Yolumnet

LGS · Matematik

Çarpanlar ve Katlar

Yaklaşık 13 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-21

Bu konuda ne öğreneceksin

Çarpanlar ve katlar, 8. sınıf matematiğinin ilk ünitesidir. Sonraki konularda, özellikle üslü ve kareköklü ifadelerde, buradaki asal çarpan bilgisini kullanacaksın. Konunun sonunda şunları yapabileceksin:

Hedefler

  1. Pozitif tam sayıların çarpanlarını bulmak ve asal çarpanlarına ayırıp üslü ifade olarak yazmak.
  2. İki doğal sayının EBOB ve EKOK değerini hesaplayıp ilgili problemleri çözmek.
  3. İki sayının aralarında asal olup olmadığını belirlemek.

1. Çarpan ve kat

Bir doğal sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılara o sayının çarpanı (böleni) denir. Bir sayının çarpanları, o sayıyı oluşturacak şekilde iki sayının çarpımını yazarak bulunur.

36=1⋅36=2⋅18=3⋅12=4⋅9=6⋅636 = 1 \cdot 36 = 2 \cdot 18 = 3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 6 \cdot 6

Buradan 36 sayısının çarpanlarını okuruz: 1,2,3,4,6,9,12,18,361, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Çarpan ve kat aynı ilişkiye iki yönden bakar: 4, 36’nın çarpanıysa 36, 4’ün katıdır. Bir sayının katlarını bulmak için sayıyı 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots ile çarparız.

Sayı Çarpanları İlk beş katı
6 1,2,3,61, 2, 3, 6 6,12,18,24,306, 12, 18, 24, 30
12 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12 12,24,36,48,6012, 24, 36, 48, 60
17 1,171, 17 17,34,51,68,8517, 34, 51, 68, 85

2. Asal sayılar

Tam olarak iki çarpanı olan, yani sadece 1’e ve kendisine bölünen doğal sayılara asal sayı denir. 50’ye kadar asal sayılar:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 472,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47

  • 1 asal değildir. Sadece bir çarpanı vardır.
  • 2, çift olan tek asal sayıdır. Diğer bütün asal sayılar tektir.
  • Asal olmayan ve 1’den büyük sayılara bileşik sayı denir. 9, 15 ve 21 bileşiktir.

3. Asal çarpanlara ayırma

Bir sayıyı asal sayıların çarpımı olarak yazmaya asal çarpanlarına ayırma denir. Sayıyı sırayla asal sayılara böleriz. Bölme bittiğinde sağdaki asal sayıları çarparız.

36021802902453153551\begin{array}{r|l} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}

Soldaki sütun bölünen sayıyı, sağdaki sütun kullandığımız asal sayıyı gösterir. Sonuç:

360=2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅5=23⋅32⋅5360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5

Aynı asal sayıların çarpımını üslü yazarak kısaltırız. 2 üç kez geldiği için 232^3 oldu.

Çarpan sayısını bulma

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdığında çarpanlarının kaç tane olduğunu tek tek yazmadan bulabilirsin. Üsleri bir artır ve çarp.

A=ax⋅by⋅cz ⇒ C¸arpan sayısı=(x+1)(y+1)(z+1)A = a^x \cdot b^y \cdot c^z \ \Rightarrow\ \text{Çarpan sayısı} = (x+1)(y+1)(z+1)

360=23⋅32⋅51360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 olduğuna göre çarpan sayısı (3+1)(2+1)(1+1)=4⋅3⋅2=24(3+1)(2+1)(1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 olur.

4. EBOB ve EKOK

EBOB, iki sayıyı birlikte tam bölen en büyük sayıdır (en büyük ortak bölen). EKOK ise iki sayının da katı olan en küçük pozitif sayıdır (en küçük ortak kat).

3636 ve 6060 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

36=22⋅3260=22⋅3⋅536 = 2^2 \cdot 3^2 \qquad 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5

Hangi çarpanlar alınır? Hangi üs alınır? Sonuç
EBOB Sadece ortak olanlar En küçük üs 22⋅3=122^2 \cdot 3 = 12
EKOK Bütün çarpanlar En büyük üs 22⋅32⋅5=1802^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180

Birlikte bölme yöntemi

İki sayıyı aynı anda ortak asal sayılara böl. Ortak bölen kalmayınca dur.

3660218302915335\begin{array}{rr|l} 36 & 60 & 2 \\ 18 & 30 & 2 \\ 9 & 15 & 3 \\ 3 & 5 & \end{array}
  • EBOB, sağdaki sayıların çarpımıdır: 2⋅2⋅3=122 \cdot 2 \cdot 3 = 12.
  • EKOK, sağdaki sayılarla alttaki kalanların çarpımıdır: 2⋅2⋅3⋅3⋅5=1802 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180.

EBOB(a,b)⋅EKOK(a,b)=a⋅b\text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b) = a \cdot b

5. Aralarında asal sayılar

EBOB’u 1 olan iki sayıya aralarında asal denir. Yani ortak asal çarpanları yoktur.

  • 88 ve 1515 aralarında asaldır. 8=238 = 2^3 ve 15=3⋅515 = 3 \cdot 5 olduğundan ortak çarpan yok.
  • Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır. Örnek: 1414 ve 1515.
  • Farklı iki asal sayı her zaman aralarında asaldır. Örnek: 1111 ve 1313.

Aklında kalsın

  • Soruda “en büyük”, “eşit parçaya”, “hiç artmayacak şekilde” geçiyorEBOB hesapla. Büyük şeyi ortak ölçüyle böleriz.
  • Soruda “birlikte”, “yeniden aynı anda”, “ilk kez tekrar” geçiyorEKOK hesapla. Tekrar eden olaylar ortak bir katta buluşur.
  • İki sayının çarpımı ile EBOB ya da EKOK verilmişEBOB × EKOK = sayıların çarpımı bağıntısını kullan.
  • Çarpanlar sonlu, katlar sonsuzdur.
  • 1 asal değildir, 2 çift olan tek asal sayıdır.
  • Asal çarpanlara ayır, sonra üslere bak.
  • EBOB: ortak çarpanlar, küçük üs. EKOK: bütün çarpanlar, büyük üs.
  • EBOB 1 ise sayılar aralarında asaldır.

Sık karıştırılanlar

Karıştırılan Doğrusu
Çarpan ile kat 6’nın çarpanları 1,2,3,61, 2, 3, 6. Katları 6,12,18,…6, 12, 18, \ldots Çarpanlar sayıdan küçük ya da eşit, katlar büyük ya da eşit olur.
EBOB ile EKOK’un üsleri EBOB’da ortak çarpanların küçük üsleri, EKOK’ta bütün çarpanların büyük üsleri alınır.
1’in asal olup olmadığı 1 asal değildir. Çünkü tam olarak iki çarpanı yoktur, sadece bir çarpanı vardır.
Aralarında asal ile asal Aralarında asal bir sayı çiftinin özelliğidir. Tek bir sayı için “asal” denir.

LGS’de nasıl sorulur

Bu konudaki sorular çoğu zaman günlük hayattan bir durum anlatır. Önce sorunun EBOB mu EKOK mu istediğine karar ver, sonra sayıları asal çarpanlarına ayır.

Soru 1

A=23⋅32⋅5A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 ve B=22⋅33B = 2^2 \cdot 3^3 sayıları veriliyor. Buna göre EBOB(A,B)\text{EBOB}(A, B) kaçtır?

  1. A1818
  2. B3636
  3. C108108
  4. D10801080
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. Sayılar zaten asal çarpanlarına ayrılmış. Ortak çarpanları bul: 2 ve 3.
  2. EBOB’da ortak çarpanların en küçük üslerini alırız. 2’nin üsleri 3 ve 2, küçüğü 2. 3’ün üsleri 2 ve 3, küçüğü 2.
  3. EBOB=22⋅32=4⋅9=36\text{EBOB} = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36.
  4. 1080 seçeneği EKOK’tur. Soruda EBOB istendiğine dikkat et.

Soru 2

Bir manavda 48 elma ve 72 portakal var. Bunlar hiç meyve artmayacak ve her kasada aynı sayıda elma, aynı sayıda portakal olacak şekilde kasalara konuyor. Buna göre en fazla kaç kasa kullanılır?

  1. A1212
  2. B1818
  3. C2424
  4. D3636
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. “En fazla” ve “eşit dağıtım” ifadeleri EBOB’u gösterir.
  2. 48=24⋅348 = 2^4 \cdot 3 ve 72=23⋅3272 = 2^3 \cdot 3^2.
  3. Ortak çarpanların küçük üsleri: 23⋅3=242^3 \cdot 3 = 24.
  4. 24 kasa kullanılır. Her kasada 48÷24=248 \div 24 = 2 elma ve 72÷24=372 \div 24 = 3 portakal olur.

Soru 3

Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?

  1. A2121 ve 3535
  2. B1616 ve 2727
  3. C1818 ve 4545
  4. D1414 ve 2222
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

Her şıkta ortak asal çarpan ara.

  1. 21=3⋅721 = 3 \cdot 7 ve 35=5⋅735 = 5 \cdot 7, ortak çarpan 7.
  2. 16=2416 = 2^4 ve 27=3327 = 3^3, ortak çarpan yok. Aralarında asaldır.
  3. 18=2⋅3218 = 2 \cdot 3^2 ve 45=32⋅545 = 3^2 \cdot 5, ortak çarpan 3.
  4. 14=2⋅714 = 2 \cdot 7 ve 22=2⋅1122 = 2 \cdot 11, ortak çarpan 2.

Kendini dene

Cevaplara bakmadan önce her soruyu kendin çöz. Hatırlamaya zorlamak, tekrar okumaktan daha kalıcı öğretir.

Kendini dene

84 sayısını asal çarpanlarına ayırıp üslü ifade olarak yaz.

84=22⋅3⋅784 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7

84 sayısının kaç çarpanı vardır?

(2+1)(1+1)(1+1)=12(2+1)(1+1)(1+1) = 12 çarpanı vardır.

EBOB(24,36)\text{EBOB}(24, 36) ile EKOK(24,36)\text{EKOK}(24, 36) kaçtır?

24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 ve 36=22⋅3236 = 2^2 \cdot 3^2. EBOB=22⋅3=12\text{EBOB} = 2^2 \cdot 3 = 12 ve EKOK=23⋅32=72\text{EKOK} = 2^3 \cdot 3^2 = 72.

İki otobüs 15 ve 20 dakikada bir kalkıyor. 09.00’da birlikte kalkarlarsa yeniden ne zaman birlikte kalkarlar?

EKOK(15,20)=60\text{EKOK}(15, 20) = 60 dakika sonra, yani 10.00’da.

9 ile 28 aralarında asal mıdır? Neden?

Evet. 9=329 = 3^2 ve 28=22⋅728 = 2^2 \cdot 7 sayılarının ortak asal çarpanı olmadığı için EBOB’ları 1’dir. İkisi de asal değildir, ama bu gerekmez.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Matematik dersinin diğer konuları