Çokgenler ve Dörtgenler

Bu konuda ne öğreneceksin

Zemin karoları, bir satranç tahtası, bir tarlanın çiti: Çevremizdeki şekillerin çoğu çokgendir. TYT'de bu konunun soruları iki işe indirgenir: Açıları bir formülle bulmak ve dörtgenin türünü tanıyıp özelliğini kullanmak. Bu konuda çokgenlerin açı ve köşegen bağıntılarını, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare, yamuk ve deltoidin özelliklerini öğreneceksin.

1. Çokgenler

Kapalı ve kendini kesmeyen doğru parçalarından oluşan şekillere çokgen denir. $n$ kenarlı bir çokgende:

İç açılar toplamının nedeni, bir köşeden çizilen köşegenlerin çokgeni $n - 2$ üçgene bölmesidir.

Düzgün çokgen. Bütün kenarları ve bütün açıları eşit olan çokgendir. Bir dış açısı $\dfrac{360°}{n}$, bir iç açısı $180° - \dfrac{360°}{n}$ olur.

Örnek. Düzgün altıgende iç açılar toplamı $720°$, bir iç açı $120°$, bir dış açı $60°$, köşegen sayısı $\dfrac{6 \cdot 3}{2} = 9$. Düzgün sekizgende iç açılar toplamı $1080°$, bir iç açı $135°$, köşegen sayısı $\dfrac{8 \cdot 5}{2} = 20$. Bir dış açısı $36°$ olan düzgün çokgenin kenar sayısı $\dfrac{360}{36} = 10$ ve iç açısı $144°$'dir.

2. Dörtgenler

Dörtgenin iç açılar toplamı $360°$'dir. Dörtgenler birbirinin özel hâlidir:

Okun ucundaki şekil, başlangıçtakinin tüm özelliklerini taşır. Kare hem dikdörtgenin hem eşkenar dörtgenin özelliklerine sahiptir.

3. Paralelkenar ve özel hâlleri

Paralelkenar. Karşılıklı kenarları paralel dörtgendir. Karşılıklı kenarları eşit, karşılıklı açıları eşit, komşu açıları bütünler, köşegenleri birbirini ortalar. Alanı $A = a \cdot h_a$ ya da $A = a \cdot b \cdot \sin\alpha$.

Eşkenar dörtgen. Dört kenarı eşit paralelkenardır. Köşegenleri birbirini dik ortalar ve açıortaydır. Alanı $A = \dfrac{e \cdot f}{2}$ ($e$ ve $f$ köşegenler).

Örnek. Köşegenleri 10 ve 24 olan eşkenar dörtgenin alanı $\dfrac{10 \cdot 24}{2} = 120$. Köşegenler birbirini dik ortaladığından kenar $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ ve çevre 52'dir.

Dikdörtgen. Dört açısı dik paralelkenardır. Köşegenleri eşit uzunlukta ve birbirini ortalar. Alanı $A = a \cdot b$.

Kare. Dört kenarı eşit, dört açısı dik dörtgendir. Köşegen $a\sqrt{2}$, alan $A = a^2 = \dfrac{d^2}{2}$ ($d$ köşegen). Köşegenleri eşit, dik ve birbirini ortalar. Örnek. Kenarı 6 olan karenin köşegeni $6\sqrt{2}$, alanı 36.

4. Yamuk ve deltoid

Yamuk. En az bir çift kenarı paralel olan dörtgendir. Paralel kenarlara taban ($a$ ve $c$) denir. Tabanlara paralel ve yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir:

$\text{orta taban} = \frac{a + c}{2}, \qquad A = \frac{(a + c) \cdot h}{2}$

Örnek. Tabanları 14 ve 6, yüksekliği 5 olan yamuğun orta tabanı 10, alanı $\dfrac{20 \cdot 5}{2} = 50$. İkizkenar yamuk. Yan kenarları eşit olan yamukta taban açıları eşit, köşegenler eşittir.

Deltoid. İki çift komşu kenarı eşit olan dörtgendir. Köşegenleri birbirine diktir. Alanı $A = \dfrac{e \cdot f}{2}$.

5. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.