Yolumnet

TYT · Temel Matematik

Analitik Geometri

Yaklaşık 14 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-11-13

Bu konuda ne öğreneceksin

Telefondaki harita iki konum arasındaki mesafeyi, yolun eğimini ve hedefe en kısa yolu hesaplar. Bunun arkasında her konumun bir koordinat çifti olması ve geometrinin sayılarla yapılabilmesi vardır. Analitik geometri, şekilleri çizmek yerine nokta ve denklemlerle çözmektir. TYT'de bu konunun soruları dört araca dayanır: İki nokta arası uzaklık, orta nokta, eğim ve doğru denklemi.

Hedefler

  1. Koordinat düzleminde noktaları yerleştirmek ve iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak.
  2. Orta nokta ve üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplamak.
  3. İki noktadan geçen doğrunun eğimini ve denklemini bulmak.
  4. Paralel ve dik doğruların eğim ilişkilerini kullanmak.
  5. Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak ve alan hesaplamak.
Analitik Geometri · MathBurger

1. İki nokta arasındaki uzaklık ve orta nokta

Koordinat düzleminde A(x1,y1)A(x_1, y_1) ve B(x2,y2)B(x_2, y_2) noktaları verilsin. Yatay uzaklık ∣x2−x1∣\lvert x_2 - x_1 \rvert, dikey uzaklık ∣y2−y1∣\lvert y_2 - y_1 \rvert olan dik üçgenin hipotenüsü ∣AB∣\lvert AB \rvert'dir:

∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2\lvert AB \rvert = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Koordinat düzleminde A(1, 2) ve B(7, 10) noktaları. Yatay uzaklık 6, dikey uzaklık 8, AB uzunluğu 10 ve orta nokta M(4, 6)
İki nokta arası uzaklık · İzlek

Orta nokta. [AB][AB]'nin orta noktası MM ise

M(x1+x22,y1+y22)M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Örnek. A(1,2)A(1, 2) ve B(7,10)B(7, 10) için ∣AB∣=36+64=10\lvert AB \rvert = \sqrt{36 + 64} = 10 ve M(4,6)M(4, 6). A(2,−1)A(2, -1) ve B(5,3)B(5, 3) için ∣AB∣=9+16=5\lvert AB \rvert = \sqrt{9 + 16} = 5.

Ağırlık merkezi. Köşeleri A(x1,y1)A(x_1, y_1), B(x2,y2)B(x_2, y_2), C(x3,y3)C(x_3, y_3) olan üçgenin ağırlık merkezi

G(x1+x2+x33,y1+y2+y33)G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)

Örnek. A(1,2)A(1, 2), B(7,10)B(7, 10), C(4,−3)C(4, -3) için G(123,93)=G(4,3)G\left(\dfrac{12}{3}, \dfrac{9}{3}\right) = G(4, 3).

2. Eğim ve doğru denklemi

Eğim. Doğru, xx ekseninin pozitif yönüyle α\alpha açısı yapıyorsa eğimi m=tan⁡αm = \tan\alpha'dır. A(x1,y1)A(x_1, y_1) ve B(x2,y2)B(x_2, y_2) noktalarından geçen doğrunun eğimi

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Örnek. A(1,2)A(1, 2) ve B(7,10)B(7, 10) için m=86=43m = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}.

Eğim Doğrunun durumu
m>0m > 0 Sağa doğru yükselir
m<0m < 0 Sağa doğru alçalır
m=0m = 0 xx eksenine paralel (y=sabity = \text{sabit})
Tanımsız yy eksenine paralel (x=sabitx = \text{sabit})

Doğru denklemi. Eğimi mm, yy eksenini (0,n)(0, n) noktasında kesen doğrunun denklemi y=mx+ny = mx + n'dir. Eğimi mm ve (x1,y1)(x_1, y_1) noktasından geçen doğrunun denklemi y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)'dir.

Örnek. A(1,2)A(1, 2) ve B(3,8)B(3, 8) noktalarından geçen doğru için m=62=3m = \dfrac{6}{2} = 3 ve y−2=3(x−1)y - 2 = 3(x - 1), yani y=3x−1y = 3x - 1. Kontrol: x=3x = 3 için y=8y = 8.

Genel biçim. ax+by+c=0ax + by + c = 0 doğrusunda eğim m=−abm = -\dfrac{a}{b} ve eksenleri kesen noktalar x=−cax = -\dfrac{c}{a}, y=−cby = -\dfrac{c}{b}'dir. Bu nedenle bir doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak için y=0y = 0 ve x=0x = 0 yazılır.

Eğimi gör

Aşağıdaki çizimde eğimi ve yy eksenini kestiği noktayı değiştir. Eğim büyüdükçe doğru dikleşir, negatif olunca alçalır.

3. Paralel ve dik doğrular

Durum Eğim ilişkisi
Paralel doğrular m1=m2m_1 = m_2
Dik doğrular m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

Örnek. y=2x+1y = 2x + 1 doğrusuna paralel doğruların eğimi 2'dir. Dik doğruların eğimi −12-\dfrac{1}{2}'dir. 2x−y+5=02x - y + 5 = 0 doğrusu y=2x+5y = 2x + 5 biçimine gelir ve eğimi 2 olduğundan y=2x+1y = 2x + 1 ile paraleldir.

Eksenlerle üçgen. 3x+4y=123x + 4y = 12 doğrusu eksenleri (4,0)(4, 0) ve (0,3)(0, 3) noktalarında keser. Eksenlerle oluşan dik üçgenin dik kenarları 4 ve 3, alanı 4⋅32=6\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6'dır.

4. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Uzaklık (Δx)2+(Δy)2\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}
Orta nokta Koordinatların ortalaması
Ağırlık merkezi Üç koordinatın ortalaması
Eğim ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}
Doğru denklemi y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)
Paralel m1=m2m_1 = m_2
Dik m1m2=−1m_1 m_2 = -1

Mini test

Soru 1

Analitik düzlemde A(−3,−2)A(-3, -2) ve B(2,10)B(2, 10) noktaları veriliyor. ∣AB∣\lvert AB \rvert uzunluğu kaç birimdir?

  1. A13
  2. B14
  3. C17
  4. D60
  5. E169
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. Yatay uzaklık 2−(−3)=52 - (-3) = 5, dikey uzaklık 10−(−2)=1210 - (-2) = 12.
  2. ∣AB∣=52+122=169=13\lvert AB \rvert = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13 birim. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 14 işlem hatasıyla bir fazla bulunmuş / 17 yatay ve dikey uzaklıklar toplanmış / 60 yatay ve dikey uzaklıklar çarpılmış / 169 karekök alınmamış.

Soru 2

Analitik düzlemde A(−1,5)A(-1, 5) ve B(3,−3)B(3, -3) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

  1. A-4
  2. B-2
  3. C−12-\dfrac{1}{2}
  4. D12\dfrac{1}{2}
  5. E2
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. m=y2−y1x2−x1=−3−53−(−1)m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{-3 - 5}{3 - (-1)}.
  2. m=−84=−2m = \dfrac{-8}{4} = -2. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: -4 xx koordinatlarının farkı yarıya bölünmüş / −12-\dfrac{1}{2} pay ile payda yer değiştirmiş / 12\dfrac{1}{2} pay ile payda yer değiştirip işaret hatası yapılmış / 2 işaret hatası yapılmış.

Soru 3

y=3x−5y = 3x - 5 doğrusuna dik olan ve A(6,1)A(6, 1) noktasından geçen doğrunun yy eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A(0,1)(0, 1)
  2. B(0,2)(0, 2)
  3. C(0,−1)(0, -1)
  4. D(0,−17)(0, -17)
  5. E(0,3)(0, 3)
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. Dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1 olduğundan m=−13m = -\dfrac{1}{3}.
  2. y−1=−13(x−6)y - 1 = -\dfrac{1}{3}(x - 6) ise y=−x3+3y = -\dfrac{x}{3} + 3.
  3. x=0x = 0 için y=3y = 3. Kesim noktası (0,3)(0, 3). Doğru cevap E.

Diğer şıklar: (0,1)(0, 1) AA noktasının ordinatı alınmış / (0,2)(0, 2) denklemde y1y_1 eklemesi unutulmuş / (0,−1)(0, -1) eğim 13\dfrac{1}{3} alınmış / (0,−17)(0, -17) eğim 3 alınmış, doğru paralel sanılmış.

Soru 4

3x+4y−24=03x + 4y - 24 = 0 doğrusunun koordinat eksenleriyle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A10
  2. B12
  3. C14
  4. D23
  5. E24
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. y=0y = 0 için 3x=243x = 24 ve x=8x = 8. x=0x = 0 için 4y=244y = 24 ve y=6y = 6.
  2. Dik kenarları 8 ve 6 olan üçgenin alanı 8⋅62=24\dfrac{8 \cdot 6}{2} = 24. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: 10 hipotenüsün uzunluğu alınmış / 12 çarpım 4 e bölünmüş / 14 kesim noktalarının toplamı alınmış / 23 işlem hatasıyla bir eksik bulunmuş.

Kendini dene

Kendini dene

A(1,1)A(1, 1) ve B(4,5)B(4, 5) noktaları arasındaki uzaklık kaçtır?

9+16=5\sqrt{9 + 16} = 5.

A(−2,6)A(-2, 6) ve B(4,0)B(4, 0) noktalarının orta noktası nedir?

(1,3)(1, 3).

A(0,1)A(0, 1) ve B(2,7)B(2, 7) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

62=3\dfrac{6}{2} = 3.

Eğimi −2-2 olan ve (1,4)(1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

y−4=−2(x−1)y - 4 = -2(x - 1), yani y=−2x+6y = -2x + 6.

y=4x−3y = 4x - 3 doğrusuna dik olan bir doğrunun eğimi kaçtır?

−14-\dfrac{1}{4}.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Temel Matematik dersinin diğer konuları