Veri ve İstatistik

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir sınıfın deneme sonuçları, bir şehrin aylık sıcaklıkları, bir maçtaki sayılar: Hepsi veridir. Veriye bakıp "bu sınıfın durumu nasıl" sorusuna tek bir sayıyla cevap vermek için ortalama, ortanca ve tepe değer kullanılır. Verilerin birbirinden ne kadar uzaklaştığını ise açıklık ve standart sapma gösterir. Bu konuda merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini, frekans tablosunu ve grafik okumayı öğreneceksin.

1. Merkezi eğilim ölçüleri

Aritmetik ortalama. Tüm değerlerin toplamının değer sayısına bölümüdür:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

Örnek. 6, 8, 9, 11, 16 sayılarının ortalaması $\dfrac{50}{5} = 10$.

Ortanca (medyan). Değerler küçükten büyüğe sıralanınca ortadaki değerdir. Değer sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalaması alınır.

Örnek. 3, 7, 9, 12, 20 için ortanca 9. 4, 6, 10, 14 için ortanca $\dfrac{6 + 10}{2} = 8$. Sıralama yapmadan ortanca bulunmaz.

Tepe değer (mod). En çok tekrar eden değerdir. Örnek. 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8 için tepe değer 5. Hiçbir değer tekrar etmiyorsa tepe değer yoktur, iki değer eşit sayıda en çok tekrar ediyorsa iki tepe değer vardır.

Ortalama eklenen ve çıkarılan değerlerle değişir. Örnek. 5 kişinin yaş ortalaması 12 ise yaşlar toplamı 60'tır. Yeni bir kişi katılınca ortalama 14 oluyorsa 6 kişinin toplamı $6 \cdot 14 = 84$, yeni kişinin yaşı $84 - 60 = 24$'tür.

2. Yayılım ölçüleri

Açıklık. En büyük değer ile en küçük değerin farkıdır. Çeyrekler sıralanmış veriyi dörde böler: $Q_1$ alt yarının ortancası, $Q_2$ tüm verinin ortancası, $Q_3$ üst yarının ortancasıdır. $Q_3 - Q_1$ farkına çeyrekler açıklığı denir. Ders kitaplarında bu değerler $Ç_1$, $Ç_2$ ve $Ç_3$ ile gösterilir.

Örnek. 12 öğrencinin netleri: 14, 18, 18, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 31, 35, 40.

Standart sapma. Verilerin ortalamadan ortalama ne kadar uzaklaştığını gösterir:

$\sigma = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n}}$

Standart sapmanın karesine varyans denir. Örnek. 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 için ortalama 5, sapmaların kareleri toplamı 32'dir. Varyans $\dfrac{32}{8} = 4$ ve $\sigma = 2$.

Standart sapma küçükse veriler ortalamaya yakın toplanmıştır. Büyükse veriler dağınıktır. Tüm değerler birbirine eşitse standart sapma 0'dır.

Ortalama mutlak sapma. Her değerin ortalamadan uzaklığının (farkın mutlak değerinin) ortalamasıdır. Örnek. 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 için ortalama 5 ve uzaklıklar 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 4'tür. Toplamları 12 olduğundan ortalama mutlak sapma $\dfrac{12}{8} = 1{,}5$ bulunur.

Verilerle dene

Çubukları değiştirip ortalamanın, ortancanın ve tepe değerin nasıl tepki verdiğine bak.

3. Verilere işlem uygulanırsa

Bütün değerler $k$ ile çarpılıp $c$ eklenirse ($x \to kx + c$):

Örnek. 1, 2, 3, 4, 5 değerlerinin ortalaması 3. Her değer 3 ile çarpılıp 2 eklenince ortalama $3 \cdot 3 + 2 = 11$, açıklık $3 \cdot 4 = 12$ olur. Sabit eklemek yayılımı değiştirmez, yalnızca verileri kaydırır.

4. Frekans tablosu ve grafikler

Frekans tablosunda ortalama, her değerin frekansıyla çarpımlarının toplamının toplam frekansa bölümüdür:

$\bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \cdots}{f_1 + f_2 + \cdots}$

Örnek. Bir sınıfta 1 puan alan 2, 2 puan alan 3, 3 puan alan 5 kişi var. Ortalama $\dfrac{2 + 6 + 15}{10} = 2{,}3$.

Daire grafiğinde bir dilimin merkez açısı, tüm verinin 360° olduğu orantıyla bulunur. 120 kişilik bir grupta 90°'lik dilim $\dfrac{90}{360} \cdot 120 = 30$ kişidir.

Sütun grafiği kategorilerin sayılarını yükseklikle gösterir. En yüksek sütun tepe değerdir. Sütun grafiğinde eksenlerin hangi değerden başladığına dikkat et, yanıltıcı olabilir.

5. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.