3. Üç uzunluğun bir üçgen oluşturup oluşturmadığını belirlemek.
  4. Pisagor bağıntısını dik üçgenlerde ve günlük hayat problemlerinde uygulamak.
Üçgen Eşitsizliği ve Açı Kenar Bağlantısı · Tonguç 8. Sınıf

1. Üçgenin açıları

Her üçgende iç açıların toplamı 180° dir.

m(A^)+m(B^)+m(C^)=180∘m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ

Örnek: Bir üçgenin iki açısı 50° ve 60° ise üçüncü açısı 180∘−110∘=70∘180^\circ - 110^\circ = 70^\circ dir.

Dış açı, bir kenarın uzantısı ile komşu kenar arasındaki açıdır. Bir üçgenin bir dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Örnek: İç açıları 50° ve 60° olan üçgenin üçüncü köşesindeki dış açı 50∘+60∘=110∘50^\circ + 60^\circ = 110^\circ dir. Kontrol: Üçüncü iç açı 70° ve dış açı 180∘−70∘=110∘180^\circ - 70^\circ = 110^\circ.

Üçgen çeşitleri

Kenarlara göre Özellik
Eşkenar Üç kenar eşit, her açı 60°
İkizkenar İki kenar eşit, o kenarların karşısındaki iki açı (taban açıları) eşit
Çeşitkenar Kenarların hepsi farklı
Açılara göre Özellik
Dar açılı Üç açı da 90°’den küçük
Dik açılı Bir açı 90°
Geniş açılı Bir açı 90°’den büyük

Kendini dene

İkizkenar bir üçgenin tepe açısı 40° ise taban açıları kaçar derecedir?

(180∘−40∘)/2=70∘(180^\circ - 40^\circ)/2 = 70^\circ

Bir üçgenin dış açısı 120° ve komşu olmayan iç açılardan biri 50° ise diğeri kaç derecedir?

120∘−50∘=70∘120^\circ - 50^\circ = 70^\circ

2. Kenar ve açı ilişkisi

Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur. Eşit açıların karşısındaki kenarlar da eşittir.

Örnek: ABC üçgeninde m(A^)=40∘m(\hat{A}) = 40^\circ, m(B^)=60∘m(\hat{B}) = 60^\circ ise m(C^)=80∘m(\hat{C}) = 80^\circ dir.

  • A açısının karşısındaki kenar ∣BC∣|BC|, 40° ile en küçük açının karşısında olduğu için en kısa kenardır.
  • C açısının karşısındaki kenar ∣AB∣|AB|, 80° ile en büyük açının karşısında olduğu için en uzun kenardır.

∣BC∣<∣AC∣<∣AB∣|BC| < |AC| < |AB|

3. Üçgen eşitsizliği

Üç uzunluk ile bir üçgen çizilebilmesi için, herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. Bir başka ifadeyle bir kenar, diğer ikisinin farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.

∣a−b∣<c<a+b|a - b| < c < a + b

Örnek: İki kenarı 5 ve 9 olan bir üçgenin üçüncü kenarı xx ise

∣9−5∣<x<9+5⇒4<x<14|9 - 5| < x < 9 + 5 \Rightarrow 4 < x < 14

xx tam sayı ise xx, 5’ten 13’e kadar değer alabilir, yani 9 farklı değeri vardır. En küçük değer 5, en büyük değer 13’tür.

Üç uzunluk üçgen oluşturur mu? En uzun kenarı seç ve diğer ikisinin toplamıyla karşılaştır.

  • 3, 4, 5: 3+4=7>53 + 4 = 7 > 5. Üçgen oluşur.
  • 2, 3, 6: 2+3=5<62 + 3 = 5 < 6. Üçgen oluşmaz.
  • 4, 6, 10: 4+6=104 + 6 = 10, eşit olduğu için üçgen oluşmaz.
  • İki kısa kenarın toplamı en uzun kenardan küçükKenarlar uçlarda buluşamaz, üçgen oluşmaz.
  • İki kısa kenarın toplamı en uzun kenara eşitKenarlar tek doğru üzerinde kalır, üçgen oluşmaz.
  • İki kısa kenarın toplamı en uzun kenardan büyükÜçgen oluşur.
Pisagor Bağıntısı · Partikül Matematik

4. Pisagor bağıntısı

Dik üçgende dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer iki kenara dik kenar denir. Hipotenüs her zaman en uzun kenardır.

Pisagor bağıntısına göre dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Burada aa ve bb dik kenarlar, cc hipotenüstür.

Örnek: Dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan üçgenin hipotenüsü

c2=92+122=81+144=225⇒c=15 cmc^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \Rightarrow c = 15\ \text{cm}

Pisagor üçlüleri

Kenarları tam sayı olan bazı dik üçgenleri ezbere bilmek hız kazandırır.

Dik kenarlar Hipotenüs Katları
3, 4 5 6, 8, 10 ve 9, 12, 15
5, 12 13 10, 24, 26
8, 15 17
7, 24 25

Pisagor’un günlük hayattaki uygulamaları

Merdiven problemi: Boyu 10 m olan bir merdiven duvarın dibinden 6 m uzağa konuyor. Merdiven duvarda yerden kaç metre yüksekliğe ulaşır?

Duvar, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüs, duvar ile zemin dik kenarlardır.

h2+62=102⇒h2=100−36=64⇒h=8 mh^2 + 6^2 = 10^2 \Rightarrow h^2 = 100 - 36 = 64 \Rightarrow h = 8\ \text{m}

İkizkenar üçgenin yüksekliği: Kenarları 13, 13 ve 10 cm olan ikizkenar üçgende, tabana inilen yükseklik tabanı ortalar. Yükseklik, dik kenarları hh ve 5 olan, hipotenüsü 13 olan bir dik üçgen oluşturur.

h2+52=132⇒h2=169−25=144⇒h=12 cmh^2 + 5^2 = 13^2 \Rightarrow h^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow h = 12\ \text{cm}

Alan =10⋅122=60= \dfrac{10 \cdot 12}{2} = 60 cm² dir.

5. Konuyu toparla

Başlık Hatırlanacak
İç açılar toplamı 180°
Dış açı Komşu olmayan iki iç açının toplamı
Büyük açı Karşısında büyük kenar
Üçgen eşitsizliği ∣a−b∣<c<a+b\lvert a - b \rvert < c < a + b
Pisagor a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 (dik üçgende)
Pisagor üçlüleri 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25

Mini test

Soru 1

Bir üçgenin iki kenarının uzunluğu 5 cm ve 9 cm’dir. Üçüncü kenarının uzunluğu tam sayı ise bu kenarın alabileceği en büyük değer kaç cm’dir?

  1. A12
  2. B13
  3. C14
  4. D15
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. Üçgen eşitsizliğine göre ∣9−5∣<x<9+5|9 - 5| < x < 9 + 5, yani 4<x<144 < x < 14.
  2. xx tam sayı olduğundan en büyük değeri 13’tür. Doğru cevap B.

Soru 2

Dik kenarlarının uzunluğu 8 cm ve 15 cm olan dik üçgenin hipotenüsü kaç cm’dir?

  1. A17
  2. B23
  3. C13
  4. D19
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. Pisagor bağıntısı: c2=82+152=64+225=289c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289.
  2. c=17c = 17 cm. (8, 15, 17 bir Pisagor üçlüsüdür.) Doğru cevap A.

Soru 3

ABC üçgeninde m(A^)=40∘m(\hat{A}) = 40^\circ ve m(B^)=60∘m(\hat{B}) = 60^\circ dir. Buna göre kenar uzunlukları arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A∣AB∣<∣AC∣<∣BC∣|AB| < |AC| < |BC|
  2. B∣BC∣<∣AB∣<∣AC∣|BC| < |AB| < |AC|
  3. C∣BC∣<∣AC∣<∣AB∣|BC| < |AC| < |AB|
  4. D∣AC∣<∣AB∣<∣BC∣|AC| < |AB| < |BC|
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. m(C^)=180∘−40∘−60∘=80∘m(\hat{C}) = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ.
  2. Açıların sıralaması A<B<CA < B < C olduğundan karşılarındaki kenarların sıralaması ∣BC∣<∣AC∣<∣AB∣|BC| < |AC| < |AB| olur.
  3. Doğru cevap C.

Soru 4

Boyu 10 m olan bir merdiven, duvarın dibinden 6 m uzağa yerleştirilerek duvara dayanıyor. Buna göre merdiven duvarda yerden kaç metre yüksekliğe ulaşır?

  1. A4
  2. B6
  3. C7
  4. D8
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. Merdiven, duvar ve zemin dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüstür.
  2. h2+62=102⇒h2=100−36=64⇒h=8h^2 + 6^2 = 10^2 \Rightarrow h^2 = 100 - 36 = 64 \Rightarrow h = 8 m. Doğru cevap D.

Kendini dene

Kendini dene

4 cm, 7 cm ve 12 cm uzunluğundaki çubuklarla üçgen yapılabilir mi?

Hayır. 4+7=11<124 + 7 = 11 < 12 olduğundan üçgen oluşmaz.

Bir eşkenar üçgenin açıları kaç derecedir?

Üç açı da 60°’dir.

Bir dik üçgenin dik kenarları 5 cm ve 12 cm ise hipotenüsü kaç cm’dir?

13 cm.

Bir üçgende iki açı 35° ve 85° ise en uzun kenar hangi açının karşısındadır?

Üçüncü açı 60°’dir. En büyük açı 85° olduğundan en uzun kenar onun karşısındadır.

Kenarları 13, 14, 15 cm olan üçgende 14 cm’lik kenara inen yükseklik 12 cm’dir. Üçgenin alanı kaç cm²’dir?

14⋅122=84\dfrac{14 \cdot 12}{2} = 84 cm²

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Matematik dersinin diğer konuları