Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler

Bu konuda ne öğreneceksin

$101^2$ sayısını hesap makinesi olmadan, hatta kâğıt kalem bile kullanmadan bulabilir misin? $(100+1)^2$ yazıp bir özdeşlikten yararlanırsan 10 201’i saniyeler içinde bulursun. Cebirsel ifadeler ve özdeşlikler, hem işlemleri hızlandırır hem de geometride alan hesaplarını kolaylaştırır. Bu konuda cebirsel ifadelerle işlem yapmayı, özdeşlikleri ve çarpanlara ayırmayı öğreneceksin.

1. Cebirsel ifadeler

Sayıların ve harflerin (değişkenlerin) işlem işaretleriyle birleşmesinden oluşan ifadelere cebirsel ifade denir. Örnek: $3x^2 + 5x - 7$.

• Terim: Toplama ve çıkarma ile ayrılan her parça ($3x^2$, $5x$, $-7$).
• Katsayı: Değişkenin önündeki sayı. $3x^2$ teriminde katsayı 3’tür.
• Sabit terim: Değişken içermeyen terim ($-7$).
• Benzer terimler: Değişken ve üsleri aynı olan terimler. $3x$ ile $5x$ benzerdir, $3x$ ile $3x^2$ benzer değildir.

Toplama ve çıkarma

Yalnızca benzer terimler toplanır ya da çıkarılır. Katsayılar toplanır, değişken aynen yazılır.

$(4x^2 + 3x - 2) + (x^2 - 5x + 6) = 5x^2 - 2x + 4$

Çıkarırken ikinci parantezin önündeki eksi, parantez içindeki bütün işaretleri değiştirir.

$(5x - 3) - (2x - 7) = 5x - 3 - 2x + 7 = 3x + 4$

Çarpma

Bir terim ile bir ifade çarpılırken dağılma özelliği kullanılır.

$2x(x - 3) = 2x^2 - 6x$

İki ifadeyi çarparken her terim diğerinin her terimiyle çarpılır, sonra benzer terimler toplanır.

$(x + 2)(x + 5) = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10$

2. Özdeşlikler

Değişkenin her değeri için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir. Bu ünitede dört özdeşliği bileceksin.

Tam kare özdeşlikleri

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Bu özdeşliği geometrik modelle görebilirsin. Kenar uzunluğu $a + b$ olan bir kare, bir $a^2$ karesi, bir $b^2$ karesi ve iki tane $ab$ dikdörtgenine ayrılır. Alan, bu parçaların toplamıdır: $a^2 + 2ab + b^2$.

Örnekler:

• $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$
• $(2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25$
• $101^2 = (100 + 1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$

İki kare farkı

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Örnekler:

• $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$
• $99 \cdot 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1 = 9\,999$

Çarpım özdeşliği

$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$

Örnek: $(x + 4)(x + 5) = x^2 + 9x + 20$.

3. Çarpanlara ayırma

Çarpma işleminin tersi çarpanlara ayırmadır. Bir cebirsel ifadeyi çarpım biçiminde yazarız.

Ortak çarpan parantezine alma

Bütün terimlerde ortak olan çarpanı dışarı al.

$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$

Tam kare ifade

Önce ifadenin $a^2 \pm 2ab + b^2$ biçiminde olup olmadığına bak.

$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$

$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$

İki kare farkı

$49x^2 - 81 = (7x)^2 - 9^2 = (7x - 9)(7x + 9)$

$x^2 + (a+b)x + ab$ biçimi

Çarpımları sabit terimi, toplamları $x$’in katsayısını veren iki sayı bul.

$x^2 + 7x + 12 \Rightarrow 3 \cdot 4 = 12,\ 3 + 4 = 7 \Rightarrow (x + 3)(x + 4)$

$x^2 - 2x - 15 \Rightarrow 3 \cdot (-5) = -15,\ 3 + (-5) = -2 \Rightarrow (x + 3)(x - 5)$

• Bütün terimlerde ortak çarpan varÖnce parantezine al.
• İki terim kare, aralarında eksiİki kare farkı.
• Üç terimli, baştaki ve sondaki kare, ortadaki iki katı çarpımTam kare.
• Üç terimli, x karenin katsayısı 1Toplamı ve çarpımı uygun iki sayı ara.

4. Özdeşliklerle hesap kolaylığı

• $103^2 - 97^2 = (103 - 97)(103 + 97) = 6 \cdot 200 = 1\,200$
• $52^2 = (50 + 2)^2 = 2\,500 + 200 + 4 = 2\,704$
• $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ ($x \neq 3$ için)

5. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.