Basit Harmonik Hareket

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir salıncağın gidip gelişi, bir yaya asılı cismin aşağı yukarı titreşmesi, bir gitar telinin titreşimi ya da duvar saatinin sarkacı aynı tür harekettir. Cisim bir denge noktasının iki yanında düzenli ve tekrarlı biçimde gidip gelir. Bu hareketin en temel hâline basit harmonik hareket (BHH) denir. Bu hareket yalnızca mekanikte değil, ses dalgalarında, ışıkta, alternatif akımda ve atomların titreşiminde de karşına çıkar. Bu konuda yay-kütle sistemini, basit sarkacı, konum-hız-ivme ilişkisini ve hareketteki enerji dönüşümünü öğreneceksin. Çembersel hareket ve enerji bilgin burada birleşiyor.

1. BHH nedir?

Bir cisim denge noktası etrafında, uzaklığı ile doğru orantılı ve denge noktasına doğru bir geri çağırıcı kuvvet etkisinde salınıyorsa hareketi basit harmoniktir:

$F=-k\,x$

• Genlik ($A$): Denge noktasından en büyük uzaklık.
• Periyot ($T$): Bir tam salınımın süresi.
• Frekans ($f$): Birim zamandaki salınım sayısı, $f=\dfrac1T$.
• Açısal frekans: $\omega=2\pi f=\dfrac{2\pi}{T}$.

Hareketin bir tam turunda yol $4A$'dır. Uç noktalar arası uzaklık $2A$.

2. Yay-kütle sistemi ve basit sarkaç

Yay-kütle: Yay sabiti $k$, kütle $m$ ise

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Periyot genliğe bağlı değildir, kütle ve yay sabitine bağlıdır. Yaya asılı kütle düşey salınıyorsa denge noktası, yayın ağırlık altında uzadığı konumdur. Periyot formülü yine aynıdır. Yay sabiti $k$ olan yayı yarıya kesersen her parçanın yay sabiti $2k$ olur.

Basit sarkaç: Uzunluğu $\ell$ olan hafif ip ve küçük kütle, küçük açılarda ($<10^\circ$) BHH yapar:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$

• Periyot kütleye ve genliğe bağlı değildir.
• Uzunluk arttıkça periyot artar. $g$ arttıkça periyot azalır.
• Ay'da ($g$ küçük) sarkaç daha yavaş salınır.

Örnek: $m=4\ \text{kg}$ ve $k=100\ \text{N/m}$ için $T=2\pi\sqrt{\dfrac{4}{100}}=0{,}4\pi\ \text{s}$.

Örnek: Periyodu $2\ \text{s}$ olan sarkacın ip boyu $4$ katına çıkarılır ve $g$ değeri $4$ katı olan bir yere götürülürse $T'=2\sqrt{\dfrac{4}{4}}=2\ \text{s}$ olur.

3. Konum, hız ve ivme

Denge noktasından geçerken zaman başlıyorsa konum $x=A\sin\omega t$ olur.

İlişkiler:

• $a=-\omega^2x$: İvme, konumla doğru orantılı ve zıt yönlü.
• $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}$.
• Hız ile konum $90^\circ$ faz farklıdır.
• Denge noktasında: $x=0$, $v=A\omega$ (en büyük), $a=0$.
• Uç noktada: $x=\pm A$, $v=0$, $\lvert a\rvert=A\omega^2$ (en büyük).

Örnek: $A=0{,}1\ \text{m}$ ve $T=0{,}2\pi\ \text{s}$ ise $\omega=\dfrac{2\pi}{0{,}2\pi}=10\ \text{rad/s}$. $v_{max}=A\omega=1\ \text{m/s}$ ve $a_{max}=A\omega^2=10\ \text{m/s}^2$.

4. BHH'de enerji

Sürtünme yoksa toplam mekanik enerji korunur:

$E=\tfrac12kA^2=\tfrac12mv_{max}^2$

Herhangi bir $x$ konumunda:

• Potansiyel enerji $E_p=\tfrac12kx^2$
• Kinetik enerji $E_k=\tfrac12k(A^2-x^2)$

Denge noktasında enerji tamamen kinetik, uç noktalarda tamamen potansiyeldir. Kinetik ve potansiyel enerji periyodun yarısı kadar sürede bir değişir.

Örnek: $k=200\ \text{N/m}$ ve $A=0{,}1\ \text{m}$ ise toplam enerji $\tfrac12\cdot200\cdot0{,}01=1\ \text{J}$. $x=0{,}05\ \text{m}$ konumunda $E_k=\tfrac12\cdot200\cdot(0{,}01-0{,}0025)=0{,}75\ \text{J}$.

5. Çembersel hareketle ilişki

Düzgün çembersel hareket yapan bir cismin bir çap üzerindeki izdüşümü BHH yapar. Çemberin yarıçapı genlik, çemberin açısal hızı BHH'nin açısal frekansıdır. Bu yüzden sinüs-kosinüs fonksiyonları bu hareketi tanımlar.

Sönümlü salınım: Gerçek sistemlerde sürtünme genliği zamanla azaltır. Periyot yaklaşık sabit kalır, enerji ısıya dönüşür. Zorlanmış salınım ve rezonans: Dışarıdan uygulanan kuvvetin frekansı doğal frekansa eşitse genlik çok büyür (köprülerin ve binaların depremde salınması, salıncağı doğru anda itmek).

6. Sık yapılan hatalar

• Denge noktasında ivmenin en büyük olduğunu sanmak. Orada ivme sıfırdır.
• Sarkaç periyodunun kütleye bağlı olduğunu düşünmek.
• Periyodun genliğe bağlı olduğunu sanmak. BHH'de bağlı değildir.
• Yay sarkacını yarıya kesince yay sabitinin yarıya indiğini sanmak. Artar, iki katı olur.

7. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.