Doğruda ve Üçgende Açılar

Bu konuda ne öğreneceksin

Merdivenin eğimi, iki yolun kesişme açısı, bir çatının iki kenarı arasındaki açı: Hepsi açıdır. Geometri sorularının büyük kısmı aslında açı hesabıdır. TYT geometride açı bilgisi her konunun temelidir: Üçgen, çokgen, çember ve benzerlik sorularında hep açı yazarak ilerlersin. Bu konuda doğrular arasındaki açıları, paralel doğruların oluşturduğu açı çiftlerini ve üçgende açı ilişkilerini öğreneceksin.

1. Doğruda açılar

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının oluşturduğu şekle açı denir. Açının ölçüsü derece ile verilir. Dik açı 90°, doğru açı 180°'dir. 90°'den küçük açı dar, büyük açı geniş açıdır.

Bütünler açılar. Toplamları 180° olan açılardır. Bir doğru üzerindeki komşu iki açı bütünlerdir. Tümler açılar. Toplamları 90° olan açılardır.

Ters açılar. İki doğru kesiştiğinde karşılıklı duran açılar eşittir.

Örnek. Bir doğru üzerindeki komşu iki açı $(3x + 10)°$ ve $(2x + 20)°$ ise $5x + 30 = 180$ ve $x = 30$ bulunur. Açılar $100°$ ve $80°$'dir.

2. Paralel doğrular ve kesen

İki paralel doğruyu bir kesen kestiğinde sekiz açı oluşur. Şekilde geniş açılar turuncu, dar açılar yeşil gösterilmiştir.

Örnek. Şekildeki dar açılar 65° ise 2, 4, 6 ve 8 numaralı açıların hepsi 65°, diğer dört açının hepsi $180° - 65° = 115°$ olur. Paralellik varsa yalnızca iki ölçü vardır: Biri $\alpha$, diğeri $180° - \alpha$.

Kırık çizgi kuralı. İki paralel doğru arasında bir noktadan kırılan çizginin kırılma noktasındaki açı, paralel doğrularla yaptığı iki açının toplamına eşittir. $d_1 \parallel d_2$ olsun. P noktasından $d_1$'e ve $d_2$'ye doğrular çiziliyor ve bu doğrular paralellerle sırasıyla $30°$ ve $50°$ açı yapıyor. P noktasındaki açı $30° + 50° = 80°$ olur.

3. Üçgende açılar

İç açılar toplamı. Bir üçgenin iç açılarının toplamı $180°$'dir.

Dış açı. Bir kenarın uzantısı ile komşu kenarın yaptığı açıya dış açı denir. Dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Örnek. Bir üçgenin iki iç açısı 50° ve 60° ise üçüncü açı $180° - 110° = 70°$, o açının dış açısı ise $50° + 60° = 110°$'dir. Bu değer, üçüncü açının bütünleri olan $180° - 70° = 110°$ ile aynıdır.

İkizkenar üçgen. İki kenarı eşit olan üçgenin eşit kenarlarının karşısındaki açılar da eşittir. Örnek. Tepe açısı 40° olan ikizkenar üçgende taban açıları $\dfrac{180° - 40°}{2} = 70°$'dir. Eşkenar üçgen. Üç açısı da 60°'dir.

Açıları değiştir

İki iç açıyı değiştir ve dış açının komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğunu gör.

4. Açıortaylar

Açıyı iki eşit açıya bölen ışına açıortay denir. Bir üçgende iki iç açıortayın kesiştiği noktaya $I$ denirse, A köşesindeki açı $\alpha$ olmak üzere

$m(\widehat{BIC}) = 90° + \frac{\alpha}{2}$

Örnek. $\alpha = 50°$ ise $m(\widehat{BIC}) = 90° + 25° = 115°$. Bunun kontrolü: B ve C açılarının toplamı $130°$, yarısı $65°$ ve $180° - 65° = 115°$.

Örnek. $\alpha = 50°$ iken iki dış açıortay arasındaki açı $90° - 25° = 65°$'dir.

5. Kenar ve açı ilişkisi

Üçgen eşitsizliği. Bir üçgenin herhangi bir kenarı, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçüktür: $\lvert b - c \rvert < a < b + c$.

Örnek. İki kenarı 5 ve 9 olan üçgenin üçüncü kenarı $4 < x < 14$ aralığındadır. Tam sayı değerleri 5, 6, ..., 13 olduğundan 9 farklı tam sayı değeri vardır.

Büyük açı karşısında büyük kenar. Üçgende en büyük açının karşısı en uzun kenar, en küçük açının karşısı en kısa kenardır. Örnek. $A = 40°$, $B = 60°$, $C = 80°$ ise $a < b < c$.

6. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.