Mantık konu anlatımı · TYT Temel Matematik

Bu konuda ne öğreneceksin

"Yağmur yağarsa yer ıslanır" cümlesi doğru bir kural gibi görünür. Peki yer ıslak ise yağmur yağmış mıdır? Cevap hayır olabilir, çünkü yeri başka biri de ıslatmış olabilir. Mantık, böyle çıkarımları doğru ya da yanlış diye netleştirir. TYT'de mantık sorusu tamamen kuraldır: işlemin sonucu için tablo bilirsin, kurala göre bulursun. Bu konuda önermeleri, bağlaçları, doğruluk tablolarını, denk önermeleri ve niceleyicileri öğreneceksin.

Hedefler

Önerme kavramını ve doğruluk değerini kullanmak.
Değil, ve, veya, ise, ancak ve ancak bağlaçlarının doğruluk tablosunu uygulamak.
Denk önermeleri ve De Morgan kurallarını kullanmak.
Bir koşullu önermenin karşıtını, tersini ve ters karşıtını ayırt etmek.
"Her" ve "bazı" niceleyicili önermelerin olumsuzunu yazmak.

Mantık · Matematiğin Güler Yüzü

Mantık · 3D Yayınları

1. Önerme

Önerme, doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren cümledir. Doğru ise doğruluk değeri 1 (D), yanlış ise 0 (Y) yazılır.

"7 bir asal sayıdır." Önermedir, doğruluk değeri 1.
"4 + 5 = 10." Önermedir, doğruluk değeri 0.
"Matematik güzel midir?" Soru cümlesi, önerme değildir.
"Hadi ders çalış!" Emir cümlesi, önerme değildir.
"x + 3 = 8." $x$ bilinmiyorsa kesin hüküm yoktur, önerme değildir.

Önermeler genellikle $p$ , $q$ , $r$ harfleriyle gösterilir.

2. Bağlaçlar ve doğruluk tabloları

Değil ( $\neg p$ ): Önermenin doğruluk değerini tersine çevirir.

$p$	$\neg p$
1	0
0	1

Ve, Veya, İse, Ancak ve ancak:

$p$	$q$	$p \land q$ (ve)	$p \lor q$ (veya)	$p \Rightarrow q$ (ise)	$p \Leftrightarrow q$ (ancak ve ancak)
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

Ve: Yalnızca ikisi de doğruysa doğru.
Veya: Yalnızca ikisi de yanlışsa yanlış.
İse ( $p \Rightarrow q$ ): Yalnızca $p$ doğru ve $q$ yanlışsa yanlış. Başlangıç yanlışsa ( $p = 0$ ) önerme her zaman doğrudur.
Ancak ve ancak: İki önermenin doğruluk değeri aynıysa doğru.

Örnek. $p$ : " $2 + 3 = 5$ " (1), $q$ : "4 bir asal sayıdır" (0) olsun. $p \land q = 0$ , $p \lor q = 1$ , $p \Rightarrow q = 0$ , $q \Rightarrow p = 1$ , $p \Leftrightarrow q = 0$ .

3. Denk önermeler

İki önermenin doğruluk tabloları aynıysa denktir ( $\equiv$ ile gösterilir). Önemli denklikler:

Denklik	Adı
$\neg(\neg p) \equiv p$	Çift değil
$\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$	De Morgan
$\neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$	De Morgan
$p \Rightarrow q \equiv \neg p \lor q$	"İse" yerine
$p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p$	Ters karşıt
$\neg(p \Rightarrow q) \equiv p \land \neg q$	"İse"nin değili

De Morgan'da olumsuzluk dağılırken ve veya'ya, veya ve'ye döner. Çift değil ve De Morgan'ı birlikte kullanırsan bir sürü ifadeyi sadeleştirirsin.

Örnek. $\neg(p \land \neg q)$ ifadesini sadeleştirelim. De Morgan: $\neg p \lor \neg(\neg q) = \neg p \lor q$ . Bu da $p \Rightarrow q$ 'ya denktir.

Karşıt, ters ve ters karşıt

$p \Rightarrow q$ koşullu önermesi için:

Önerme	Yazılışı	$p \Rightarrow q$ ile ilişki
Ters	$q \Rightarrow p$	Denk değil
Karşıt (olumsuz)	$\neg p \Rightarrow \neg q$	Denk değil
Ters karşıt	$\neg q \Rightarrow \neg p$	Denk

"Yağmur yağarsa yer ıslanır" ifadesine denk olan tek cümle "Yer ıslak değilse yağmur yağmamıştır" cümlesidir. "Yer ıslaksa yağmur yağmıştır" cümlesi ise tersidir ve denk değildir.

4. Niceleyiciler

"Her" ( $\forall$ ) ve "bazı" ( $\exists$ ) niceleyicileridir.

$\forall x \in A, \, p(x)$ : $A$ 'daki her $x$ için $p(x)$ doğru.
$\exists x \in A, \, p(x)$ : $A$ 'da $p(x)$ 'in doğru olduğu en az bir $x$ var.

Olumsuzlama kuralı: Niceleyici değişir, özellik de değilleştirilir.

$\neg\left(\forall x, \, p(x)\right) \equiv \exists x, \, \neg p(x) \qquad \neg\left(\exists x, \, p(x)\right) \equiv \forall x, \, \neg p(x)$

Örnek. "Her öğrenci ödevini yaptı" önermesinin olumsuzu "Ödevini yapmayan en az bir öğrenci vardır" olur. "Hiçbir öğrenci ödevini yapmadı" yazmak yanlıştır.

5. Konuyu toparla

Başlık	Kısa not
$p \land q$	Yalnızca 1 ve 1 iken 1
$p \lor q$	Yalnızca 0 ve 0 iken 0
$p \Rightarrow q$	Yalnızca 1 ve 0 iken 0
$p \Leftrightarrow q$	Değerler aynıysa 1
De Morgan	Ve veya yer değiştirir
$p \Rightarrow q$	$\equiv \neg q \Rightarrow \neg p$
Niceleyici değili	Niceleyici değişir, özellik değilleşir

Mini test

Soru 1

$p$ , $q$ ve $r$ önermeleri için $p \equiv 0$ , $q \equiv 1$ ve $r \equiv 1$ olduğuna göre aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1'dir?

A $p \land q$
B $q \Rightarrow p$
C $r \Rightarrow p$
D $p \Rightarrow q$
E $\neg q \lor p$

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

$p \Rightarrow q$ : $p = 0$ olduğundan "ise" önermesi her zaman doğrudur. Değeri 1.
$p \land q = 0$ , $q \Rightarrow p = 1 \Rightarrow 0 = 0$ , $r \Rightarrow p = 0$ ve $\neg q \lor p = 0 \lor 0 = 0$ olur.
Doğruluk değeri 1 olan tek ifade $p \Rightarrow q$ 'dur. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: $p \land q$ "ve" için yalnızca birinin doğru olması yeterli sanılmış / $q \Rightarrow p$ doğru ve yanlış durumunda "ise" doğru sanılmış / $r \Rightarrow p$ doğru ve yanlış durumunda "ise" doğru sanılmış / $\neg q \lor p$ $\neg q$ nun doğruluk değeri 1 sanılmış.

Soru 2

$\neg(p \lor \neg q)$ önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?

A $\neg p \lor q$
B $\neg p \land q$
C $p \land \neg q$
D $p \lor \neg q$
E $\neg p \land \neg q$

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

De Morgan: $\neg(p \lor \neg q) = \neg p \land \neg(\neg q)$ .
Çift değil: $\neg(\neg q) = q$ . Sonuç $\neg p \land q$ .
Doğru cevap B.

Diğer şıklar: $\neg p \lor q$ De Morgan'da "ve" ile "veya" değiştirilmemiş / $p \land \neg q$ değil işareti dağıtılmamış / $p \lor \neg q$ dıştaki değil unutulmuş / $\neg p \land \neg q$ $\neg(\neg q)$ yerine $\neg q$ yazılmış.

Soru 3

"Her $x$ gerçek sayısı için $x^2 \geq x$ " önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?

AÖyle bir $x$ gerçek sayısı vardır ki $x^2 < x$
BHer $x$ gerçek sayısı için $x^2 < x$
CÖyle bir $x$ gerçek sayısı vardır ki $x^2 \leq x$
DÖyle bir $x$ gerçek sayısı vardır ki $x^2 > x$
EHer $x$ gerçek sayısı için $x^2 \leq x$

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

"Her" niceleyicisinin olumsuzu "öyle bir ... vardır" olur.
Özellik de değilleştirilir: $x^2 \geq x$ ifadesinin değili $x^2 < x$ 'tir.
Olumsuz: Öyle bir $x$ gerçek sayısı vardır ki $x^2 < x$ . Örneğin $x = \dfrac{1}{2}$ için $\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}$ . Doğru cevap A.

Diğer şıklar: Her $x$ gerçek sayısı için $x^2 < x$ niceleyici değiştirilmemiş / Öyle bir $x$ gerçek sayısı vardır ki $x^2 \leq x$ işaret tam tersine çevrilmemiş / Öyle bir $x$ gerçek sayısı vardır ki $x^2 > x$ yalnızca işaret ters çevrilmiş ( $\geq$ yerine $>$ ) / Her $x$ gerçek sayısı için $x^2 \leq x$ hem niceleyici hem işaret yanlış.

Soru 4

$p \Rightarrow q$ önermesi yanlış, $q \Leftrightarrow r$ önermesi doğru olduğuna göre aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?

A $p \land r$
B $\neg p \lor q$
C $q \lor r$
D $r \Rightarrow p$
E $p \Leftrightarrow q$

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

$p \Rightarrow q$ yalnızca $p = 1$ ve $q = 0$ iken yanlıştır. Demek ki $p = 1$ , $q = 0$ .
$q \Leftrightarrow r$ doğru ise $q$ ve $r$ aynı değerdedir: $r = 0$ .
$r \Rightarrow p = 0 \Rightarrow 1 = 1$ doğrudur. Diğerleri: $p \land r = 0$ , $\neg p \lor q = 0$ , $q \lor r = 0$ , $p \Leftrightarrow q = 0$ .
Doğru cevap D.

Diğer şıklar: $p \land r$ $r$ nin doğruluk değeri 1 sanılmış / $\neg p \lor q$ $p$ nin doğruluk değeri 0 sanılmış / $q \lor r$ $q$ ve $r$ nin doğruluk değeri 1 sanılmış / $p \Leftrightarrow q$ farklı değerler aynı sanılmış.

Kendini dene

p

doğru,

q

yanlış ise

p \Rightarrow q

nedir?

0 (yanlış). Doğru ve yanlış durumunda "ise" yanlıştır.

\neg(p \lor q)

ifadesine denk olan ifade nedir?

$\neg p \land \neg q$ (De Morgan).

"Her kuş uçar" önermesinin olumsuzu nedir?

"Uçmayan en az bir kuş vardır."

p \Rightarrow q

koşullu önermesinin ters karşıtı nedir?

$\neg q \Rightarrow \neg p$ .

x^2 = 4

" önermesinin

x \in \mathbb{R}

için "bazı" niceleyicisiyle doğruluk değeri nedir?

$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 4$ doğrudur ( $x = 2$ için). Değeri 1.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Mantık

Bu konuda ne öğreneceksin

Hedefler

1. Önerme

2. Bağlaçlar ve doğruluk tabloları

3. Denk önermeler

Karşıt, ters ve ters karşıt

4. Niceleyiciler

5. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Kendini dene

Temel Matematik dersinin diğer konuları