Yolumnet

LGS · Matematik

Kareköklü İfadeler

Yaklaşık 13 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-21

Bu konuda ne öğreneceksin

Alanı 49 cm² olan bir karenin kenarı kaç santimetredir? 7. Peki alanı 50 cm² olan karenin kenarı? 7’den biraz büyük, ama tam sayı değil. İşte bu sayılar kareköklü ifadelerdir. Bu konuda karekökü tanıyacak, kök içindeki ifadeleri sadeleştirmeyi ve kareköklü sayılarla işlem yapmayı öğreneceksin. Ayrıca sayı kümelerinde yeni bir grup olan irrasyonel sayıları tanıyacaksın.

Hedefler

  1. Tam kare sayıları ve bir sayının karekökünü açıklamak.
  2. Kareköklü ifadeyi aba\sqrt{b} biçiminde yazmak ve kök içine almak.
  3. Kareköklü ifadelerle çarpma, bölme, toplama ve çıkarma işlemlerini yapmak.
  4. Rasyonel ve irrasyonel sayıları ayırt etmek, kareköklü sayıları sayı doğrusunda yaklaşık yerine yerleştirmek.
Kareköklü İfadeler · Hız Yayınları Ortaokul

1. Tam kare sayılar ve karekök

Bir doğal sayının kendisiyle çarpımına tam kare sayı denir. İlk tam kareleri ezbere bil.

Sayı Karesi Sayı Karesi
1 1 7 49
2 4 8 64
3 9 9 81
4 16 10 100
5 25 11 121
6 36 12 144

Karekök, karesi o sayıya eşit olan negatif olmayan sayıdır. a\sqrt{a} ile gösterilir.

49=7c¸u¨nku¨72=49\sqrt{49} = 7 \quad \text{çünkü} \quad 7^2 = 49

Dikkat edilecek noktalar:

  • Karekök işaretinin sonucu negatif olmaz. 16=4\sqrt{16} = 4 tür, −4-4 değildir.
  • Negatif sayıların karekökü gerçek sayılarda tanımsızdır. −9\sqrt{-9} bir gerçek sayı değildir.
  • a2=a\sqrt{a^2} = a (a≥0a \geq 0 için).

Ondalık sayıların ve kesirlerin de kareköklerini alabiliriz: 0,04=0,2\sqrt{0{,}04} = 0{,}2 ve 925=35\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5}.

2. Karekökün yaklaşık değeri

Tam kare olmayan bir sayının karekökü, iki ardışık doğal sayı arasındadır. Sayıyı kendisine en yakın iki tam kare arasına yerleştir.

Örnek: 20\sqrt{20}

16<20<25⇒4<20<516 < 20 < 25 \Rightarrow 4 < \sqrt{20} < 5

20\sqrt{20}, 4 ile 5 arasındadır. 20, 16’ya 25’ten daha yakın olduğu için sonuç 4’e daha yakındır (yaklaşık 4,5).

Kendini dene

50\sqrt{50} hangi iki ardışık doğal sayı arasındadır?

49<50<6449 < 50 < 64 olduğundan 7 ile 8 arasındadır.

40\sqrt{40} ile 90\sqrt{90} arasında kaç tam sayı vardır?

40\sqrt{40} yaklaşık 6,3 ve 90\sqrt{90} yaklaşık 9,5 tir. Aradaki tam sayılar 7, 8, 9 olup 3 tanedir.

3. Kök dışına çıkarma ve kök içine alma

İç içe çarpımlar kökün içinden dışarı çıkarılabilir.

a2⋅b=ab\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}

Örnekler:

  • 72=36⋅2=62\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}
  • 48=16⋅3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}
  • 200=100⋅2=102\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}

Tersi de mümkündür. Katsayıyı karesi alınarak kök içine alınır.

ab=a2⋅ba\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}

Örnek: 35=9⋅5=453\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}.

Kök içine alma, iki kareköklü ifadeyi karşılaştırırken işe yarar.

Örnek: 323\sqrt{2} ile 252\sqrt{5}’i karşılaştır.

32=1825=20⇒25>323\sqrt{2} = \sqrt{18} \qquad 2\sqrt{5} = \sqrt{20} \Rightarrow 2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}

4. Kareköklü ifadelerle işlemler

Çarpma ve bölme

a⋅b=a⋅bab=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \qquad \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}

Örnekler:

  • 12⋅3=36=6\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6
  • 753=25=5\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{25} = 5
  • 23⋅52=1062\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{6} (katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır)

Toplama ve çıkarma

Toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içleri aynı olmalıdır. Katsayılar toplanır, kök aynen yazılır. Kök içleri farklıysa önce kök dışına çıkararak aynı hâle getir.

53+23=735\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 7\sqrt{3}

50+18=52+32=82\sqrt{50} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}

  • Kök içleri aynıKatsayılar toplanır ya da çıkarılır. 47−7=374\sqrt{7} - \sqrt{7} = 3\sqrt{7}
  • Kök içleri farklı ve tam kare çarpanı varÖnce kök dışına çıkar, sonra işlem yap.
  • Kök içleri farklı ve sadeleşmiyorİşlem yapılamaz. 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} ifadesi 5\sqrt{5} değildir.

5. Rasyonel ve irrasyonel sayılar

  • Rasyonel sayılar: ab\dfrac{a}{b} biçiminde yazılabilen sayılardır (aa ve bb tam sayı, b≠0b \neq 0). Tam sayılar, ondalık sayılar ve devirli ondalık sayılar rasyoneldir. Örneğin 49=7\sqrt{49} = 7, 0,250{,}25, 23\dfrac{2}{3}.
  • İrrasyonel sayılar: Kesir biçiminde yazılamayan sayılardır. Ondalık açılımı ne bitiyor ne de belli bir düzende tekrar ediyor. Örneğin 2\sqrt{2}, 3\sqrt{3}, π\pi.

Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimine gerçek (reel) sayılar denir. Sayı doğrusundaki her nokta bir gerçek sayıya karşılık gelir.

Sayı Rasyonel mi? Neden
25\sqrt{25} Evet =5=5
18\sqrt{18} Hayır 323\sqrt{2}, tam kare değil
0,09\sqrt{0{,}09} Evet =0,3=0{,}3
π\pi Hayır Ondalık açılımı bitmez ve tekrar etmez
292\sqrt{9} Evet =6=6

6. Kareköklü sayıların sayı doğrusunda gösterimi

10\sqrt{10} sayısının yerini bulmak için önce en yakın tam kareleri bul: 9<10<169 < 10 < 16 olduğundan 3<10<43 < \sqrt{10} < 4. 10, 9’a çok yakın olduğu için 10\sqrt{10} yaklaşık 3,2’dir. Sayı doğrusunda 3 ile 4 arasında, 3’e yakın bir yere işaretlenir.

7. Konuyu toparla

Başlık Hatırlanacak
Karekök sonucu Negatif olmaz
Kök dışına çıkarma a2b=ab\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}
Kök içine alma ab=a2ba\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}
Çarpma ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}
Toplama Yalnızca kök içleri aynıysa
İrrasyonel sayı Kesir olarak yazılamaz (2\sqrt{2}, π\pi)

Mini test

Soru 1

72+18−8\sqrt{72} + \sqrt{18} - \sqrt{8} işleminin sonucu kaçtır?

  1. A525\sqrt{2}
  2. B727\sqrt{2}
  3. C929\sqrt{2}
  4. D11211\sqrt{2}
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. 72=36⋅2=62\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}
  2. 18=9⋅2=32\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}
  3. 8=4⋅2=22\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}
  4. 62+32−22=726\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}. Doğru cevap B.

Soru 2

20\sqrt{20} ile 70\sqrt{70} arasında kaç tane doğal sayı vardır?

  1. A2
  2. B3
  3. C5
  4. D4
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. 16<20<2516 < 20 < 25 olduğundan 20\sqrt{20}, 4 ile 5 arasındadır.
  2. 64<70<8164 < 70 < 81 olduğundan 70\sqrt{70}, 8 ile 9 arasındadır.
  3. 20\sqrt{20} ile 70\sqrt{70} arasındaki doğal sayılar 5, 6, 7, 8 olup 4 tanedir. Doğru cevap D.

Soru 3

Alanı 48 cm² olan bir karenin çevresi kaç santimetredir?

  1. A838\sqrt{3}
  2. B12312\sqrt{3}
  3. C16316\sqrt{3}
  4. D24324\sqrt{3}
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Karenin kenarı alanın karekökü olduğundan a=48=16⋅3=43a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} cm.
  2. Çevre =4a=4⋅43=163= 4a = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} cm. Doğru cevap C.

Soru 4

Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyonel bir sayıdır?

  1. A20\sqrt{20}
  2. B25\sqrt{25}
  3. C0,36\sqrt{0{,}36}
  4. D916\sqrt{\dfrac{9}{16}}
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. 25=5\sqrt{25} = 5, 0,36=0,6\sqrt{0{,}36} = 0{,}6 ve 916=34\sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4}. Üçü de rasyoneldir.
  2. 2020 tam kare değildir, 20=25\sqrt{20} = 2\sqrt{5} kesir olarak yazılamaz. İrrasyoneldir. Doğru cevap A.

Kendini dene

Kendini dene

98\sqrt{98} ifadesini aba\sqrt{b} biçiminde yaz.

49⋅2=72\sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}

434\sqrt{3} ifadesini kök içine al.

16⋅3=48\sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}

6⋅24\sqrt{6} \cdot \sqrt{24} işleminin sonucu kaçtır?

144=12\sqrt{144} = 12

45−25\sqrt{45} - 2\sqrt{5} işleminin sonucu kaçtır?

35−25=53\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \sqrt{5}

272\sqrt{7} ile 333\sqrt{3} sayılarından hangisi büyüktür?

27=282\sqrt{7} = \sqrt{28}, 33=273\sqrt{3} = \sqrt{27}. Bu yüzden 272\sqrt{7} büyüktür.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Matematik dersinin diğer konuları