Yolumnet

LGS · Matematik

Eşlik ve Benzerlik

Yaklaşık 12 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-21

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir fotoğrafı büyütüp küçültebilirsin, ama içindeki şekiller bozulmaz. Bir haritada 5 cm, gerçekte kilometrelerce yol olabilir. Güneşli bir günde gölgelerden bir ağacın boyunu hesaplamak da mümkündür. Bütün bunlar eşlik ve benzerlik ile açıklanır. Bu konuda şekillerin eş ya da benzer olması ne demek, benzerlik oranı nasıl bulunur ve bu oran çevre ve alanı nasıl etkiler, öğreneceksin.

Hedefler

  1. Eş ve benzer şekilleri ayırt etmek.
  2. Benzer çokgenlerde karşılıklı kenarlar ve açılar arasındaki ilişkiyi kullanmak.
  3. Benzerlik oranını bulmak, çevre ve alan oranıyla ilişkilendirmek.
  4. Benzerlik ile gölge, harita ve ölçek problemlerini çözmek.
Üçgende Eşlik ve Benzerlik · Hız Yayınları Ortaokul

1. Eşlik

İki şeklin şekli ve boyutu tamamen aynıysa bu şekillere eş denir. Birini diğerinin üzerine koyduğunda tam örtüşürler. Eş şekiller yer değiştirebilir, döndürülebilir ya da çevrilebilir, ama boyutları değişmez.

Eş çokgenlerde:

  • Karşılıklı kenarların uzunlukları eşittir.
  • Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir.
  • Çevreleri ve alanları eşittir.

Eşliği ≅\cong sembolüyle gösteririz. ABC üçgeni ile DEF üçgeni eşse ABC≅DEFABC \cong DEF yazılır. Köşe sırası karşılıklı olmalıdır: A köşesi D’ye, B köşesi E’ye, C köşesi F’ye karşılık gelir.

Üçgenlerde eşlik şartları

İki üçgenin eş olduğunu anlamak için altı eşitliğin hepsini kontrol etmek gerekmez. Aşağıdaki şartlardan biri yeterlidir.

Şart Anlamı
Kenar - Kenar - Kenar (KKK) Üç kenar karşılıklı eşit
Kenar - Açı - Kenar (KAK) İki kenar ve aralarındaki açı karşılıklı eşit
Açı - Kenar - Açı (AKA) İki açı ve aralarındaki kenar karşılıklı eşit

2. Benzerlik

Biri, diğerinin büyütülmüş ya da küçültülmüş hâli olan şekillere benzer şekiller denir. Bir fotokopiyi büyütmek ya da küçültmek benzer şekil üretir.

İki çokgen benzerse:

  • Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir.
  • Karşılıklı kenarların oranları eşittir.

Benzerliği ∼\sim sembolüyle gösteririz. Karşılıklı kenarların ortak oranı benzerlik oranıdır (kk ile gösterilir).

Örnek: Kenarları 3, 4, 5 cm olan üçgen ile kenarları 6, 8, 10 cm olan üçgen benzerdir.

k=63=84=105=2k = \dfrac{6}{3} = \dfrac{8}{4} = \dfrac{10}{5} = 2

Büyük üçgenin her kenarı küçüğün 2 katıdır.

Kenarları 3, 4, 5 cm ve 6, 8, 10 cm olan iki benzer üçgen, benzerlik oranı 2
Benzer üçgenler: k = 2

Üçgenlerde benzerlik şartları

Şart Anlamı
Açı - Açı (AA) İki açı karşılıklı eşit (üçüncü açı da eşit olur)
Kenar - Açı - Kenar (KAK) İki kenarın oranı eşit ve aralarındaki açı eşit
Kenar - Kenar - Kenar (KKK) Üç kenarın oranları eşit

Örnek: Bir üçgenin açıları 40° ve 60°, diğerinin açıları 60° ve 80° ise üçgenler benzerdir. Çünkü birincinin üçüncü açısı 80°, ikincinin üçüncü açısı 40°’dir. Her iki üçgenin açıları 40°, 60°, 80° olur.

Kendini dene

Kenarları 6, 8, 10 ve 9, 12, xx olan iki üçgen benzerse xx kaçtır?

Oran 9/6=1,59/6 = 1{,}5 olduğundan x=10⋅1,5=15x = 10 \cdot 1{,}5 = 15.

İki benzer üçgenin benzerlik oranı 1 ise bu üçgenler için ne söylenebilir?

Eştirler.

3. Benzerlik oranı ile çevre ve alan

Benzerlik oranı kk olan iki benzer çokgen için:

  • Çevreler oranı =k= k
  • Alanlar oranı =k2= k^2

Örnek: Kenarları 3, 4, 5 cm olan üçgen (çevresi 12 cm, alanı 6 cm²) ile k=2k = 2 olan benzeri:

Küçük üçgen Büyük üçgen (k=2k = 2)
Kenarlar 3, 4, 5 6, 8, 10
Çevre 12 24 (22 kat)
Alan 6 24 (44 kat)
  • Kenarlar k kat büyürÇevre de kk kat büyür.
  • Hem uzunluk hem genişlik k kat büyürAlan k⋅k=k2k \cdot k = k^2 kat büyür.
  • Benzerlik oranı 3 iseÇevre 3 kat, alan 9 kat olur.

Bu yüzden iki kare ya da iki daire her zaman benzerdir. Kenarı 2 cm ve 6 cm olan iki karenin benzerlik oranı 3, alanlar oranı 9’dur: 44 cm² ile 3636 cm².

4. Günlük hayat uygulamaları

Gölge problemi

Aynı anda, güneş ışınlarının geliş açısı aynıdır. Bu yüzden boy ile gölge oluşturan dik üçgenler benzerdir.

Örnek: Boyu 1,5 m olan bir kişinin gölgesi 2 m iken, yanındaki bir ağacın gölgesi 8 m ölçülüyor. Ağacın boyu kaç metredir?

1,52=h8⇒h=1,5⋅82=6 m\dfrac{1{,}5}{2} = \dfrac{h}{8} \Rightarrow h = \dfrac{1{,}5 \cdot 8}{2} = 6\ \text{m}

Harita ve ölçek

Haritalar gerçek yerlerin küçültülmüş, benzer halidir. Ölçek, harita üzerindeki uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranıdır. 1/200 0001/200\,000 ölçekli bir haritada 1 cm, gerçekte 200 000 cm, yani 2 km demektir.

Örnek: 1/200 0001/200\,000 ölçekli haritada iki şehir arası 5 cm ise gerçek uzaklık:

5⋅200 000=1 000 000 cm=10 km5 \cdot 200\,000 = 1\,000\,000\ \text{cm} = 10\ \text{km}

Alan sorularında dikkat: Ölçek uzunluk oranıdır. Harita üzerindeki alan ile gerçek alan oranı ölçeğin karesi olur.

5. Konuyu toparla

Başlık Hatırlanacak
Eş şekiller Şekil ve boyut aynı
Benzer şekiller Şekil aynı, boyut farklı olabilir
Benzerlik oranı Karşılıklı kenarların oranı kk
Çevre oranı kk
Alan oranı k2k^2
Üçgen benzerliği AA, KAK, KKK
Ölçek Harita uzunluğu / gerçek uzunluk

Mini test

Soru 1

Kenar uzunlukları 6, 8, 10 cm olan bir üçgen ile kenar uzunlukları 9, 12, xx cm olan bir üçgen benzerdir. Buna göre xx kaçtır?

  1. A14
  2. B15
  3. C16
  4. D18
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. Benzerlik oranı 96=128=32\dfrac{9}{6} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}.
  2. x=10⋅32=15x = 10 \cdot \dfrac{3}{2} = 15. Doğru cevap B.

Soru 2

İki kare benzerdir ve benzerlik oranı 3’tür. Küçük karenin alanı 4 cm² olduğuna göre büyük karenin alanı kaç cm²’dir?

  1. A12
  2. B18
  3. C36
  4. D81
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Benzer şekillerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesidir: 32=93^2 = 9.
  2. Büyük karenin alanı 4⋅9=364 \cdot 9 = 36 cm². Doğru cevap C.

Soru 3

Aynı anda boyu 1,8 m olan bir kişinin gölgesi 2,4 m, bir direğin gölgesi 12 m ölçülüyor. Buna göre direğin boyu kaç metredir?

  1. A9
  2. B8
  3. C7,2
  4. D16
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. Aynı anda güneş ışınlarının açısı aynı olduğundan kişi ve direk benzer dik üçgenler oluşturur.
  2. 1,82,4=h12\dfrac{1{,}8}{2{,}4} = \dfrac{h}{12}. Buradan h=1,8⋅122,4=9h = \dfrac{1{,}8 \cdot 12}{2{,}4} = 9 m. Doğru cevap A.

Soru 4

Ölçeği 1/500 0001/500\,000 olan bir haritada iki şehir arasındaki uzaklık 6 cm’dir. Buna göre bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?

  1. A3
  2. B12
  3. C15
  4. D30
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. Gerçek uzaklık =6⋅500 000=3 000 000= 6 \cdot 500\,000 = 3\,000\,000 cm.
  2. 100 000100\,000 cm =1= 1 km olduğundan 3 000 0003\,000\,000 cm =30= 30 km. Doğru cevap D.

Kendini dene

Kendini dene

Eş ve benzer şekiller arasındaki farkı bir cümleyle söyle.

Eş şekillerin şekli ve boyutu aynıdır. Benzer şekillerin şekli aynıdır ama boyutu farklı olabilir.

Benzerlik oranı 4 olan iki benzer üçgenden küçüğünün çevresi 9 cm ise büyüğünün çevresi kaç cm’dir?

9⋅4=369 \cdot 4 = 36 cm

Benzerlik oranı 5 olan iki benzer dikdörtgenden küçüğünün alanı 6 cm² ise büyüğünün alanı kaç cm²’dir?

6⋅25=1506 \cdot 25 = 150 cm²

İki üçgenin ikişer açısı 50° ve 70° ise bu üçgenler benzer midir?

Evet. AA benzerlik şartı sağlanır, üçüncü açılar da 60° olur.

1/50 0001/50\,000 ölçekli haritada 8 cm olarak ölçülen uzaklık gerçekte kaç kilometredir?

8⋅50 000=400 0008 \cdot 50\,000 = 400\,000 cm =4= 4 km

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Matematik dersinin diğer konuları