Yolumnet

TYT · Temel Matematik

Polinomlar

Yaklaşık 13 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-23

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir ifadeyi xx'in kuvvetlerinin toplamı biçiminde yazmak, ilk bakışta soyut görünür. Ama bir fonksiyonun grafiğini çizmek, bir denklemin köklerini bulmak ya da bir eğri hesaplamak için hep polinomlarla çalışırsın. TYT'de polinom soruları değer bulma kısayolları ile çözülür: P(1)P(1), P(0)P(0) ve kalan teoremi. Bu konuda polinom kavramını, derece ve katsayıları, polinomlarla işlemleri, bölmeyi ve kalan teoremini öğreneceksin.

Hedefler

  1. Polinom, derece, katsayı ve sabit terim kavramlarını kullanmak.
  2. P(1)P(1) ve P(0)P(0) ile katsayılar toplamı ve sabit terimi bulmak.
  3. İki polinomu toplamak, çıkarmak ve çarpmak.
  4. Polinom bölmesinde bölüm, bölen ve kalan ilişkisini kurmak.
  5. Kalan teoremini ve çarpan teoremini uygulamak.
Polinomlar · Matematiğin Güler Yüzü

1. Polinom nedir?

nn negatif olmayan tam sayı olmak üzere

P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

biçimindeki ifadeye polinom denir. an≠0a_n \neq 0 ise en büyük üs nn polinomun derecesidir (d[P]=nd[P] = n). aia_i'ler katsayı, a0a_0 sabit terimdir.

Polinom olmayan ifadeler: x−2+3x^{-2} + 3 (negatif üs), x+1\sqrt{x} + 1 (kesirli üs), 1x+x\dfrac{1}{x} + x (xx paydada).

Örnek. P(x)=3x3−2x2+x−5P(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 üçüncü derecedendir. Başkatsayı 3, sabit terim −5-5'tir.

2. Kısayollar: P(1)P(1) ve P(0)P(0)

Ne isteniyor? Ne yapılır? P(x)=3x3−2x2+x−5P(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 için
Katsayılar toplamı P(1)P(1) 3−2+1−5=−33 - 2 + 1 - 5 = -3
Sabit terim P(0)P(0) −5-5
Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı P(1)+P(−1)2\dfrac{P(1) + P(-1)}{2} −3+(−11)2=−7\dfrac{-3 + (-11)}{2} = -7
Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı P(1)−P(−1)2\dfrac{P(1) - P(-1)}{2} −3−(−11)2=4\dfrac{-3 - (-11)}{2} = 4

Burada P(−1)=−3−2−1−5=−11P(-1) = -3 - 2 - 1 - 5 = -11.

P(ax+b)P(ax + b) için aynı kısayol. P(2x−1)P(2x - 1) polinomunun katsayılar toplamı için x=1x = 1 yazarsın: P(2⋅1−1)=P(1)P(2 \cdot 1 - 1) = P(1). Sabit terimi için x=0x = 0 yazarsın: P(−1)P(-1).

3. Polinomlarla işlemler

Toplama ve çıkarma: Aynı dereceli terimler birbiriyle işleme girer.

Çarpma: Her terim, diğer polinomun her terimiyle çarpılır, benzer terimler toplanır. Örnek. (x2+3x−1)(x−2)(x^2 + 3x - 1)(x - 2):

x3−2x2+3x2−6x−x+2=x3+x2−7x+2x^3 - 2x^2 + 3x^2 - 6x - x + 2 = x^3 + x^2 - 7x + 2

Dereceler şöyle davranır: d[P⋅Q]=d[P]+d[Q]d[P \cdot Q] = d[P] + d[Q] ve d[P+Q]≤max⁡(d[P],d[Q])d[P + Q] \leq \max(d[P], d[Q]).

4. Polinom bölmesi

P(x)P(x) polinomu B(x)B(x)'e bölündüğünde bölüm Q(x)Q(x) ve kalan K(x)K(x) ise

P(x)=B(x)⋅Q(x)+K(x)P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x)

yazılır. Kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçüktür: d[K]<d[B]d[K] < d[B]. Bölenin derecesi 1 ise kalan sabit sayıdır. Bölenin derecesi 2 ise kalan en çok birinci dereceden olur (ax+bax + b).

Dereceler: d[Q]=d[P]−d[B]d[Q] = d[P] - d[B].

5. Kalan teoremi ve çarpan teoremi

Kalan teoremi. P(x)P(x) polinomunun (x−a)(x - a) ile bölümünden kalan P(a)P(a)'dır.

Örnek. P(x)=x3−4x2+5P(x) = x^3 - 4x^2 + 5 polinomunun (x−3)(x - 3) ile bölümünden kalan P(3)=27−36+5=−4P(3) = 27 - 36 + 5 = -4 olur.

Çarpan teoremi. (x−a)(x - a), P(x)P(x)'in çarpanıdır ancak ve ancak P(a)=0P(a) = 0 ise. Yani kalan sıfırsa bölünebilir.

Örnek. x3−6x2+11x−6x^3 - 6x^2 + 11x - 6 polinomunda P(1)=1−6+11−6=0P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0, P(2)=8−24+22−6=0P(2) = 8 - 24 + 22 - 6 = 0, P(3)=27−54+33−6=0P(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0. Üçü de kök olduğundan polinom (x−1)(x−2)(x−3)(x - 1)(x - 2)(x - 3)'e eşittir.

Bölen birinci dereceden değilse. x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) gibi çarpanlı bölende kalan ax+bax + b biçimindedir. P(1)P(1) ve P(2)P(2) değerleri bilinirse aa ve bb iki denklemle bulunur.

6. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Katsayılar toplamı P(1)P(1)
Sabit terim P(0)P(0)
P(ax+b)P(ax+b)'nin katsayılar toplamı x=1x = 1 yaz
Bölme P=B⋅Q+KP = B \cdot Q + K, d[K]<d[B]d[K] < d[B]
Kalan teoremi (x−a)(x - a) ile kalan P(a)P(a)
Çarpan teoremi P(a)=0  ⟺  (x−a)P(a) = 0 \iff (x - a) çarpan
Derece d[P⋅Q]=d[P]+d[Q]d[P \cdot Q] = d[P] + d[Q]

Mini test

Soru 1

P(x)=x3−2x2+5x+3P(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + 3 olduğuna göre P(2x−1)P(2x - 1) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?

  1. A3
  2. B7
  3. C11
  4. D13
  5. E27
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. P(2x−1)P(2x - 1) polinomunun katsayıları toplamı, x=1x = 1 yazılınca bulunur.
  2. x=1x = 1 için P(2⋅1−1)=P(1)P(2 \cdot 1 - 1) = P(1).
  3. P(1)=1−2+5+3=7P(1) = 1 - 2 + 5 + 3 = 7. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: 3 P(x)P(x) in sabit terimi alınmış / 11 −2x2-2x^2 teriminin katsayısı +2+2 alınmış / 13 x=2x = 2 yazılmış / 27 x=3x = 3 yazılmış.

Soru 2

P(x)=x3+ax2−4x+6P(x) = x^3 + ax^2 - 4x + 6 polinomunun (x−2)(x - 2) ile bölümünden kalan 10 olduğuna göre aa kaçtır?

  1. A1
  2. B2
  3. C4
  4. D6
  5. E10
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. Kalan teoremi: (x−2)(x - 2) ile bölümünden kalan P(2)P(2)'dir.
  2. P(2)=8+4a−8+6=4a+6=10P(2) = 8 + 4a - 8 + 6 = 4a + 6 = 10.
  3. 4a=44a = 4 ve a=1a = 1. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 2 bölen x−2x - 2 nin kökü alınmış / 4 4a=44a = 4 denkleminin sağ tarafı alınmış / 6 P(0)P(0) sabit terimi alınmış / 10 kalan sonuç sanılmış.

Soru 3

P(x)=x3+px2+qx−12P(x) = x^3 + px^2 + qx - 12 polinomu (x−2)(x - 2) ve (x+3)(x + 3) ile tam bölünebildiğine göre p−qp - q değeri kaçtır?

  1. A-7
  2. B-4
  3. C-1
  4. D3
  5. E7
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. P(2)=8+4p+2q−12=0P(2) = 8 + 4p + 2q - 12 = 0 ise 2p+q=22p + q = 2.
  2. P(−3)=−27+9p−3q−12=0P(-3) = -27 + 9p - 3q - 12 = 0 ise 3p−q=133p - q = 13.
  3. İki denklemi toplayınca 5p=155p = 15, p=3p = 3 ve q=−4q = -4.
  4. p−q=3−(−4)=7p - q = 3 - (-4) = 7. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: -7 q−pq - p hesaplanmış / -4 yalnızca qq bulunmuş / -1 p+qp + q hesaplanmış / 3 yalnızca pp bulunmuş.

Soru 4

P(x)P(x) polinomunun (x−1)(x - 1) ile bölümünden kalan 5, (x−2)(x - 2) ile bölümünden kalan 9'dur. Buna göre P(x)P(x) polinomunun x2−3x+2x^2 - 3x + 2 ile bölümünden kalan polinom R(x)R(x) için R(3)R(3) kaçtır?

  1. A5
  2. B9
  3. C13
  4. D15
  5. E27
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) olduğundan kalan R(x)=ax+bR(x) = ax + b biçimindedir.
  2. P(1)=R(1)=a+b=5P(1) = R(1) = a + b = 5 ve P(2)=R(2)=2a+b=9P(2) = R(2) = 2a + b = 9.
  3. İki denklemi çıkar: a=4a = 4 ve b=1b = 1. R(x)=4x+1R(x) = 4x + 1.
  4. R(3)=13R(3) = 13. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 5 P(1)P(1) alınmış / 9 P(2)P(2) alınmış / 15 5⋅35 \cdot 3 hesaplanmış / 27 9⋅39 \cdot 3 hesaplanmış.

Kendini dene

Kendini dene

P(x)=x2+4x−7P(x) = x^2 + 4x - 7 ise P(2)P(2) kaçtır?

4+8−7=54 + 8 - 7 = 5.

P(x)=2x3+x−4P(x) = 2x^3 + x - 4 polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

P(1)=2+1−4=−1P(1) = 2 + 1 - 4 = -1.

P(x)=x3+2x−5P(x) = x^3 + 2x - 5 polinomunun (x−1)(x - 1) ile bölümünden kalan kaçtır?

P(1)=1+2−5=−2P(1) = 1 + 2 - 5 = -2.

P(x)P(x) polinomu (x+2)(x + 2) ile tam bölünüyorsa P(−2)P(-2) kaçtır?

d[P]=4d[P] = 4 ve d[Q]=2d[Q] = 2 ise d[P⋅Q]d[P \cdot Q] ve d[P+Q]d[P + Q] nedir?

d[P⋅Q]=6d[P \cdot Q] = 6 ve d[P+Q]=4d[P + Q] = 4.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Temel Matematik dersinin diğer konuları