Üçgende Benzerlik konu anlatımı · TYT Temel Matematik

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir ağacın boyunu, ağaca çıkmadan, gölgesinden hesaplayabilirsin. Haritadaki 1 cm gerçekte kaç metredir, fotoğrafı büyütünce neden oranlar bozulmaz? Hepsinin arkasında benzerlik vardır: Şekil aynı kalır, ölçü değişir. TYT geometride benzerlik, "bir üçgenin içinde paralel çizgi görürsen" başlayan bir düşünce biçimidir. Bu konuda benzerlik koşullarını, temel orantı teoremini, Thales teoremini ve alan oranlarını öğreneceksin.

Hedefler

İki üçgenin benzerliğini AA, KAK ve KKK koşullarıyla belirlemek.
Benzerlik oranını kullanarak kenar, çevre ve yükseklik hesaplamak.
Temel orantı teoremini ve Thales teoremini uygulamak.
Benzer şekillerde alan oranının benzerlik oranının karesi olduğunu kullanmak.
Yamukta köşegenlerin oluşturduğu benzer üçgenleri bulmak.

Üçgende Benzerlik · tonguç AKADEMİ

Üçgende Benzerlik · MathBurger

1. Benzer üçgenler

Karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir. ABC üçgeni DEF üçgenine benzerse $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ yazılır ve

$\frac{\lvert AB \rvert}{\lvert DE \rvert} = \frac{\lvert BC \rvert}{\lvert EF \rvert} = \frac{\lvert AC \rvert}{\lvert DF \rvert} = k$

$k$ sayısına benzerlik oranı denir. Benzerlik yazımında köşelerin sırası eşleşen köşeleri gösterir.

Benzerlik koşulları:

Koşul	Anlamı
AA (açı, açı)	İki açı eşitse üçgenler benzerdir
KAK (kenar, açı, kenar)	İki kenar orantılı ve aralarındaki açı eşitse benzerdir
KKK (kenar, kenar, kenar)	Üç kenar orantılıysa benzerdir

Örnek. Bir üçgenin iki açısı 50° ve 60°, diğerinin iki açısı 60° ve 70° ise ilkinin üçüncü açısı $180° - 110° = 70°$ 'dir. Açılar ikisinde de 50°, 60°, 70° olduğundan üçgenler benzerdir.

2. Benzerlik oranı ve ölçüler

Benzerlik oranı $k$ olan iki şekilde:

Ölçü	Oran
Kenar, yükseklik, kenarortay, açıortay	$k$
Çevre	$k$
Alan	$k^2$
Hacim	$k^3$

Örnek. Benzerlik oranı $\dfrac{3}{5}$ olan iki üçgenden büyüğünün alanı 100 ise küçüğünün alanı $100 \cdot \dfrac{9}{25} = 36$ .

Gölge problemi. Gün ışığında boyu 1,8 m olan bir kişinin gölgesi 2,4 m iken yanındaki ağacın gölgesi 12 m ise ağacın boyu, benzer dik üçgenlerden $\dfrac{1{,}8}{2{,}4} = \dfrac{h}{12}$ ile $h = 9$ m bulunur.

Oranı değiştir

Benzerlik oranını değiştir. Kenarlar $k$ katına çıkarken alan $k^2$ katına çıkar.

3. Temel orantı teoremi

Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı böler ve kesilen küçük üçgen büyüğe benzer olur.

ABC üçgeninde DE doğrusu BC kenarına paralel. AD bölü AB, AE bölü AC ve DE bölü BC birbirine eşit — Temel orantı teoremi · İzlek

$[DE] \parallel [BC] \Rightarrow \frac{\lvert AD \rvert}{\lvert AB \rvert} = \frac{\lvert AE \rvert}{\lvert AC \rvert} = \frac{\lvert DE \rvert}{\lvert BC \rvert}, \qquad \frac{\lvert AD \rvert}{\lvert DB \rvert} = \frac{\lvert AE \rvert}{\lvert EC \rvert}$

Örnek. $\lvert AD \rvert = 4$ , $\lvert DB \rvert = 2$ ve $\lvert BC \rvert = 15$ ise $\lvert AB \rvert = 6$ ve $\lvert DE \rvert = 15 \cdot \dfrac{4}{6} = 10$ .

4. Thales teoremi

Paralel doğrular, kendilerini kesen doğrular üzerinde orantılı parçalar ayırır.

Üç paralel doğru iki kesen doğruyu kesiyor. Birinci kesende m ve n, ikinci kesende p ve q parçaları oluşuyor. m bölü n, p bölü q — Thales teoremi · İzlek

Örnek. Bir kesen üzerinde $\lvert AB \rvert = 3$ , $\lvert BC \rvert = 5$ , diğer kesen üzerinde $\lvert DE \rvert = 6$ ise $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{\lvert EF \rvert}$ ve $\lvert EF \rvert = 10$ .

5. Yamukta benzerlik

ABCD yamuğunda $[AB] \parallel [CD]$ ve köşegenler E noktasında kesişiyorsa ABE ve CDE üçgenleri benzerdir (ters açılar eşit). Bu durumda

$\frac{\lvert AE \rvert}{\lvert EC \rvert} = \frac{\lvert BE \rvert}{\lvert ED \rvert} = \frac{\lvert AB \rvert}{\lvert CD \rvert}$

6. Konuyu toparla

Başlık	Kısa not
Koşullar	AA, KAK, KKK
Kenar, çevre	$k$
Alan	$k^2$
Temel orantı	Paralel $\Rightarrow$ orantılı kenarlar
Thales	Paraleller kesenlerde orantı
Yamuk	Köşegenler tabanlar oranında bölünür

Mini test

Soru 1

ABC üçgeninde D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir ve $[DE] \parallel [BC]$ 'dir. $\lvert AD \rvert = 6$ cm, $\lvert DB \rvert = 3$ cm ve $\lvert DE \rvert = 8$ cm olduğuna göre $\lvert BC \rvert$ kaç cm'dir?

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

$[DE] \parallel [BC]$ olduğundan ADE ve ABC üçgenleri benzerdir.
$\lvert AB \rvert = 6 + 3 = 9$ cm.
$\dfrac{\lvert AD \rvert}{\lvert AB \rvert} = \dfrac{\lvert DE \rvert}{\lvert BC \rvert}$ ise $\dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{\lvert BC \rvert}$ ve $\lvert BC \rvert = 12$ cm. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: 4 oran ters kurulmuş / 10 işlem hatasıyla iki eksik bulunmuş / 11 işlem hatasıyla bir eksik bulunmuş / 16 $\dfrac{\lvert AD \rvert}{\lvert DB \rvert}$ oranı kullanılmış.

Soru 2

$d_1 \parallel d_2 \parallel d_3$ olmak üzere bu doğruları kesen iki doğrudan birincisi $d_1$ , $d_2$ , $d_3$ doğrularını sırasıyla A, B, C noktalarında, ikincisi D, E, F noktalarında kesiyor. $\lvert AB \rvert = 4$ cm, $\lvert BC \rvert = 6$ cm ve $\lvert DF \rvert = 25$ cm olduğuna göre $\lvert DE \rvert$ kaç cm'dir?

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

Thales teoremi: $\dfrac{\lvert DE \rvert}{\lvert EF \rvert} = \dfrac{\lvert AB \rvert}{\lvert BC \rvert} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ .
$\lvert DE \rvert = 2k$ , $\lvert EF \rvert = 3k$ ve $5k = 25$ ise $k = 5$ .
$\lvert DE \rvert = 10$ cm. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 15 $\lvert EF \rvert$ bulunmuş / 19 $\lvert DF \rvert$ den $\lvert BC \rvert$ çıkarılmış / 21 $\lvert DF \rvert$ den $\lvert AB \rvert$ çıkarılmış / 25 $\lvert DF \rvert$ alınmış.

Soru 3

Benzer iki üçgenden ABC üçgeninin alanı 32 $\text{cm}^2$ 'dir. ABC üçgeninin $[AB]$ kenarı 6 cm, bu kenara karşılık gelen DEF üçgeninin $[DE]$ kenarı 9 cm olduğuna göre DEF üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

A48
B64
C71
D72
E108

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

Benzerlik oranı $\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$ .
Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: $\dfrac{9}{4}$ .
$A(DEF) = 32 \cdot \dfrac{9}{4} = 72$ $\text{cm}^2$ . Doğru cevap D.

Diğer şıklar: 48 alan oranı yerine benzerlik oranı kullanılmış / 64 alan 2 ile çarpılmış / 71 işlem hatasıyla bir eksik bulunmuş / 108 benzerlik oranının küpü kullanılmış.

Soru 4

ABCD yamuğunda $[AB] \parallel [CD]$ , $\lvert AB \rvert = 6$ cm ve $\lvert CD \rvert = 9$ cm'dir. Köşegenler E noktasında kesişiyor ve $\lvert AE \rvert = 4$ cm olduğuna göre $\lvert AC \rvert$ kaç cm'dir?

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

ABE ve CDE üçgenleri benzerdir (ters açılar eşit).
$\dfrac{\lvert AE \rvert}{\lvert EC \rvert} = \dfrac{\lvert AB \rvert}{\lvert CD \rvert} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ ise $\lvert EC \rvert = 6$ cm.
$\lvert AC \rvert = 4 + 6 = 10$ cm. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 6 $\lvert EC \rvert$ bulunmuş / 8 $\lvert AE \rvert$ nin iki katı alınmış / 13 $\lvert AE \rvert$ ile $\lvert CD \rvert$ toplanmış / 15 iki tabanın toplamı alınmış.

Kendini dene

Benzerlik oranı

\dfrac{2}{3}

olan iki üçgenden küçüğünün çevresi 20 ise büyüğünün çevresi kaçtır?

$20 \cdot \dfrac{3}{2} = 30$ .

[DE] \parallel [BC]

\lvert AD \rvert = 3

\lvert AB \rvert = 9

\lvert DE \rvert = 4

ise

\lvert BC \rvert

kaçtır?

$\dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{\lvert BC \rvert}$ ise $\lvert BC \rvert = 12$ .

Benzer iki üçgenin alanları 9 ve 25 ise benzerlik oranı kaçtır?

Alan oranı $\dfrac{9}{25} = k^2$ ise $k = \dfrac{3}{5}$ .

Boyu 1 m olan bir çubuğun gölgesi 1,5 m iken bir direğin gölgesi 9 m ise direğin boyu kaç metredir?

$\dfrac{h}{9} = \dfrac{1}{1{,}5}$ ise $h = 6$ .

d_1 \parallel d_2 \parallel d_3

ve bir kesen üzerinde parçalar 4 ve 6, diğer kesen üzerinde ilk parça 10 ise ikinci parça kaçtır?

$\dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{x}$ ise $x = 15$ .

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Üçgende Benzerlik

Bu konuda ne öğreneceksin

Hedefler

1. Benzer üçgenler

2. Benzerlik oranı ve ölçüler

Oranı değiştir

3. Temel orantı teoremi

4. Thales teoremi

5. Yamukta benzerlik

6. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Kendini dene

Temel Matematik dersinin diğer konuları