Yolumnet

TYT · Temel Matematik

Katı Cisimler

Yaklaşık 14 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-11-13

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir su deposunun kaç litre aldığı, bir kutuyu kaplamak için gereken kâğıt, bir koni biçimli külahın dondurma miktarı. Hepsi hacim ve yüzey alanı sorusudur. TYT'de katı cisim sorularında genellikle bir cismin ölçüleri verilir ve hacmi ya da alanı istenir. Çoğu soruda bir cisim başka bir cisme dönüştürülür ve hacim sabit kalır. Bu konuda prizmaları, silindiri, koniyi, küreyi, piramidi ve hacim korunumunu öğreneceksin.

Hedefler

  1. Küp ve dikdörtgenler prizmasının hacim, alan ve köşegenini hesaplamak.
  2. Silindirin hacmini, yanal ve toplam alanını hesaplamak.
  3. Koninin hacmini, yanal ve toplam alanını hesaplamak.
  4. Kürenin ve piramidin hacmini ve alanını hesaplamak.
  5. Bir cisim başka bir cisme dönüştürüldüğünde hacmin korunmasını kullanmak.
Katı Cisimler · MathBurger

1. Prizmalar

Tabanları paralel ve eş çokgen olan, yan yüzleri dikdörtgen olan cisimlere dik prizma denir. Hacim, taban alanı × yükseklik'tir.

Küp. Ayrıtı aa ise V=a3V = a^3, yüzey alanı A=6a2A = 6a^2, köşegeni d=a3d = a\sqrt{3}. Örnek. a=4a = 4 ise V=64V = 64, A=6⋅16=96A = 6 \cdot 16 = 96, d=43d = 4\sqrt{3}.

Dikdörtgenler prizması: boyutlar a, b, c ve cisim köşegeni d. Hacim abc, köşegen a kare artı b kare artı c karenin karekökü
Dikdörtgenler prizması · İzlek

Dikdörtgenler prizması. Boyutları aa, bb, cc ise

V=a⋅b⋅c,A=2(ab+bc+ac),d=a2+b2+c2V = a \cdot b \cdot c, \qquad A = 2(ab + bc + ac), \qquad d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Örnek. Boyutları 3, 4 ve 12 olan prizmanın hacmi 144, yüzey alanı 2(12+48+36)=1922(12 + 48 + 36) = 192 ve köşegeni 9+16+144=13\sqrt{9 + 16 + 144} = 13'tür.

2. Silindir, koni ve küre

Silindir, koni ve kürenin çizimleri ve hacim formülleri
Silindir, koni, küre · İzlek
Cisim Hacim Yanal alan Toplam alan
Silindir πr2h\pi r^2 h 2πrh2\pi r h 2πr(r+h)2\pi r(r + h)
Koni 13πr2h\dfrac{1}{3}\pi r^2 h πrl\pi r l πr(r+l)\pi r(r + l)
Küre 43πr3\dfrac{4}{3}\pi r^3 Yok 4πr24\pi r^2

Koninin ana doğrusu ll, yükseklik hh ve taban yarıçapı rr ile l2=r2+h2l^2 = r^2 + h^2 bağıntısındadır.

Örnek (silindir). r=3r = 3 ve h=10h = 10 ise V=90πV = 90\pi, yanal alan 60π60\pi, toplam alan 60π+2⋅9π=78π60\pi + 2 \cdot 9\pi = 78\pi.

Örnek (koni). r=3r = 3 ve h=4h = 4 ise l=5l = 5, V=13π⋅9⋅4=12πV = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi, yanal alan 15π15\pi, toplam alan 24π24\pi.

Örnek (küre). r=6r = 6 ise V=43π⋅216=288πV = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi ve alan 4π⋅36=144π4\pi \cdot 36 = 144\pi.

3. Piramit

Tabanı çokgen, yan yüzleri bir noktada birleşen üçgen olan cisme piramit denir. Hacmi

V=13⋅taban alanı⋅hV = \frac{1}{3} \cdot \text{taban alanı} \cdot h

Örnek. Tabanı kenarı 6 olan kare, yüksekliği 4 olan dik piramitte V=36⋅43=48V = \dfrac{36 \cdot 4}{3} = 48. Yan yüzün yüksekliği, tabanın merkezinden kenara uzaklık 3 ve yükseklik 4 olduğundan 9+16=5\sqrt{9 + 16} = 5. Yanal alan 4⋅6⋅52=604 \cdot \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 60.

4. Hacim korunumu

Bir cisim eritilip başka bir cisim yapılırsa, bir kaptan diğerine sıvı boşaltılırsa ya da bir cisim suya batırılırsa hacim korunur. Bu sorularda iki hacim eşitlenir.

Örnek. Taban yarıçapı 4 olan silindirde 9 cm yüksekliğinde su var. Bu su, taban yarıçapı 6 olan boş bir silindire boşaltılırsa yükseklik hh olsun: π⋅16⋅9=π⋅36⋅h\pi \cdot 16 \cdot 9 = \pi \cdot 36 \cdot h ve h=4h = 4.

Benzer cisimlerde. Boyutlar kk kat artarsa alan k2k^2, hacim k3k^3 katına çıkar.

5. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Prizma hacmi Taban alanı ×\times yükseklik
Dikdörtgenler prizması köşegeni a2+b2+c2\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
Silindir V=πr2hV = \pi r^2 h
Koni V=13πr2hV = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h, l2=r2+h2l^2 = r^2 + h^2
Küre 43πr3\dfrac{4}{3}\pi r^3 ve 4πr24\pi r^2
Piramit 13\dfrac{1}{3} taban ×\times yükseklik
Hacim korunumu İki hacmi eşitle

Mini test

Soru 1

Boyutları 4 cm, 5 cm ve 20 cm olan dikdörtgenler prizmasının bir köşesinden, bu köşenin karşısındaki köşeye çizilen cisim köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A21
  2. B22
  3. C29
  4. D41
  5. E441
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. d=a2+b2+c2=16+25+400d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{16 + 25 + 400}.
  2. 441=21\sqrt{441} = 21 cm. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 22 işlem hatasıyla bir fazla bulunmuş / 29 üç boyut toplanmış / 41 yalnızca a2+b2a^2 + b^2 toplanmış / 441 karekök alınmamış.

Soru 2

Taban yarıçapı 4 cm olan silindir biçimindeki bir kapta 9 cm yüksekliğinde su vardır. Bu suyun tamamı taban yarıçapı 6 cm olan boş bir silindire boşaltılırsa yükseklik kaç cm olur?

  1. A4
  2. B6
  3. C9
  4. D16
  5. E36
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. Su hacmi korunur: π⋅42⋅9=π⋅62⋅h\pi \cdot 4^2 \cdot 9 = \pi \cdot 6^2 \cdot h.
  2. 144=36h144 = 36h ve h=4h = 4 cm. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 6 yarıçap oranı kare alınmadan kullanılmış / 9 yüksekliğin değişmediği sanılmış / 16 küçük yarıçapın karesi alınmış / 36 büyük yarıçapın karesi alınmış.

Soru 3

Yüksekliği 12 cm, taban yarıçapı 5 cm olan dik dairesel koninin yanal alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A25π25\pi
  2. B32
  3. C60π60\pi
  4. D64
  5. E65π65\pi
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. Ana doğru l=52+122=13l = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 cm.
  2. Yanal alan πrl=π⋅5⋅13=65π\pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi cm2\text{cm}^2. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: 25π25\pi taban alanı alınmış / 32 işlem hatasıyla yarısı bulunmuş / 60π60\pi yarıçap ile yükseklik çarpılmış / 64 işlem hatasıyla bir eksik bulunmuş.

Soru 4

Yarıçapı 3 cm olan 8 tane özdeş metal küre eritilerek tek bir küre yapılıyor. Oluşan kürenin yarıçapı kaç cm'dir?

  1. A6
  2. B7
  3. C9
  4. D12
  5. E24
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. Hacim korunur: 8⋅43π⋅33=43πR38 \cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi R^3.
  2. 8⋅27=R38 \cdot 27 = R^3 ise R3=216R^3 = 216 ve R=6R = 6 cm. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 7 işlem hatasıyla bir fazla bulunmuş / 9 yarıçap 3 ile çarpılmış / 12 yarıçapların toplamının yarısı alınmış / 24 sekiz kürenin yarıçapları toplanmış.

Kendini dene

Kendini dene

Ayrıtı 5 olan küpün yüzey alanı kaçtır?

6⋅25=1506 \cdot 25 = 150.

Boyutları 2, 3 ve 6 olan dikdörtgenler prizmasının köşegeni kaçtır?

4+9+36=7\sqrt{4 + 9 + 36} = 7.

Yarıçapı 2, yüksekliği 5 olan silindirin hacmi kaç π\pi'dir?

π⋅4⋅5=20π\pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi.

Yarıçapı 6, yüksekliği 8 olan koninin ana doğrusu kaçtır?

36+64=10\sqrt{36 + 64} = 10.

2 litre kaç cm3\text{cm}^3'tür?

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Temel Matematik dersinin diğer konuları