Üslü İfadeler

Bu konuda ne öğreneceksin

Dünya’dan Güneş’e uzaklık yaklaşık 150 000 000 km, bir bakterinin boyu ise 0,000002 m. Bu kadar büyük ve küçük sayıları her seferinde sıfırlarla yazmak hem uzun hem hataya açıktır. Üslü ifadeler bu sayıları kısa yazmanın yoludur. Bu konuda üslü ifadelerle işlem yapmayı ve çok büyük ya da küçük sayıları bilimsel gösterimle yazmayı öğreneceksin.

1. Üslü ifade nedir?

Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımı üslü ifade ile gösterilir.

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n\ \text{tane}}$

Burada $a$ taban, $n$ üs (kuvvet) olarak adlandırılır. Örneğin $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Negatif tabanlı ifadeler

Parantezin olup olmaması sonucu değiştirir.

• $(-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = +16$ (taban $-2$)
• $-2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$ (taban $2$, önünde eksi var)

Negatif tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir. Örneğin $(-3)^2 = 9$ ve $(-3)^3 = -27$.

Sıfırıncı ve negatif üs

• $a^0 = 1$ ($a \neq 0$ için). Örneğin $7^0 = 1$ ve $(-5)^0 = 1$.
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ($a \neq 0$ için). Örneğin $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$.
• Kesirli tabanda: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$. Örneğin $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$.

2. Üslü ifadelerle işlemler

Çarpma ve bölme

Tabanlar aynıysa üsler toplanır ya da çıkarılır.

$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Örnekler:

• $3^2 \cdot 3^4 = 3^6 = 729$
• $\dfrac{5^7}{5^4} = 5^3 = 125$
• $2^5 \cdot 2^{-2} = 2^3 = 8$

Üssün üssü

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Örnek: $(3^2)^3 = 3^6 = 729$.

Çarpımın ve bölümün üssü

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Örnek: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.

Tabanı eşitleme

Tabanlar farklıysa ama biri diğerinin kuvvetiyse tabanları eşitle.

Örnek: $4^2 \cdot 2^3$ ifadesinde $4 = 2^2$ olduğundan:

$4^2 \cdot 2^3 = (2^2)^2 \cdot 2^3 = 2^4 \cdot 2^3 = 2^7 = 128$

3. On’un kuvvetleri ve bilimsel gösterim

On’un kuvvetleri çok büyük ve çok küçük sayıları kolay yazmamızı sağlar.

Bilimsel gösterim, bir sayıyı $a \times 10^n$ biçiminde yazmaktır. Burada $1 \leq a < 10$ ve $n$ bir tam sayıdır.

• Çok büyük sayılarda üs pozitiftir. $45\,000 = 4{,}5 \times 10^4$
• Çok küçük sayılarda üs negatiftir. $0{,}00032 = 3{,}2 \times 10^{-4}$

Virgülü kaç basamak kaydırdığın üssü verir. Büyük sayıda sola kaydırırsan üs pozitif, küçük sayıda sağa kaydırırsan üs negatif olur.

• Sayı 10’dan büyük (ör. 45 000)Virgül sola 4 basamak kaydırılır. $4{,}5 \times 10^4$
• Sayı 1’den küçük (ör. 0,00032)Virgül sağa 4 basamak kaydırılır. $3{,}2 \times 10^{-4}$
• Çarpandaki ilk sayı 1 ile 10 arasında değilseGösterim bilimsel gösterim değildir. $32 \times 10^3$ yazmak yerine $3{,}2 \times 10^4$ yazılmalı.

Bilimsel gösterimle işlem

Çarpma ve bölmede önce $a$’lar, sonra on’un kuvvetleri işlenir.

$(2 \times 10^3) \cdot (3 \times 10^4) = 6 \times 10^7$

$\dfrac{8 \times 10^5}{2 \times 10^2} = 4 \times 10^3$

Sonuçta $a$ değeri 10 ya da daha büyük olursa düzeltilir: $(5 \times 10^3)(4 \times 10^2) = 20 \times 10^5 = 2 \times 10^6$.

4. Üslü ifadeleri karşılaştırma

Tabanlar ya da üsler eşitlenerek karşılaştırma yapılır.

• Tabanlar aynı ve 1’den büyükse üssü büyük olan büyüktür. $2^5 > 2^3$.
• Üsler aynı ve taban pozitifse tabanı büyük olan büyüktür. $5^2 > 3^2$.
• Tabanları farklıysa tabanları eşitle: $4^3$ ile $2^7$ için $4^3 = 2^6$ olduğundan $2^7 > 4^3$.

5. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.