Kümeler

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir sınıfta hem müzik hem resim kursuna giden öğrencileri saymak, iki grubun birleşiminde kimsenin iki kez sayılmaması gerektiğini bilmek, kümelerin konusudur. Kümeler, matematiğin dilidir ve sonraki konuların (fonksiyon, olasılık, mantık) hepsi bu dili kullanır. Bu konuda küme gösterimlerini, alt kümeleri, birleşim, kesişim ve fark işlemlerini ve iki kümeli Venn şeması problemlerini öğreneceksin.

1. Küme ve gösterimi

Küme, iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. Nesnelere eleman denir. $a$, $A$ kümesinin elemanıysa $a \in A$, değilse $a \notin A$ yazılır.

İki gösterim yöntemi vardır:

• Liste yöntemi: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
• Ortak özellik yöntemi: $A = \{x \mid x \text{ bir doğal sayı ve } 1 \leq x \leq 5\}$.

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve $\emptyset$ ile gösterilir. Tek elemanlı $\{0\}$ boş küme değildir, çünkü içinde 0 vardır. Bir kümede aynı eleman iki kez yazılmaz ve elemanların sırası önemli değildir.

Elemanların sayısı $s(A)$ ile yazılır. $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ için $s(A) = 5$.

2. Alt küme

$A$'nın her elemanı $B$'de de varsa $A$, $B$'nin alt kümesidir: $A \subset B$. Boş küme her kümenin alt kümesidir ve her küme kendisinin alt kümesidir.

$s(A) = n$ ise:

4 elemanlı kümenin $2^4 = 16$ alt kümesi, 15 öz alt kümesi vardır. 5 elemanlı kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı $\binom{5}{2} = 10$ olur (kombinasyonu sonraki konularda öğreneceksin).

Her eleman için iki seçenek vardır: alt kümede olur ya da olmaz. Bu yüzden $2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 = 2^n$.

3. Kümelerde işlemler

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ve $B = \{4, 5, 6, 7\}$ olsun.

Evrensel küme $E = \{1, 2, \ldots, 10\}$ ise $A' = \{6, 7, 8, 9, 10\}$.

De Morgan kuralları. Tümleyen alınırken birleşim kesişime, kesişim birleşime dönüşür:

$(A \cup B)' = A' \cap B' \qquad (A \cap B)' = A' \cup B'$

Yukarıdaki örnekte $(A \cup B)' = \{8, 9, 10\}$ ve $A' \cap B' = \{6,7,8,9,10\} \cap \{1,2,3,8,9,10\} = \{8, 9, 10\}$. İki ifade eşit çıktı.

Kartezyen çarpım. $A \times B$, ilk elemanı $A$'dan, ikinci elemanı $B$'den seçilen sıralı ikililerin kümesidir. $s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)$. Burada $5 \cdot 4 = 20$ ikili olur.

4. İki kümenin eleman sayısı

İki kümenin birleşimindeki eleman sayısını bulurken ortak elemanlar iki kez sayılmaz:

$s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$

Ortak elemanların ($4$ ve $5$) $A$ toplanırken bir kez, $B$ toplanırken bir kez daha sayılması yüzünden, bir kez çıkarılır. $s(A \cup B) = 5 + 4 - 2 = 7$.

Venn şemasında gör

Kesişimi büyüttükçe birleşimin küçüldüğüne dikkat et.

5. Venn şemasıyla problem çözme

Örnek. 30 öğrencilik bir sınıfta 18 öğrenci müzik, 15 öğrenci resim kursuna gidiyor. 5 öğrenci hiçbir kursa gitmiyor. Kaç öğrenci hem müzik hem resim kursuna gidiyor?

• Kursa gidenler $30 - 5 = 25$ öğrencidir. Yani $s(M \cup R) = 25$.
• $s(M \cup R) = s(M) + s(R) - s(M \cap R)$ ise $25 = 18 + 15 - x$ ve $x = 8$.
• Yalnızca müzik $18 - 8 = 10$, yalnızca resim $15 - 8 = 7$.

Kontrol: $10 + 8 + 7 + 5 = 30$. Şemadaki bütün bölgelerin toplamı evrensel kümeye (30) eşit olmalı.

6. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.