Doğrusal Denklemler

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir taksiye bindiğinde ücret, gittiğin yola göre belli bir kuralla artar. Bir telefon paketinin faturası kullandığın dakikayla orantılı büyür. Bu tür “bir şey değişince diğeri de belli bir düzende değişiyor” ilişkilerini matematikte doğrusal denklemler ile ifade ederiz. Bu konuda doğrusal ilişkileri tablo, denklem ve grafikle göstermeyi, eğimi bulmayı ve iki bilinmeyenli denklem sistemlerini çözmeyi öğreneceksin.

1. Koordinat sistemi

Yatay eksene x ekseni, dikey eksene y ekseni denir. İki eksenin kesiştiği nokta orijindir ve $(0, 0)$ ile gösterilir. Bir nokta, sıralı ikili $(x, y)$ ile ifade edilir.

• İlk bileşen $x$, orijinden yatay uzaklığı (sağa pozitif, sola negatif) gösterir.
• İkinci bileşen $y$, orijinden dikey uzaklığı (yukarı pozitif, aşağı negatif) gösterir.

Örneğin $(3, -2)$ noktası orijinden 3 birim sağda ve 2 birim aşağıdadır. Eksen üzerindeki noktalarda bileşenlerden biri sıfırdır: x ekseni üzerindeki noktalar $(a, 0)$, y ekseni üzerindeki noktalar $(0, b)$ biçimindedir.

2. Doğrusal denklem

Grafiği bir doğru olan denklemlere doğrusal denklem denir. En sık $y = mx + n$ biçiminde karşılaşırız ($m$ ve $n$ sayılardır).

Örnek: $y = 2x + 1$ denkleminde x’e değer verip y’yi bulalım.

Bu noktalar koordinat düzleminde işaretlenip birleştirilince bir doğru elde edilir. Bir doğruyu çizmek için iki nokta yeterlidir.

Bir noktanın denklemin doğrusu üzerinde olup olmadığını anlamak için x ve y değerlerini denklemde yerine yaz. Denklem sağlanıyorsa nokta doğrunun üzerindedir. Örneğin $(3, 7)$ noktası $y = 2x + 1$ doğrusu üzerindedir, çünkü $2 \cdot 3 + 1 = 7$.

3. Eğim

Eğim, doğrunun ne kadar dik olduğunu gösteren sayıdır. x değeri 1 birim arttığında y’nin ne kadar değiştiğini söyler. Doğru üzerindeki iki nokta $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ ise eğim:

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Yani eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır.

Örnek: $A(1, 3)$ ve $B(4, 9)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi

$m = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$

$y = mx + n$ denkleminde $x$’in katsayısı eğimdir, $n$ sabit terimi ise doğrunun y eksenini kestiği noktanın y değeridir, yani doğru $(0, n)$ noktasından geçer.

4. Eksenleri kestiği noktalar

• y eksenini kestiği nokta: $x = 0$ yazılır.
• x eksenini kestiği nokta: $y = 0$ yazılır.

Örnek: $2x + 3y = 12$ doğrusu için

• $x = 0 \Rightarrow 3y = 12 \Rightarrow y = 4$. Nokta $(0, 4)$.
• $y = 0 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$. Nokta $(6, 0)$.

Bu iki noktayı birleştiren doğru $2x + 3y = 12$ doğrusudur.

5. Denklem sistemleri

Aynı iki bilinmeyeni içeren iki denkleme denklem sistemi denir. Her iki denklemi de sağlayan $(x, y)$ ikilisi sistemin çözümüdür. Grafikte bu ikili, iki doğrunun kesiştiği noktadır.

Yok etme yöntemi

Denklemleri toplayarak ya da çıkararak bir bilinmeyeni yok edebilirsin.

$\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Denklemleri taraf tarafa toplarsak $2x = 12$ olur ve $x = 6$ bulunur. Birinci denklemde yerine yazarsak $6 + y = 10$ ve $y = 4$ çıkar. Çözüm $(6, 4)$.

Katsayılar uygun değilse bir denklemi sayıyla çarparak eşitle.

Yerine koyma yöntemi

Bir denklemde bir bilinmeyeni diğeri cinsinden yaz, diğer denklemde yerine koy.

$\begin{cases} y = 2x \\ x + y = 12 \end{cases}$

$y = 2x$ ifadesini ikinci denklemde yazalım: $x + 2x = 12 \Rightarrow x = 4$ ve $y = 8$.

Problem çözme

Örnek: 3 defter ve 2 kalem 26 TL, 1 defter ve 2 kalem 14 TL’dir. Defter ve kalemin fiyatı kaçtır?

Defter $x$, kalem $y$ olsun.

$\begin{cases} 3x + 2y = 26 \\ x + 2y = 14 \end{cases}$

Denklemleri çıkarırsak $2x = 12$ ve $x = 6$ olur. İkinci denklemden $6 + 2y = 14$ ve $y = 4$ bulunur. Defter 6 TL, kalem 4 TL’dir.

• İki denklemde aynı bilinmeyenin katsayısı aynı ya da zıtToplama ya da çıkarma ile o bilinmeyen yok edilir.
• Bir denklemde bir bilinmeyen yalnızYerine koyma daha pratiktir.
• Sonuç bulunduİki denklemde de yerine yazıp kontrol et.

6. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.