Basit Olayların Olma Olasılığı

Bu konuda ne öğreneceksin

Yazı tura atarken “yazı gelme şansı yarı yarıya” deriz. Peki bu “şans” sayıyla nasıl ifade edilir? Bir torbadan rastgele çekilen topun kırmızı olma ihtimali nasıl hesaplanır? Bu konuda şansı olasılık adı verilen bir sayıyla ifade etmeyi öğreneceksin.

1. Temel kavramlar

• Deney: Sonucu önceden kesin bilinmeyen işlem. Zar atmak, yazı tura atmak, torbadan top çekmek.
• Çıktı: Deneyin her bir olası sonucu. Zar atılınca 1, 2, 3, 4, 5, 6 ayrı çıktılardır.
• Örnek uzay: Bir deneyin bütün olası çıktılarının kümesi. Zar için örnek uzay $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ dir. Örnek uzaydaki eleman sayısı tüm durumların sayısıdır.
• Olay: Örnek uzayın istediğimiz çıktılardan oluşan parçası. “Çift sayı gelmesi” olayı $\{2, 4, 6\}$ dır.

2. Olasılık nasıl hesaplanır?

Çıktıların eşit şansa sahip olduğu bir deneyde, bir olayın olasılığı şöyle hesaplanır.

$P(\text{olay}) = \dfrac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Tüm durum sayısı}}$

Örnek: Bir zar atıldığında asal sayı gelme olasılığı. Asal sayılar: 2, 3, 5. İstenen durum sayısı 3, tüm durum sayısı 6’dır.

$P(\text{asal}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

Olasılık kesir, ondalık sayı ya da yüzde ile yazılabilir. $\dfrac{1}{2} = 0{,}5 = \%50$.

Olasılığın sınırları

Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır.

$0 \leq P(\text{olay}) \leq 1$

• İmkânsız olay: Hiçbir durumda gerçekleşemez. Olasılığı $0$. Örneğin zar atılınca 7 gelmesi.
• Kesin olay: Her durumda gerçekleşir. Olasılığı $1$. Örneğin zar atılınca 6’dan küçük ya da 6’ya eşit bir sayı gelmesi.
• Olasılığı 1’e yaklaştıkça olay daha olası, 0’a yaklaştıkça daha az olasıdır.

3. Olmama olasılığı

Bir olayın olmama olasılığı, o olayın tümleyenidir. Bir olay ya olur ya olmaz, bu iki olasılığın toplamı 1’dir.

$P(\text{olmama}) = 1 - P(\text{olma})$

Örnek: Bir torbada 5 kırmızı, 3 mavi ve 2 yeşil top vardır. Rastgele çekilen topun mavi olmama olasılığı:

1. Mavi olma olasılığı $\dfrac{3}{10}$.
2. Mavi olmama olasılığı $1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$.

Aynı sonuca “istenen durumları doğrudan say” yoluyla da ulaşılır: mavi olmayan toplar $5 + 2 = 7$ tanedir ve $\dfrac{7}{10}$ bulunur.

4. Örneklerle pekiştirelim

Çarkıfelek: 8 eşit dilimli bir çarkıfelekte 3 dilim kırmızı, 5 dilim mavidir. Çark çevrilince kırmızıya gelme olasılığı $\dfrac{3}{8}$ dir. Dilimler eşit olmasaydı bu kesir kullanılamazdı. Önce çıktıların eşit şansa sahip olup olmadığına bak.

Numaralı kartlar: 1’den 20’ye kadar numaralı kartlardan rastgele biri çekiliyor. 4’ün katı olan kartlar: 4, 8, 12, 16, 20. İstenen 5, tüm durum 20.

$P(4\text{'ün katı}) = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$

Torba ve iki olay: Torbada 5 kırmızı, 3 mavi, 2 yeşil top varken “yeşil ya da mavi” olma olasılığı için istenen sayısı $3 + 2 = 5$, olasılık $\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ dir.

5. Deneysel ve teorik olasılık

• Teorik olasılık: Matematiksel olarak hesaplanan olasılık. Bir paranın yazı gelme olasılığı $\dfrac{1}{2}$ dir.
• Deneysel olasılık: Deney yapılarak elde edilen sonuçlara dayalı olasılık.

$\text{Deneysel olasılık} = \dfrac{\text{Olayın gerçekleşme sayısı}}{\text{Toplam deneme sayısı}}$

Örnek: Bir para 50 kez atılıyor ve 32 kez yazı geliyor. Deneysel olasılık $\dfrac{32}{50} = 0{,}64$ tür. Teorik olasılık ise $0{,}5$ tir.

Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık genellikle teorik olasılığa yaklaşır. 5 kez atınca 4 yazı gelmesi çok şaşırtıcı olmaz ama 5 000 kez atınca %80 yazı gelmesi paranın hileli olduğunu düşündürür.

• Deneme sayısı azDeneysel sonuç, teorik sonuçtan çok sapabilir.
• Deneme sayısı çokDeneysel sonuç teorik olasılığa yaklaşır.
• Çıktılar eşit şansa sahip değil“İstenen / tüm” formülü doğrudan kullanılamaz.

6. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.