Yolumnet

TYT · Temel Matematik

Açıortay ve Kenarortay

Yaklaşık 15 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-11-13

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir üçgen biçimindeki tabloyu tek parmakla dengede tutmak istersen parmağını nereye koyarsın? Cevap ağırlık merkezidir: Üç kenarortayın kesiştiği nokta. Bu konuda iki özel doğru parçasını öğreneceksin: açıortay ve kenarortay. Bu doğruların kenarları ve alanı nasıl böldüğünü de göreceksin. TYT'de bu konunun soruları çoğunlukla oran sorularıdır.

Hedefler

  1. İç açıortay teoremini uygulamak.
  2. Açıortay üzerindeki bir noktadan kenarlara eşit uzaklık özelliğini kullanmak.
  3. Kenarortayın tanımını ve ağırlık merkezinin 2'ye 1 özelliğini kullanmak.
  4. Orta taban teoremini ve kenarortayın alanı ikiye bölmesini kullanmak.
  5. İkizkenar ve eşkenar üçgendeki özel durumları bilmek.
Açıortay ve Kenarortay · Matematiğin Güler Yüzü
Açıortay ve Kenarortay · MathBurger

1. Açıortay

Bir açıyı iki eşit açıya bölen ışına açıortay denir. Açıortay üzerindeki her nokta açının iki kenarına eşit uzaklıktadır. Üçgenin iç açıortayları tek noktada kesişir. Bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir ve II ile gösterilir.

İç açıortay teoremi. ABC üçgeninde [AD], A açısının iç açıortayı ve D noktası [BC] üzerinde ise karşı kenar, komşu kenarların oranında bölünür:

∣BD∣∣DC∣=∣AB∣∣AC∣\frac{\lvert BD \rvert}{\lvert DC \rvert} = \frac{\lvert AB \rvert}{\lvert AC \rvert}

ABC üçgeninde AD iç açıortayı BC kenarını x ve y parçalarına ayırıyor. x bölü y, c bölü b
İç açıortay teoremi · İzlek

Örnek. ∣AB∣=6\lvert AB \rvert = 6, ∣AC∣=9\lvert AC \rvert = 9 ve ∣BC∣=10\lvert BC \rvert = 10 ise ∣BD∣∣DC∣=69=23\dfrac{\lvert BD \rvert}{\lvert DC \rvert} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}. Toplam 10 olduğundan ∣BD∣=4\lvert BD \rvert = 4 ve ∣DC∣=6\lvert DC \rvert = 6.

Dış açıortay. Dış açının açıortayı da karşı kenarın uzantısını ∣AB∣∣AC∣\dfrac{\lvert AB \rvert}{\lvert AC \rvert} oranında böler. Aynı köşenin iç ve dış açıortayları birbirine diktir.

2. Kenarortay ve ağırlık merkezi

Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Üç kenarortay tek noktada kesişir. Bu nokta ağırlık merkezidir ve GG ile gösterilir.

ABC üçgeninde AD, BE ve CF kenarortayları G noktasında kesişiyor. AG uzunluğu GD uzunluğunun 2 katıdır
Ağırlık merkezi · İzlek

Ağırlık merkezi özelliği. GG, her kenarortayı köşeden başlayarak 2:12 : 1 oranında böler:

∣AG∣=2⋅∣GD∣,∣AG∣=23∣AD∣\lvert AG \rvert = 2 \cdot \lvert GD \rvert, \qquad \lvert AG \rvert = \frac{2}{3} \lvert AD \rvert

Örnek. ∣AD∣=15\lvert AD \rvert = 15 ise ∣AG∣=10\lvert AG \rvert = 10 ve ∣GD∣=5\lvert GD \rvert = 5.

Kenarortay uzunluğu. aa, bb, cc kenarlar olmak üzere aa kenarına ait kenarortay

ma2=2b2+2c2−a24m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}

Örnek. a=8a = 8, b=7b = 7, c=9c = 9 ise ma2=98+162−644=49m_a^2 = \dfrac{98 + 162 - 64}{4} = 49 ve ma=7m_a = 7.

3. Alan ve orta taban

Alan. Kenarortay üçgeni alanları eşit iki üçgene böler. Üç kenarortay üçgeni alanları eşit altı üçgene ayırır. Örnek. A(ABC)=48A(ABC) = 48 ise A(ABD)=24A(ABD) = 24, A(GBC)=483=16A(GBC) = \dfrac{48}{3} = 16 ve altı küçük üçgenin her biri 486=8\dfrac{48}{6} = 8.

Orta taban teoremi. Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenara paraleldir ve onun yarısı kadardır. Örnek. D ve E, [AB] ve [AC] kenarlarının orta noktaları ve ∣BC∣=14\lvert BC \rvert = 14 ise [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] ve ∣DE∣=7\lvert DE \rvert = 7. ADE üçgeni ABC üçgeninin yarı ölçekli bir kopyasıdır, çevresi de yarısıdır.

4. İkizkenar ve eşkenar üçgende

İkizkenar üçgende tepe açısının açıortayı, tabana ait kenarortay ve yükseklik aynı doğru parçasıdır. Eşkenar üçgende bu durum üç köşe için de geçerlidir ve ağırlık merkezi, iç teğet çemberin merkezi, yüksekliklerin kesim noktası aynı noktadır.

5. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
İç açıortay teoremi ∣BD∣∣DC∣=∣AB∣∣AC∣\dfrac{\lvert BD \rvert}{\lvert DC \rvert} = \dfrac{\lvert AB \rvert}{\lvert AC \rvert}
Açıortay noktası Kenarlara eşit uzak
Ağırlık merkezi Köşeden 2:12 : 1
Kenarortay alanı Üçgeni iki eşit alana böler
Altı üçgen Her biri 16\dfrac{1}{6} alan
Orta taban Paralel ve yarısı kadar
İkizkenar üçgen Açıortay, kenarortay, yükseklik aynı

Mini test

Soru 1

ABC üçgeninde [AD], A açısının iç açıortayıdır ve D noktası [BC] kenarı üzerindedir. ∣AB∣=12\lvert AB \rvert = 12 cm, ∣AC∣=18\lvert AC \rvert = 18 cm ve ∣BC∣=20\lvert BC \rvert = 20 cm olduğuna göre ∣BD∣\lvert BD \rvert kaç cm'dir?

  1. A6
  2. B8
  3. C10
  4. D12
  5. E18
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. İç açıortay teoremi: ∣BD∣∣DC∣=1218=23\dfrac{\lvert BD \rvert}{\lvert DC \rvert} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}.
  2. ∣BD∣=2k\lvert BD \rvert = 2k, ∣DC∣=3k\lvert DC \rvert = 3k ve 5k=205k = 20 ise k=4k = 4.
  3. ∣BD∣=8\lvert BD \rvert = 8 cm. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: 6 ∣AC∣−∣AB∣\lvert AC \rvert - \lvert AB \rvert alınmış / 10 açıortay yerine kenarortay sanılıp ∣BC∣\lvert BC \rvert nin yarısı alınmış / 12 ∣DC∣\lvert DC \rvert bulunmuş / 18 ∣AC∣\lvert AC \rvert alınmış.

Soru 2

ABC üçgeninde [AD] ve [BE] kenarortaylar olup G noktasında kesişmektedir. ∣AD∣=18\lvert AD \rvert = 18 cm ve ∣BE∣=24\lvert BE \rvert = 24 cm olduğuna göre ∣AG∣+∣BG∣\lvert AG \rvert + \lvert BG \rvert toplamı kaç cm'dir?

  1. A14
  2. B21
  3. C28
  4. D34
  5. E36
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden 2:12 : 1 böler.
  2. ∣AG∣=23⋅18=12\lvert AG \rvert = \dfrac{2}{3} \cdot 18 = 12 ve ∣BG∣=23⋅24=16\lvert BG \rvert = \dfrac{2}{3} \cdot 24 = 16.
  3. Toplam 12+16=2812 + 16 = 28 cm. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 14 ∣GD∣+∣GE∣\lvert GD \rvert + \lvert GE \rvert bulunmuş / 21 iki kenarortayın ortalaması alınmış / 34 ∣AD∣\lvert AD \rvert ile ∣BG∣\lvert BG \rvert toplanmış / 36 ∣AG∣\lvert AG \rvert ile ∣BE∣\lvert BE \rvert toplanmış.

Soru 3

ABC üçgeninde D ve E noktaları sırasıyla [AB] ve [AC] kenarlarının orta noktalarıdır. ∣BC∣=10\lvert BC \rvert = 10 cm ve ADE üçgeninin çevresi 18 cm olduğuna göre BCED dörtgeninin çevresi kaç cm'dir?

  1. A26
  2. B28
  3. C29
  4. D36
  5. E46
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. Orta taban teoremine göre ∣DE∣=5\lvert DE \rvert = 5 cm. ADE çevresi 18 olduğundan ∣AD∣+∣AE∣=13\lvert AD \rvert + \lvert AE \rvert = 13.
  2. D ve E orta nokta olduğundan ∣BD∣+∣CE∣=13\lvert BD \rvert + \lvert CE \rvert = 13.
  3. BCED çevresi: ∣BC∣+∣DE∣+∣BD∣+∣CE∣=10+5+13=28\lvert BC \rvert + \lvert DE \rvert + \lvert BD \rvert + \lvert CE \rvert = 10 + 5 + 13 = 28 cm. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: 26 ∣AB∣+∣AC∣\lvert AB \rvert + \lvert AC \rvert bulunmuş / 29 işlem hatasıyla bir fazla bulunmuş / 36 ABC üçgeninin çevresi alınmış / 46 ABC çevresi ile ∣BC∣\lvert BC \rvert toplanmış.

Soru 4

Alanı 72 cm2\text{cm}^2 olan ABC üçgeninde [AD] ve [BE] kenarortaylar, G ise ağırlık merkezidir. Buna göre AGE üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A9
  2. B12
  3. C18
  4. D24
  5. E36
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. Üç kenarortay üçgeni alanları eşit altı üçgene ayırır.
  2. Her birinin alanı 726=12\dfrac{72}{6} = 12.
  3. AGE bu altı üçgenden biridir. A(AGE)=12A(AGE) = 12 cm2\text{cm}^2. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: 9 ABC alanının sekizde biri alınmış / 18 ABC alanının dörtte biri alınmış / 24 ABC alanının üçte biri alınmış / 36 ABC alanının yarısı alınmış.

Kendini dene

Kendini dene

∣AB∣=4\lvert AB \rvert = 4, ∣AC∣=6\lvert AC \rvert = 6, ∣BC∣=10\lvert BC \rvert = 10 olan üçgende A açısının iç açıortayı [BC]'yi D noktasında kesiyor. ∣BD∣\lvert BD \rvert kaçtır?

46=23\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} olduğundan ∣BD∣=4\lvert BD \rvert = 4.

Bir kenarortayın uzunluğu 24 ise ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı kaçtır?

23⋅24=16\dfrac{2}{3} \cdot 24 = 16.

D ve E, [AB] ve [AC]'nin orta noktalarıdır. ∣DE∣=9\lvert DE \rvert = 9 ise ∣BC∣\lvert BC \rvert kaçtır?

2⋅9=182 \cdot 9 = 18.

Alanı 60 olan ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. A(GAB)A(GAB) kaçtır?

603=20\dfrac{60}{3} = 20.

Kenarları 5, 5 ve 6 olan ikizkenar üçgende tabana ait kenarortay kaçtır?

Kenarortay aynı zamanda yüksekliktir: 25−9=4\sqrt{25 - 9} = 4.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Temel Matematik dersinin diğer konuları