İkinci Dereceden Denklemler konu anlatımı

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir bahçenin alanı verilip kenar uzunluğu sorulduğunda, bir topun havada kaç saniye kaldığı hesaplandığında ya da iki sayının çarpımı ve toplamı bilinip sayıların kendisi istendiğinde ikinci dereceden bir denklem ortaya çıkar. TYT'de bu konunun soruları üç beceriye dayanır: Denklemin köklerini bulmak, kökler hakkında denklemi çözmeden bilgi vermek ve kökleri bilinen denklemi yazmak.

Hedefler

İkinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak ve formülle çözmek.
$\Delta$ (diskriminant) ile köklerin sayısını ve türünü belirlemek.
Kökler toplamı ve çarpımı formüllerini kullanmak.
Köklerin simetrik ifadelerini denklemi çözmeden hesaplamak.
Kökleri verilen ikinci dereceden denklemi kurmak.

İkinci Dereceden Denklemler · MathBurger

İkinci Dereceden Denklemler · Matematiğin Güler Yüzü

1. Genel biçim ve çözüm yolları

$a \neq 0$ olmak üzere

$ax^2 + bx + c = 0$

denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan $x$ değerleri köklerdir. İkinci dereceden denklemin en çok iki reel kökü olur.

Yol 1: Çarpanlara ayırma. $x^2 - 5x + 6 = 0$ denkleminde çarpımı 6, toplamı $-5$ olan iki sayı $-2$ ve $-3$ 'tür. Denklem $(x - 2)(x - 3) = 0$ olur. Çarpım sıfırsa çarpanlardan biri sıfırdır. Kökler 2 ve 3'tür.

Yol 2: Formül. Çarpanlara ayırmak zor olduğunda

$\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

formülü kullanılır. Örnek. $2x^2 + 3x - 5 = 0$ için $\Delta = 9 + 40 = 49$ ve

$x = \frac{-3 \pm 7}{4} \Rightarrow x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{5}{2}$

2. Diskriminant köklerin türünü söyler

a pozitifken üç parabol. Delta sıfırdan büyükse x eksenini iki noktada, sıfıra eşitse tek noktada keser, sıfırdan küçükse hiç kesmez — Diskriminant ve kökler · İzlek

Durum	Kökler
$\Delta > 0$	İki farklı reel kök
$\Delta = 0$	Eşit iki reel kök (çakışık kök), $x = -\dfrac{b}{2a}$
$\Delta < 0$	Reel kök yok

Parametreli sorularda genellikle $\Delta$ üzerinden bir eşitlik ya da eşitsizlik kurulur. Örnek. $x^2 - 4x + m = 0$ denkleminin reel kökü olmaması için $\Delta = 16 - 4m < 0$ olmalıdır, yani $m > 4$ .

Grafikte gör

Katsayıları değiştir. Parabolün $x$ eksenini kestiği noktalar denklemin kökleridir.

3. Kökler toplamı ve çarpımı

Kökler $x_1$ ve $x_2$ ise formülle ve toplama ile çarpma yapılarak şu sonuçlar bulunur:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}, \qquad |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$

Örnek. $x^2 - 5x + 6 = 0$ için toplam 5, çarpım 6, fark $\sqrt{25 - 24} = 1$ . Gerçekten $3 + 2 = 5$ , $3 \cdot 2 = 6$ , $3 - 2 = 1$ .

Kökleri bulmadan hesaplama. Köklerin simetrik ifadeleri toplam ve çarpım cinsinden yazılır:

İfade	Toplam ( $T$ ) ve çarpım ( $Ç$ ) cinsinden
$x_1^2 + x_2^2$	$T^2 - 2Ç$
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$	$\dfrac{T}{Ç}$
$(x_1 - x_2)^2$	$T^2 - 4Ç$
$x_1^3 + x_2^3$	$T^3 - 3TÇ$

Örnek. $x^2 - 6x + 4 = 0$ için $T = 6$ ve $Ç = 4$ . Bu durumda $x_1^2 + x_2^2 = 36 - 8 = 28$ ve $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$ .

4. Özel durumlar

Katsayılara bakarak kökler hakkında hızlı karar verilebilir:

Koşul	Sonuç
$c = 0$	Köklerden biri 0
$b = 0$	Kökler toplamı 0, kökler birbirinin zıt işaretlisi
$a + b + c = 0$	Köklerden biri 1
$a - b + c = 0$	Köklerden biri $-1$
$a = c$	Kökler çarpımı 1, kökler birbirinin çarpma işlemine göre tersi
$a \cdot c < 0$	$\Delta > 0$ , kökler zıt işaretli

$2x^2 + 3x - 5 = 0$ denkleminde $2 + 3 - 5 = 0$ olduğundan 1 köktür. Diğer kök çarpımdan bulunur: $1 \cdot x_2 = -\dfrac{5}{2}$ .

5. Kökleri verilen denklemi kurmak

Kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan ikinci dereceden denklem

$x^2 - (x_1 + x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 = 0$

biçimindedir. Örnek. Kökleri 3 ve $-2$ olan denklemde toplam 1, çarpım $-6$ 'dır. Denklem $x^2 - x - 6 = 0$ olur. Kontrol: $x = 3$ için $9 - 3 - 6 = 0$ ve $x = -2$ için $4 + 2 - 6 = 0$ .

Köklerle oynanan denklemler. Verilen denklemin köklerinin 2 fazlası gibi yeni kökler isteniyorsa yeni toplam ve yeni çarpım eski toplam ve çarpımdan hesaplanır. Kökler tek tek bulunmaz.

6. Konuyu toparla

Başlık	Kısa not
Diskriminant	$\Delta = b^2 - 4ac$
Kökler	$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Toplam ve çarpım	$-\dfrac{b}{a}$ ve $\dfrac{c}{a}$
$x_1^2 + x_2^2$	$T^2 - 2Ç$
Denklem kurma	$x^2 - Tx + Ç = 0$
Kök 1 ise	$a + b + c = 0$
Reel kök yok	$\Delta < 0$

Mini test

Soru 1

$x^2 - (m + 1)x + 12 = 0$ denkleminin köklerinden biri 3 olduğuna göre $m$ kaçtır?

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

Kök denklemi sağlar: $3^2 - 3(m + 1) + 12 = 0$ .
$21 - 3(m + 1) = 0$ ise $m + 1 = 7$ .
$m = 6$ . Kontrol: Çarpım 12 olduğundan diğer kök 4, toplam $3 + 4 = 7 = m + 1$ . Doğru cevap D.

Diğer şıklar: -8 kökler toplamı $-(m + 1)$ alınmış / 3 verilen kök alınmış / 4 diğer kök bulunmuş / 7 kökler toplamı $m + 1$ yerine $m$ alınmış.

Soru 2

$x^2 - 6x + (k + 2) = 0$ denkleminin eşit iki reel kökü olduğuna göre $k$ kaçtır?

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

Eşit iki reel kök için $\Delta = 0$ .
$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k + 2) = 36 - 4(k + 2) = 0$ .
$k + 2 = 9$ ve $k = 7$ . Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 3 çakışık kök bulunmuş / 6 işlem hatasıyla bir eksik bulunmuş / 9 $k + 2$ ifadesi 9 bulunup $k$ sanılmış / 11 $k + 2 = 9$ denkleminde 2 çıkarılacağı yerde eklenmiş.

Soru 3

$x^2 - 5x + 3 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ olduğuna göre $x_1^2 + x_2^2$ kaçtır?

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

Kökler toplamı $x_1 + x_2 = 5$ , çarpımı $x_1 \cdot x_2 = 3$ .
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 25 - 6 = 19$ . Doğru cevap B.

Diğer şıklar: 8 kökler toplamı ile çarpımı toplanmış / 22 $2x_1x_2$ yerine $x_1x_2$ çıkarılmış / 25 kökler toplamının karesi alınmış / 31 $T^2 - 2Ç$ yerine $T^2 + 2Ç$ yazılmış.

Soru 4

$x^2 - 4x - 7 = 0$ denkleminin köklerinin 2 fazlası kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?

A $x^2 - 6x + 5 = 0$
B $x^2 - 8x - 3 = 0$
C $x^2 + 8x + 5 = 0$
D $x^2 - 8x + 5 = 0$
E $x^2 - 8x - 5 = 0$

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

Eski kökler için toplam 4, çarpım $-7$ .
Yeni kökler $x_1 + 2$ ve $x_2 + 2$ . Yeni toplam $4 + 4 = 8$ .
Yeni çarpım $x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = -7 + 8 + 4 = 5$ .
Denklem $x^2 - 8x + 5 = 0$ . Doğru cevap D.

Diğer şıklar: $x^2 - 6x + 5 = 0$ toplam için yalnızca 4 + 2 yapılmış / $x^2 - 8x - 3 = 0$ çarpımda $2(x_1 + x_2)$ terimi unutulmuş / $x^2 + 8x + 5 = 0$ toplam işareti hatalı yazılmış / $x^2 - 8x - 5 = 0$ çarpıma yalnızca 2 eklenmiş.

Kendini dene

x^2 - 9x + 20 = 0

denkleminin kökleri nedir?

$(x - 4)(x - 5) = 0$ olduğundan 4 ve 5.

3x^2 - 2x - 8 = 0

denkleminin kökler çarpımı kaçtır?

$\dfrac{c}{a} = -\dfrac{8}{3}$ .

x^2 + 4x + n = 0

denkleminin iki farklı reel kökü olması için

n

hangi aralıkta olmalıdır?

$\Delta = 16 - 4n > 0$ ise $n < 4$ .

Kökleri 1 ve 6 olan ikinci dereceden denklemi yaz.

$x^2 - 7x + 6 = 0$ .

x^2 - 3x - 10 = 0

denkleminin kökleri

x_1

x_2

ise

\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}

kaçtır?

$\dfrac{T}{Ç} = \dfrac{3}{-10} = -\dfrac{3}{10}$ .

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

İkinci Dereceden Denklemler

Bu konuda ne öğreneceksin

Hedefler

1. Genel biçim ve çözüm yolları

2. Diskriminant köklerin türünü söyler

Grafikte gör

3. Kökler toplamı ve çarpımı

4. Özel durumlar

5. Kökleri verilen denklemi kurmak

6. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Kendini dene

Temel Matematik dersinin diğer konuları