Yolumnet

TYT · Temel Matematik

Özel Üçgenler

Yaklaşık 14 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-11-13

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir merdivenin duvara dayandığı yükseklik, bir dikdörtgen arsanın köşegeni, bir uçurtmanın ipinin boyu. Hepsinde dik üçgen vardır ve kenarları birbirine Pisagor bağıntısıyla bağlanır. TYT geometride özel üçgenler, hesabı kısaltan kalıplardır: Kenar oranlarını bilirsen kök hesabı yapmadan sonuca gidersin. Bu konuda dik üçgeni, 3-4-5 gibi üçlüleri, Öklid bağıntılarını, 45° ve 30° içeren üçgenleri, ikizkenar ve eşkenar üçgeni öğreneceksin.

Hedefler

  1. Pisagor bağıntısını ve Pisagor üçlülerini kullanmak.
  2. Öklid bağıntılarıyla dik üçgendeki parçaları hesaplamak.
  3. 45°-45°-90° ve 30°-60°-90° üçgenlerinin kenar oranlarını uygulamak.
  4. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayı hesaplamak.
  5. İkizkenar ve eşkenar üçgenin yüksekliğini bulmak.
Özel Üçgenler · Hocalara Geldik

1. Dik üçgen ve Pisagor bağıntısı

Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer iki kenara dik kenar denir. Dik kenarlar bb ve cc, hipotenüs aa ise

a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2

Örnek. Dik kenarları 9 ve 12 olan üçgenin hipotenüsü 81+144=15\sqrt{81 + 144} = 15'tir. Hipotenüsü 17, bir dik kenarı 8 olan üçgenin diğer dik kenarı 289−64=15\sqrt{289 - 64} = 15'tir.

Pisagor üçlüleri. Kenarları tam sayı olan dik üçgenlerin en çok kullanılanları:

Üçlü Katları
3, 4, 5 6, 8, 10 ve 9, 12, 15
5, 12, 13 10, 24, 26
8, 15, 17 16, 30, 34
7, 24, 25 14, 48, 50

Kenar karelerini gör

Dik kenarları değiştir. İki küçük karenin alanları toplamı büyük karenin alanına eşit kalır.

2. Öklid bağıntıları

A köşesi dik olan ABC üçgeninde A'dan hipotenüse indirilen dikmenin ayağı H olsun. ∣BH∣=p\lvert BH \rvert = p, ∣HC∣=q\lvert HC \rvert = q, ∣AH∣=h\lvert AH \rvert = h, hipotenüs a=p+qa = p + q, dik kenarlar c=∣AB∣c = \lvert AB \rvert ve b=∣AC∣b = \lvert AC \rvert olmak üzere:

A köşesi dik olan ABC üçgeninde AH yüksekliği hipotenüsü p ve q parçalarına ayırıyor. h kare p çarpı q, c kare p çarpı a, b kare q çarpı a ve b çarpı c a çarpı h
Öklid bağıntıları · İzlek

Örnek. p=9p = 9 ve q=16q = 16 ise h=9⋅16=12h = \sqrt{9 \cdot 16} = 12 ve a=25a = 25. Dik kenarlar c=9⋅25=15c = \sqrt{9 \cdot 25} = 15 ve b=16⋅25=20b = \sqrt{16 \cdot 25} = 20. Kontrol: 152+202=25215^2 + 20^2 = 25^2 ve b⋅c=300=a⋅h=25⋅12b \cdot c = 300 = a \cdot h = 25 \cdot 12.

3. Özel dik üçgenler

İkizkenar dik üçgende kenarlar k, k ve k kök 2. Otuz altmış doksan üçgeninde kenarlar k, k kök 3 ve 2k
45-45-90 ve 30-60-90 üçgenleri · İzlek

45°-45°-90° üçgeni. Dik kenarlar eşit, hipotenüs dik kenarın 2\sqrt{2} katıdır. Örnek. Hipotenüsü 10210\sqrt{2} olan ikizkenar dik üçgenin dik kenarları 10'dur.

30°-60°-90° üçgeni. 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır, 60°'nin karşısındaki kenar 3\sqrt{3} çarpanı taşır. Örnek. 30°'nin karşısındaki kenar 6 ise hipotenüs 12, 60°'nin karşısındaki kenar 636\sqrt{3}'tür.

4. Dik üçgende kenarortay

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. Hipotenüsün orta noktası, üç köşeye eşit uzaklıktadır.

Örnek. Dik kenarları 6 ve 8 olan üçgenin hipotenüsü 10, hipotenüse ait kenarortayı 5'tir.

5. İkizkenar ve eşkenar üçgen

İkizkenar üçgen. Eşit kenarlar aa, taban bb ise tepeden tabana inen yükseklik tabanı ortalar ve

h=a2−(b2)2h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}

Örnek. Kenarları 10, 10 ve 12 olan üçgende h=100−36=8h = \sqrt{100 - 36} = 8.

Eşkenar üçgen. Kenar uzunluğu aa ise yükseklik h=a32h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}'dir. Eşkenar üçgenin yüksekliği aynı zamanda açıortayı ve kenarortayıdır. Örnek. a=8a = 8 ise h=43h = 4\sqrt{3}.

6. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Pisagor a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2
Öklid h2=p⋅qh^2 = p \cdot q, c2=p⋅ac^2 = p \cdot a, b2=q⋅ab^2 = q \cdot a
45°-45°-90° k,k,k2k, k, k\sqrt{2}
30°-60°-90° k,k3,2kk, k\sqrt{3}, 2k
Kenarortay Hipotenüsün yarısı
İkizkenar yükseklik a2−(b/2)2\sqrt{a^2 - (b/2)^2}
Eşkenar yükseklik a32\dfrac{a\sqrt{3}}{2}

Mini test

Soru 1

A köşesindeki açısı 90° olan ABC üçgeninde A noktasından [BC] kenarına indirilen dikmenin ayağı H'dir. ∣BH∣=4\lvert BH \rvert = 4 cm ve ∣HC∣=9\lvert HC \rvert = 9 cm olduğuna göre ∣AB∣⋅∣AC∣\lvert AB \rvert \cdot \lvert AC \rvert çarpımı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A13
  2. B36
  3. C39
  4. D78
  5. E169
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. Öklid bağıntısına göre h2=4⋅9=36h^2 = 4 \cdot 9 = 36, yani h=6h = 6.
  2. Hipotenüs a=4+9=13a = 4 + 9 = 13.
  3. ∣AB∣⋅∣AC∣=a⋅h=13⋅6=78\lvert AB \rvert \cdot \lvert AC \rvert = a \cdot h = 13 \cdot 6 = 78. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: 13 hipotenüsün uzunluğu alınmış / 36 yüksekliğin karesi alınmış / 39 üçgenin alanı alınmış / 169 hipotenüsün karesi alınmış.

Soru 2

ABC üçgeninde m(A^)=90°m(\widehat{A}) = 90°, m(B^)=30°m(\widehat{B}) = 30° ve ∣AC∣=6\lvert AC \rvert = 6 cm'dir. D noktası [BC] üzerinde ve [AD]⊥[BC][AD] \perp [BC] olduğuna göre ∣AD∣\lvert AD \rvert kaç cm'dir?

  1. A3
  2. B323\sqrt{2}
  3. C333\sqrt{3}
  4. D6
  5. E9
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. 30°'nin karşısındaki ∣AC∣=6\lvert AC \rvert = 6 ise hipotenüs ∣BC∣=12\lvert BC \rvert = 12 ve ∣AB∣=63\lvert AB \rvert = 6\sqrt{3}.
  2. Dik üçgende ∣AB∣⋅∣AC∣=∣BC∣⋅∣AD∣\lvert AB \rvert \cdot \lvert AC \rvert = \lvert BC \rvert \cdot \lvert AD \rvert olduğundan 63⋅6=12⋅∣AD∣6\sqrt{3} \cdot 6 = 12 \cdot \lvert AD \rvert.
  3. ∣AD∣=33\lvert AD \rvert = 3\sqrt{3}. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 3 ∣DC∣\lvert DC \rvert bulunmuş / 323\sqrt{2} 3\sqrt{3} yerine 2\sqrt{2} alınmış / 6 ∣AC∣\lvert AC \rvert alınmış / 9 ∣BD∣\lvert BD \rvert bulunmuş.

Soru 3

ABC üçgeninde m(A^)=90°m(\widehat{A}) = 90°, ∣AB∣=10\lvert AB \rvert = 10 cm ve ∣AC∣=24\lvert AC \rvert = 24 cm'dir. [AM], hipotenüse ait kenarortay olduğuna göre ∣AM∣\lvert AM \rvert kaç cm'dir?

  1. A5
  2. B12
  3. C13
  4. D17
  5. E26
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Hipotenüs ∣BC∣=102+242=26\lvert BC \rvert = \sqrt{10^2 + 24^2} = 26 (5, 12, 13 üçlüsünün 2 katı).
  2. Hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır: ∣AM∣=13\lvert AM \rvert = 13. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 5 ∣AB∣\lvert AB \rvert nin yarısı alınmış / 12 ∣AC∣\lvert AC \rvert nin yarısı alınmış / 17 iki dik kenarın ortalaması alınmış / 26 hipotenüs alınmış.

Soru 4

Kenar uzunlukları 13 cm, 13 cm ve 10 cm olan ikizkenar üçgenin 10 cm'lik tabana ait yüksekliği kaç cm'dir?

  1. A5
  2. B10
  3. C12
  4. D13
  5. E60
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Yükseklik tabanı ortalar. Dik üçgenin hipotenüsü 13, bir dik kenarı 102=5\dfrac{10}{2} = 5.
  2. Diğer dik kenar h=132−52=12h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 (5, 12, 13 üçlüsü). Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 5 tabanın yarısı alınmış / 10 tabanın uzunluğu alınmış / 13 eşit kenarın uzunluğu alınmış / 60 üçgenin alanı alınmış.

Kendini dene

Kendini dene

Dik kenarları 20 ve 21 olan üçgenin hipotenüsü kaçtır?

400+441=29\sqrt{400 + 441} = 29.

Hipotenüsü 13, bir dik kenarı 5 olan üçgenin diğer dik kenarı kaçtır?

İkizkenar dik üçgenin hipotenüsü 626\sqrt{2} ise dik kenarı kaçtır?

30°-60°-90° üçgeninde hipotenüs 14 ise en kısa kenar kaçtır?

Eşkenar üçgenin kenarı 6 ise yüksekliği kaçtır?

632=33\dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Temel Matematik dersinin diğer konuları