Çembersel Hareket

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir dönme dolapta, virajı dönen bir otomobilde ya da bir çamaşır makinesinin tamburunda hep aynı şeyi yaşarsın: Cisim bir çember üzerinde hareket eder ve onu çemberde tutan bir merkeze doğru kuvvet vardır. Hızın büyüklüğü sabit kalsa bile hızın yönü sürekli değiştiği için bu hareketin ivmesi vardır. Bu konuda düzgün çembersel hareketi, periyot, frekans, açısal ve çizgisel hızı, merkezcil ivmeyi ve kuvveti, düşey ve yatay çemberlerdeki gerilmeyi ve kütle çekim ile Kepler yasalarını öğreneceksin. Newton'un yasaları ve vektör bilgin burada yeni bir durumda sınanıyor.

1. Düzgün çembersel hareket

Sabit büyüklükte hızla çember üzerinde yapılan harekete düzgün çembersel hareket denir.

• Periyot ($T$): Bir tam turun süresi (s).
• Frekans ($f$): Birim zamandaki tur sayısı (Hz), $f=\dfrac1T$.
• Çizgisel hız: $v=\dfrac{2\pi r}{T}=2\pi rf$. Yönü çembere teğettir ve sürekli değişir.
• Açısal hız: $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$ (rad/s). Aynı eksen etrafında dönen tüm noktalarda aynıdır.
• İlişki: $v=\omega r$.

Örnek: $r=2\ \text{m}$ ve $\omega=3\ \text{rad/s}$ ise $v=\omega r=6\ \text{m/s}$.

Aynı eksendeki noktalar: $\omega$ eşit, $v$ yarıçapla doğru orantılı. Aynı kayışla bağlı çarklar: Çizgisel hızlar eşit, açısal hızlar yarıçapla ters orantılıdır.

2. Merkezcil ivme ve kuvvet

Hızın yönü değiştiği için ivme vardır ve merkeze doğrudur:

$a_m=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2r$

Newton'un ikinci yasasına göre merkeze doğru net kuvvet:

$F_m=ma_m=\dfrac{mv^2}{r}=m\omega^2r$

Örnek: $r=2\ \text{m}$ ve $\omega=3\ \text{rad/s}$ için $a_m=\omega^2r=9\cdot2=18\ \text{m/s}^2$. $m=2\ \text{kg}$ ise $F_m=36\ \text{N}$.

Hız sabit, yarıçap değişirse: $F_m\propto\dfrac1r$. Yarıçap iki katına çıkarsa merkezcil kuvvet yarıya iner.

Kuvvet kesilirse: Cisim çembere teğet doğrultuda, sabit hızla düz gider. Merkezkaç diye gerçek bir kuvvet yoktur. Dönen sistemde hissedilen, eylemsizliğin sonucudur.

3. Yatay ve düşey çember

Yatay çember (örneğin bir ip ucunda döndürülen cisim, sürtünmesiz yatay düzlemde): Merkezcil kuvvet ipteki gerilmedir: $T=\dfrac{mv^2}{r}$.

Düşey çember (bir ip ucunda ya da bir yarıçaplı çukurda düşey düzlemde): Hız sabit değildir, yükseklik arttıkça azalır. En alt ve en üst noktada merkezcil denklem yazılır.

Örnek: $m=2\ \text{kg}$, $v=10\ \text{m/s}$ ve $r=5\ \text{m}$ için $\dfrac{mv^2}{r}=40\ \text{N}$. En üst noktada $T=40-20=20\ \text{N}$, en alt noktada $T=40+20=60\ \text{N}$ olur. En alt noktada gerilme en büyüktür.

En üst noktada ip gevşemeden dönme: $T\ge0$ olmalı. Kritik durumda $T=0$ ve $mg=\dfrac{mv^2}{r}$, yani $v_{min}=\sqrt{gr}$.

Virajlar: Yatay yolda araç virajı dönerken merkezcil kuvveti sürtünme sağlar: $f_s\ge\dfrac{mv^2}{r}$. Hız çok yüksekse araç savrulur. Eğimli yollarda ($\theta$ açısı) normal kuvvetin yatay bileşeni de merkezcil kuvvete katkı yapar: $\tan\theta=\dfrac{v^2}{rg}$ (sürtünmesiz).

4. Kütle çekim ve Kepler yasaları

Evrensel kütle çekim yasası: Kütleleri $m_1$ ve $m_2$ olan cisimler arasındaki çekim kuvveti

$F=G\dfrac{m_1m_2}{d^2},\qquad G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$

Yüzeyde $g=\dfrac{GM}{R^2}$. Yükseldikçe $g$ azalır: $g\propto\dfrac1{d^2}$.

Uydu hareketi: Uydu, çekim kuvvetinin merkezcil kuvvet olduğu düzgün çembersel hareket yapar: $\dfrac{GMm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}$ ve $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$. Yörünge yarıçapı büyüdükçe uydunun hızı azalır, periyodu artar. Uydu serbest düşmektedir, bu yüzden içindeki cisimler ağırlıksız görünür.

Kepler yasaları:

1. Yörüngeler yasası: Gezegenler, odaklarından birinde Güneş bulunan elips yörüngelerde döner.
2. Alanlar yasası: Güneş-gezegen doğrusu eşit sürelerde eşit alanlar tarar. Güneş'e yakınken gezegen daha hızlıdır.
3. Periyotlar yasası: $\dfrac{T^2}{r^3}=$ sabit.

Örnek: Bir gezegenin Güneş'e olan ortalama uzaklığı $4$ katına çıkarsa $T^2\propto r^3$ olduğundan $T\propto r^{3/2}=4^{3/2}=8$. Periyot 8 katına çıkar.

5. Sık yapılan hatalar

• Merkezkaç kuvvetini gerçek bir kuvvet sanmak.
• Düşey çemberde hızın sabit olduğunu varsaymak.
• En üst noktada gerilmenin $T-mg$ ile hesaplandığını sanmak. En üstte ağırlık da merkeze doğrudur, $T+mg$ yazılır.
• Kepler'in üçüncü yasasında $T\propto r$ yazmak. Doğrusu $T^2\propto r^3$.

6. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.