Yolumnet

TYT · Temel Matematik

Üçgende Alan

Yaklaşık 14 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-11-13

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir arsanın üçgen biçimli köşesinin ne kadar yer kapladığını, bir yelkenin kumaş miktarını ya da bir çatı yüzeyinin boyasını hesaplarken alan gerekir. TYT'de üçgen alanı soruları çoğunlukla iki türdendir: Doğrudan formül uygulamak ve alanları birbirine oranlamak. İkincisinde sayısal alan değerini bilmeden de sonuca gidersin. Bu konuda alan formüllerini ve alan oranı kurallarını öğreneceksin.

Hedefler

  1. Taban ve yükseklikle üçgenin alanını hesaplamak.
  2. İki kenar ve aradaki açıyla alanı bulmak.
  3. Üç kenar uzunluğu verilen üçgenin alanını Heron formülüyle hesaplamak.
  4. İç teğet çember yarıçapı ile alan ilişkisini kullanmak.
  5. Alan oranı sorularını taban ve açı oranlarıyla çözmek.
Üçgende Alan · Rehber Matematik

1. Taban ve yükseklikle alan

Bir üçgenin alanı, herhangi bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

A=12⋅a⋅haA = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a

Örnek. Tabanı 12, yüksekliği 7 olan üçgenin alanı 12⋅72=42\dfrac{12 \cdot 7}{2} = 42.

BC tabanı üzerinde ortak olan ve tepesi d doğrusu üzerinde kayan üç üçgen. Taban ve yükseklik aynı olduğundan alanları eşit
Aynı taban, aynı yükseklik · İzlek

Aynı taban, aynı yükseklik. Tabanı ortak olan ve tepeleri tabana paralel bir doğru üzerinde bulunan üçgenlerin alanları eşittir. Şekildeki üç üçgenin alanı eşittir.

Dik üçgende dik kenarlar birbirinin yüksekliği olduğundan A=b⋅c2A = \dfrac{b \cdot c}{2}. Eşkenar üçgende kenar aa ise A=a234A = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}. Örnek. Kenarı 6 olan eşkenar üçgenin alanı 3634=93\dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}.

2. İki kenar ve aradaki açı

İki kenarı aa ve bb, aralarındaki açı α\alpha olan üçgenin alanı

A=12⋅a⋅b⋅sin⁡αA = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\alpha

Açı 30° 45° 60° 90°
sin⁡\sin 12\dfrac{1}{2} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 1

Örnek. Kenarları 8 ve 10, aralarındaki açı 30° olan üçgenin alanı 12⋅8⋅10⋅12=20\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 20. Açı 60° olsaydı alan 12⋅80⋅32=203\dfrac{1}{2} \cdot 80 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} olurdu. Açı 90° ise formül dik üçgen alanına döner.

3. Heron formülü ve iç teğet çember

Üç kenarı aa, bb, cc ve yarı çevresi u=a+b+c2u = \dfrac{a + b + c}{2} olan üçgende

A=u (u−a)(u−b)(u−c)A = \sqrt{u\,(u - a)(u - b)(u - c)}

Örnek. Kenarları 13, 14, 15 olan üçgende u=21u = 21 ve A=21⋅8⋅7⋅6=7056=84A = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84.

İç teğet çember. Çemberin yarıçapı rr ise A=u⋅rA = u \cdot r. Yukarıdaki üçgende 84=21⋅r84 = 21 \cdot r olduğundan r=4r = 4.

4. Alan oranları

Durum Alan oranı
Yükseklikleri eşit Tabanlarının oranı
Tabanları eşit Yüksekliklerinin oranı
Bir açıları ortak ya da bütünler Bu açıyı oluşturan kenarların çarpımlarının oranı
Benzer üçgenler Benzerlik oranının karesi

Yükseklik ortaksa. ABC üçgeninde D, [BC] üzerinde bir nokta ise ABD ve ADC üçgenlerinin yüksekliği ortaktır (A'dan BC'ye inen yükseklik). A(ABD)A(ADC)=∣BD∣∣DC∣\dfrac{A(ABD)}{A(ADC)} = \dfrac{\lvert BD \rvert}{\lvert DC \rvert}. Örnek. ∣BD∣:∣DC∣=2:3\lvert BD \rvert : \lvert DC \rvert = 2 : 3 ve A(ABC)=50A(ABC) = 50 ise A(ABD)=20A(ABD) = 20, A(ADC)=30A(ADC) = 30.

Açı ortaksa. D, [AB] üzerinde, E, [AC] üzerinde ise ADE ve ABC üçgenlerinin A açısı ortaktır:

A(ADE)A(ABC)=∣AD∣⋅∣AE∣∣AB∣⋅∣AC∣\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \frac{\lvert AD \rvert \cdot \lvert AE \rvert}{\lvert AB \rvert \cdot \lvert AC \rvert}

Örnek. ∣AB∣=5\lvert AB \rvert = 5, ∣AC∣=6\lvert AC \rvert = 6, ∣AD∣=2\lvert AD \rvert = 2, ∣AE∣=3\lvert AE \rvert = 3 ve A(ABC)=60A(ABC) = 60 ise A(ADE)=60⋅630=12A(ADE) = 60 \cdot \dfrac{6}{30} = 12.

5. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Temel formül 12⋅a⋅ha\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a
Sinüslü 12absin⁡α\dfrac{1}{2} ab \sin\alpha
Heron u(u−a)(u−b)(u−c)\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}
Teğet çember A=u⋅rA = u \cdot r
Eşkenar a234\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}
Ortak yükseklik Alan oranı taban oranı
Ortak açı Alan oranı kenar çarpımları oranı

Mini test

Soru 1

Kenar uzunlukları 17 cm, 25 cm ve 26 cm olan üçgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A102
  2. B204
  3. C205
  4. D408
  5. E41616
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. Yarı çevre u=17+25+262=34u = \dfrac{17 + 25 + 26}{2} = 34.
  2. A=34⋅17⋅9⋅8=41616=204A = \sqrt{34 \cdot 17 \cdot 9 \cdot 8} = \sqrt{41616} = 204. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: 102 Heron sonucu 2 ye bölünmüş / 205 işlem hatasıyla bir fazla bulunmuş / 408 Heron sonucu 2 ile çarpılmış / 41616 karekök alınmamış.

Soru 2

Bir ABC üçgeninde ∣AB∣=12\lvert AB \rvert = 12 cm, ∣AC∣=20\lvert AC \rvert = 20 cm ve m(BAC^)=30°m(\widehat{BAC}) = 30° olduğuna göre üçgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A15
  2. B30
  3. C60
  4. D60360\sqrt{3}
  5. E120
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. A=12⋅∣AB∣⋅∣AC∣⋅sin⁡30°A = \dfrac{1}{2} \cdot \lvert AB \rvert \cdot \lvert AC \rvert \cdot \sin 30°.
  2. A=12⋅12⋅20⋅12=60A = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 \cdot \dfrac{1}{2} = 60. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 15 çarpım dört kez yarıya bölünmüş / 30 çarpım üç kez yarıya bölünmüş / 60360\sqrt{3} sin⁡60°\sin 60° alınmış / 120 sin⁡30°\sin 30° yerine 1 alınmış.

Soru 3

ABC üçgeninde D noktası [BC] üzerindedir. ∣BD∣=3\lvert BD \rvert = 3 cm, ∣DC∣=7\lvert DC \rvert = 7 cm ve A(ABD)=18A(ABD) = 18 cm2\text{cm}^2 olduğuna göre A(ADC)A(ADC) kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A18
  2. B42
  3. C54
  4. D60
  5. E126
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. ABD ve ADC üçgenlerinin A'dan inen yüksekliği ortaktır, alanlar taban oranındadır.
  2. A(ABD)A(ADC)=37\dfrac{A(ABD)}{A(ADC)} = \dfrac{3}{7} ise A(ADC)=18⋅73=42A(ADC) = 18 \cdot \dfrac{7}{3} = 42. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: 18 verilen alan alınmış / 54 18⋅318 \cdot 3 hesaplanmış / 60 ABC üçgeninin alanı alınmış / 126 18⋅718 \cdot 7 hesaplanmış.

Soru 4

ABC üçgeninde D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir. ∣AD∣=4\lvert AD \rvert = 4 cm, ∣DB∣=2\lvert DB \rvert = 2 cm, ∣AE∣=3\lvert AE \rvert = 3 cm, ∣EC∣=6\lvert EC \rvert = 6 cm ve A(ABC)=90A(ABC) = 90 cm2\text{cm}^2 olduğuna göre A(ADE)A(ADE) kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A20
  2. B30
  3. C45
  4. D60
  5. E90
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. ∣AB∣=4+2=6\lvert AB \rvert = 4 + 2 = 6 ve ∣AC∣=3+6=9\lvert AC \rvert = 3 + 6 = 9.
  2. A açısı ortak: A(ADE)A(ABC)=4⋅36⋅9=29\dfrac{A(ADE)}{A(ABC)} = \dfrac{4 \cdot 3}{6 \cdot 9} = \dfrac{2}{9}.
  3. A(ADE)=90⋅29=20A(ADE) = 90 \cdot \dfrac{2}{9} = 20 cm2\text{cm}^2. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 30 yalnızca ∣AE∣∣AC∣\dfrac{\lvert AE \rvert}{\lvert AC \rvert} oranı alınmış / 45 iki oranın ortalaması alınmış / 60 yalnızca ∣AD∣∣AB∣\dfrac{\lvert AD \rvert}{\lvert AB \rvert} oranı alınmış / 90 iki oranın toplamı alınmış.

Kendini dene

Kendini dene

Dik kenarları 6 ve 8 olan üçgenin alanı kaçtır?

6⋅82=24\dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24.

Kenarları 10 ve 14, aralarındaki açı 30° olan üçgenin alanı kaçtır?

12⋅10⋅14⋅12=35\dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 14 \cdot \dfrac{1}{2} = 35.

Kenarları 5, 5 ve 6 olan üçgenin alanı kaçtır?

u=8u = 8 ve A=8⋅3⋅3⋅2=12A = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = 12.

D, [BC] üzerinde ve ∣BD∣=2⋅∣DC∣\lvert BD \rvert = 2 \cdot \lvert DC \rvert iken A(ABC)=30A(ABC) = 30 ise A(ADC)A(ADC) kaçtır?

303=10\dfrac{30}{3} = 10.

Çevresi 24 ve iç teğet çember yarıçapı 3 olan üçgenin alanı kaçtır?

u=12u = 12, A=12⋅3=36A = 12 \cdot 3 = 36.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Temel Matematik dersinin diğer konuları