Olasılık

Bu konuda ne öğreneceksin

Hava durumu yüzde 70 yağış diyor, bir sınav sorusunu rastgele işaretlemenin doğru çıkma ihtimali beşte bir. Bu cümlelerin hepsi olasılık ölçüsüdür. TYT'de olasılık soruları, "Permütasyon ve Kombinasyon" konusunda öğrendiğin saymayı kullanarak istenen durumların sayısını, tüm durumların sayısına oranlamaya dayanır. Bu konuda olasılığın tanımını, tümleyen ve birleşim kurallarını, bağımsız olayları ve koşullu olasılığı öğreneceksin.

1. Temel kavramlar

• Deney: Sonucu önceden kesin bilinmeyen işlem. Zar atmak, bir torbadan top çekmek.
• Örnek uzay ($E$): Deneyin tüm olası sonuçlarının kümesi. Bir zar için $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Olay ($A$): Örnek uzayın bir alt kümesi. "Çift gelmesi" olayı $A = \{2, 4, 6\}$.

Tüm sonuçların eş olasılıklı olduğu durumda bir olayın olasılığı

$P(A) = \frac{s(A)}{s(E)}$

Örnek. Bir zar atılırken çift gelme olasılığı $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. İki zar atılırken toplamın 7 gelme olasılığı için $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ olmak üzere 6 durum vardır. Olasılık $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.

Sınır değerler. $0 \leq P(A) \leq 1$. Kesinlikle olmayacak olayın olasılığı 0, kesinlikle olacak olayın olasılığı 1'dir.

2. Tümleyen ve birleşim

Tümleyen. $A$ olayının olmaması olayına tümleyen denir: $P(A') = 1 - P(A)$. "En az bir" sorularında çoğu zaman tümleyen yolu kısadır.

Örnek. Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi top var. Kırmızı çekme olasılığı $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$. Kırmızı çekmeme olasılığı $1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$.

Birleşim. İki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Örnek. 1'den 20'ye kadar numaralanmış 20 karttan biri çekiliyor. 3'ün katı olma olasılığı $\dfrac{6}{20}$ (3, 6, 9, 12, 15, 18). 4'ün katı olma olasılığı $\dfrac{5}{20}$ (4, 8, 12, 16, 20). İkisinin de katı olan tek sayı 12'dir. Bu durumda

$P(A \cup B) = \frac{6}{20} + \frac{5}{20} - \frac{1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

12 iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılır. İki olay ayrık ise ($A \cap B = \emptyset$) çıkarılacak bir şey kalmaz ve $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ olur.

3. Bağımsız olaylar

Bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa olaylar bağımsızdır. Bu durumda

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Örnek. Bir madeni para iki kez atılıyor. İkisinin de yazı gelme olasılığı $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.

Örnek. Bir madeni para üç kez atılıyor. En az bir yazı gelmesinin tümleyeni, üçünün de tura gelmesidir: $1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{7}{8}$.

4. Koşullu olasılık

$B$ olayının gerçekleştiği biliniyorsa $A$ olayının olasılığı, örnek uzay $B$'ye daraltılarak bulunur:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Örnek. İki zar atılıyor ve toplamın 8 olduğu biliniyor. Toplamı 8 olan 5 durum vardır: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$. Bunlardan ikisinin de çift olduğu 3 durum vardır: $(2,6), (4,4), (6,2)$. Olasılık $\dfrac{3}{5}$. Formülle de aynı sonuç çıkar: $\dfrac{3/36}{5/36} = \dfrac{3}{5}$.

İadesiz çekiliş. Torbadan çekilen top geri konmuyorsa ikinci çekilişin olasılığı birinciye bağlıdır. Örnek. 5 mavi ve 3 kırmızı topun bulunduğu torbadan iadesiz 2 top çekiliyor. İkisinin de mavi olma olasılığı hem sayma ile $\dfrac{C(5, 2)}{C(8, 2)} = \dfrac{10}{28}$ hem de çarpma ile $\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{5}{14}$ bulunur.

Deneyle gör

Madeni para ve zarla yapılan deneyi tekrarla. Atış sayısını artırdıkça gözlenen oranın kuramsal olasılığa yaklaştığını görürsün.

5. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.