Yolumnet

TYT · Temel Matematik

Permütasyon ve Kombinasyon

Yaklaşık 15 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-11-13

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir sınıfta 5 kişilik bir sıra kaç farklı şekilde oluşturulur, 8 kişiden 3 kişilik bir ekip kaç farklı biçimde seçilir? Bu soruların cevabını tek tek yazarak bulmak mümkün değildir. Saymanın kuralları bunu birkaç çarpmayla çözer. TYT'de bu konuda iki karar vardır: Sıra önemli mi ve elemanlar birbirinden farklı mı. Bu konuda toplama ve çarpma kurallarını, permütasyonu, kombinasyonu ve özel durumları öğreneceksin.

Hedefler

  1. Toplama ve çarpma kuralını ayırt edip kullanmak.
  2. Faktöriyel kavramını ve P(n,r)P(n, r) değerini hesaplamak.
  3. Sıra önemsiz seçimlerde C(n,r)C(n, r) değerini hesaplamak.
  4. Tekrarlı ve dairesel sıralamaları hesaplamak.
  5. "En az" ve "yan yana" koşullarını sayma yöntemleriyle çözmek.
Permütasyon ve Kombinasyon · 3D Yayınları
Permütasyon ve Kombinasyon · Matematiğin Güler Yüzü

1. Sayma kuralları

Çarpma kuralı. Bir iş ardışık kk aşamada yapılıyor ve aşamalar sırayla n1,n2,…,nkn_1, n_2, \ldots, n_k farklı biçimde gerçekleşiyorsa iş n1⋅n2⋯nkn_1 \cdot n_2 \cdots n_k biçimde yapılır. "Ve" geçen durumlarda çarparsın.

Toplama kuralı. İş, birbirini engelleyen iki ayrı yoldan biriyle yapılıyorsa seçenekler toplanır. "Ya da" geçen durumlarda toplarsın.

Üç gömlek ve iki pantolondan altı kombin elde edildiğini gösteren ağaç diyagramı
Çarpma kuralı · İzlek

Örnek. 3 gömlek ve 2 pantolonla 3⋅2=63 \cdot 2 = 6 farklı kombin yapılır. Her gömlek için pantolon seçimi bağımsız olduğundan sayılar çarpılır.

2. Faktöriyel

nn doğal sayı olmak üzere

n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋯2⋅1,0!=1,1!=1n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1, \qquad 0! = 1, \quad 1! = 1

Örnek. 5!=1205! = 120 ve 6!4!=6⋅5=30\dfrac{6!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30. Faktöriyelli bir kesri sadeleştirirken büyük faktöriyeli, küçük faktöriyel görünene kadar aç.

3. Permütasyon (sıralama)

nn farklı elemandan rr tanesi sıralı seçilirse

P(n,r)=n!(n−r)!=n(n−1)⋯(n−r+1)P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} = n(n-1)\cdots(n - r + 1)

Örnek. 6 kişiden başkan ve başkan yardımcısı P(6,2)=6⋅5=30P(6, 2) = 6 \cdot 5 = 30 biçimde seçilir. Tüm elemanlar sıralanıyorsa P(n,n)=n!P(n, n) = n! olur: 5 kişi bir sırada 5!=1205! = 120 farklı biçimde dizilir.

4. Kombinasyon (seçme)

nn farklı elemandan rr tanesi sırasız seçilirse

C(n,r)=(nr)=n!r! (n−r)!C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}

Bu formül, permütasyonun r!r! sıralamaya bölünmüş hâlidir. Seçilen rr kişinin sırası önemsiz olduğundan aynı ekip r!r! kez sayılmıştır.

Örnek. 8 kişiden 3 kişilik komite C(8,3)=8⋅7⋅63⋅2⋅1=56C(8, 3) = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 biçimde seçilir.

Özellikler:

Özellik Örnek
C(n,0)=C(n,n)=1C(n, 0) = C(n, n) = 1 C(7,0)=1C(7, 0) = 1
C(n,r)=C(n,n−r)C(n, r) = C(n, n - r) C(7,3)=C(7,4)=35C(7, 3) = C(7, 4) = 35
C(n,1)=nC(n, 1) = n C(9,1)=9C(9, 1) = 9
C(n,r)+C(n,r+1)=C(n+1,r+1)C(n, r) + C(n, r + 1) = C(n + 1, r + 1) C(5,2)+C(5,3)=C(6,3)=20C(5, 2) + C(5, 3) = C(6, 3) = 20

Seçimleri listele

Eleman sayısını ve seçilecek sayıyı değiştirip tüm seçimleri gör.

5. Özel durumlar

Tekrarlı permütasyon. nn elemanın içinde aa tanesi birbirinin aynı, bb tanesi birbirinin aynı ise dizilişlerin sayısı

n!a! b!\frac{n!}{a!\,b!}

Örnek. ANKARA kelimesinin harfleriyle 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimelerin sayısı, 3 tane A olduğundan 6!3!=120\dfrac{6!}{3!} = 120'dir.

Dairesel sıralama. nn kişi yuvarlak masaya oturursa dönmekle aynı olan sıralar bir sayılır, sayı (n−1)!(n - 1)! olur. Örnek. 5 kişi yuvarlak masaya 4!=244! = 24 biçimde oturur.

Yan yana koşulu. Yan yana olması istenen elemanlar tek bir birim gibi sayılır, sonra kendi aralarında yer değiştirir. Örnek. 5 kişi bir sırada A ve B yan yana olacak biçimde 2⋅4!=482 \cdot 4! = 48 biçimde dizilir.

"En az" koşulu. Çoğu zaman tümleyen yolu kısadır: Tüm durumlardan istenmeyeni çıkar. Örnek. 5 erkek ve 4 kadından en az bir kadın içeren 3 kişilik kurul C(9,3)−C(5,3)=84−10=74C(9, 3) - C(5, 3) = 84 - 10 = 74 biçimde seçilir. Çıkarılan C(5,3)C(5, 3), hiç kadın olmayan kurullardır.

6. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Çarpma kuralı "Ve", aşamalar çarpılır
Toplama kuralı "Ya da", durumlar toplanır
Permütasyon P(n,r)=n!(n−r)!P(n, r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}
Kombinasyon C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}
Tekrarlı n!a! b!\dfrac{n!}{a!\,b!}
Dairesel (n−1)!(n - 1)!
Yan yana Birimi tek say, ×\times iç sıralama

Mini test

Soru 1

0, 1, 2, 3, 4, 5 rakamları kullanılarak rakamları birbirinden farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?

  1. A20
  2. B32
  3. C48
  4. D51
  5. E52
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. Son basamak 0 ise ilk iki basamak kalan 5 rakamdan sıralı seçilir: 5⋅4=205 \cdot 4 = 20.
  2. Son basamak 2 ya da 4 ise ilk basamak 0 ve son rakam dışında 4 rakamdan, orta basamak ise kalan 4 rakamdan seçilir: 2⋅4⋅4=322 \cdot 4 \cdot 4 = 32.
  3. Toplam 20+32=5220 + 32 = 52. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: 20 yalnızca son basamağı 0 olanlar sayılmış / 32 son basamağı 0 olan sayılar unutulmuş / 48 son basamak 0 olduğunda da ilk iki basamak için 4⋅44 \cdot 4 alınmış / 51 işlem hatasıyla bir eksik bulunmuş.

Soru 2

5 matematik ve 4 fizik öğretmeni arasından en az 2 matematik öğretmeni bulunan 4 kişilik bir kurul kaç farklı biçimde seçilebilir?

  1. A60
  2. B65
  3. C100
  4. D105
  5. E126
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. Tüm 4 kişilik kurullar: C(9,4)=126C(9, 4) = 126.
  2. İstenmeyenler: Hiç matematik öğretmeni olmayan C(4,4)=1C(4, 4) = 1 ve tam 1 matematik öğretmenli C(5,1)⋅C(4,3)=20C(5, 1) \cdot C(4, 3) = 20 kurul.
  3. 126−(1+20)=105126 - (1 + 20) = 105. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: 60 yalnızca tam 2 matematik öğretmenli durum sayılmış / 65 3 matematik öğretmenli durum unutulmuş / 100 4 matematik öğretmenli durum unutulmuş / 126 koşulsuz tüm seçimler sayılmış.

Soru 3

KAYAK kelimesinin harfleri kullanılarak anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?

  1. A15
  2. B20
  3. C29
  4. D30
  5. E60
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. 5 harf içinde K iki kez, A iki kez, Y bir kez geçer.
  2. 5!2! 2!=1204=30\dfrac{5!}{2!\,2!} = \dfrac{120}{4} = 30. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: 15 2!2! üç kez bölünmüş / 20 bir harf 3 kez tekrar ediyormuş gibi bölünmüş / 29 işlem hatasıyla bir eksik bulunmuş / 60 yalnızca bir harfin tekrarına bölünmüş.

Soru 4

Aralarında Ayşe ile Burak'ın da bulunduğu 7 kişi yuvarlak bir masa etrafına, Ayşe ile Burak yan yana olacak biçimde kaç farklı şekilde oturabilir?

  1. A240
  2. B241
  3. C720
  4. D1440
  5. E5040
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. Ayşe ile Burak tek birim sayılır: 66 birim yuvarlak masaya (6−1)!=120(6 - 1)! = 120 biçimde oturur.
  2. Ayşe ile Burak kendi aralarında 2 biçimde yer değiştirir.
  3. 120⋅2=240120 \cdot 2 = 240. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 241 işlem hatasıyla bir fazla bulunmuş / 720 yalnızca dairesel sıralama 6!6! hesaplanıp yan yana koşulu unutulmuş / 1440 birim sayısı 6 iken doğrusal sıralama 6!6! ile 22 çarpılmış / 5040 doğrusal sıralama 7!7! alınmış.

Kendini dene

Kendini dene

7!5!\dfrac{7!}{5!} işleminin sonucu kaçtır?

7⋅6=427 \cdot 6 = 42.

10 kişilik bir gruptan 2 kişilik ekip kaç farklı biçimde seçilir?

C(10,2)=45C(10, 2) = 45.

MASA kelimesinin harfleriyle yazılabilecek, anlamlı ya da anlamsız 4 harfli kelimelerin sayısı kaçtır?

2 tane A olduğundan 4!2!=12\dfrac{4!}{2!} = 12.

6 kişi yuvarlak bir masaya kaç farklı biçimde oturur?

(6−1)!=120(6 - 1)! = 120.

C(n,2)=21C(n, 2) = 21 ise nn kaçtır?

n(n−1)2=21\dfrac{n(n-1)}{2} = 21 ise n(n−1)=42n(n-1) = 42 ve n=7n = 7.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Temel Matematik dersinin diğer konuları