Yolumnet

TYT · Temel Matematik

Basit Eşitsizlikler

Yaklaşık 15 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-11-13

Bu konuda ne öğreneceksin

Eşitlik "bu sayı tam olarak şuna eşit" der. Eşitsizlik ise "bu sayı şu iki değer arasında bir yerde" der. Sınırlar, yaş aralıkları, kapasiteler, hız limitleri hep eşitsizliktir. TYT'de bu konu, aralıkları doğru yazmayı, aralıktaki tam sayıları saymayı ve iki aralığı işleme sokmayı sorar. En çok yapılan hata, negatif bir sayıyla işlem yapınca yönü değiştirmeyi unutmaktır.

Hedefler

  1. Eşitsizlikleri sayı doğrusunda ve aralık gösterimiyle ifade etmek.
  2. Eşitsizliklerde işlem özelliklerini, özellikle negatifle çarpmayı doğru kullanmak.
  3. Birinci dereceden eşitsizlikleri ve çift eşitsizlikleri çözmek.
  4. Verilen aralıktaki tam sayıları saymak.
  5. İki bilinmeyenin aralıklarından yeni bir ifadenin aralığını bulmak.
Basit Eşitsizlikler · Matematiğin Güler Yüzü
Basit Eşitsizlikler · Yaşar Hoca MathMan

1. Eşitsizlik, sayı doğrusu ve aralıklar

Eşitsizlik işaretleri <<, >>, ≤\leq, ≥\geq biçimindedir. Çözüm kümesi sayı doğrusunda bir aralık olarak gösterilir.

Sayı doğrusunda x büyüktür 3, x büyük eşit 3, x küçüktür 3 ve x küçük eşit 3 için boş ve dolu noktalarla gösterilen çözüm kümeleri
Açık ve kapalı uçlar · İzlek
Eşitsizlik Aralık gösterimi Anlamı
a<x<ba < x < b (a,b)(a, b) İki uç da dışarıda
a≤x≤ba \leq x \leq b [a,b][a, b] İki uç da içeride
a≤x<ba \leq x < b [a,b)[a, b) Sol uç içeride, sağ uç dışarıda
x>ax > a (a,∞)(a, \infty) aa dışarıda, sağa sonsuza
x≤bx \leq b (−∞,b](-\infty, b] bb içeride, sola sonsuza

Parantez ucun dışarıda, köşeli parantez ucun içeride olduğunu gösterir. Sonsuz sembolünün yanına her zaman yuvarlak parantez konur.

2. Eşitsizliklerin temel özellikleri

Bir eşitsizliğin iki tarafına aynı işlem yapıldığında sonucun yönünü bilmen gerekir.

İşlem Eşitsizlik yönü
İki tarafa aynı sayıyı ekle ya da çıkar Aynı kalır
Pozitif bir sayıyla çarp ya da böl Aynı kalır
Negatif bir sayıyla çarp ya da böl Ters döner

Örnek. −3x<12-3x < 12 eşitsizliğinde iki tarafı −3-3'e bölersen yön değişir: x>−4x > -4.

Küçük bir kontrol yap: x=0x = 0 için −3⋅0=0<12-3 \cdot 0 = 0 < 12 doğrudur. 0>−40 > -4 de doğrudur. Yön yanlış olsaydı çelişirdi.

Aynı yönlü iki eşitsizlik taraf tarafa toplanabilir. 2<x<52 < x < 5 ve 1<y<31 < y < 3 ise 3<x+y<83 < x + y < 8 olur. Çıkarma yoktur. x−yx - y için önce yy'yi −1-1 ile çarpıp yönü çevirirsin: −3<−y<−1-3 < -y < -1. Sonra toplarsın: 2−3<x−y<5−12 - 3 < x - y < 5 - 1 yani −1<x−y<4-1 < x - y < 4.

3. Birinci dereceden eşitsizlik

Denklem çözer gibi çöz, yalnız yön kuralına dikkat et.

Örnek. 5−2x≥115 - 2x \geq 11 eşitsizliğini çözelim.

−2x≥6⇒x≤−3-2x \geq 6 \Rightarrow x \leq -3

Çözüm kümesi (−∞,−3](-\infty, -3] olur.

Çift eşitsizlik

a<f(x)<ba < f(x) < b biçimindeki eşitsizliklerde işlemleri üç tarafa birden uygula.

Örnek. −4<2x−3≤9-4 < 2x - 3 \leq 9 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

  • Her tarafa 3 ekle: −1<2x≤12-1 < 2x \leq 12.
  • Her tarafı 2'ye böl: −12<x≤6-\dfrac{1}{2} < x \leq 6.
  • Bu aralıktaki tam sayılar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 olur. Toplam 7 tam sayı vardır.

Aralıkta kaç tam sayı olduğunu bulurken son−ilk+1\text{son} - \text{ilk} + 1 hesabını yap. Burada ilk tam sayı 0, son tam sayı 6'dır ve 6−0+1=76 - 0 + 1 = 7.

4. İki aralığı birleştirme

xx ve yy'nin aralığı biliniyorsa x+yx + y, x−yx - y ya da 2x−y2x - y gibi ifadelerin aralığı bulunur.

Örnek. 3<x<83 < x < 8 ve −2<y<5-2 < y < 5 ise 2x−y2x - y ifadesi hangi aralıktadır?

  • 3<x<83 < x < 8 için 6<2x<166 < 2x < 16.
  • −2<y<5-2 < y < 5 için tarafları −1-1 ile çarp: −5<−y<2-5 < -y < 2.
  • Taraf tarafa topla: 6−5<2x−y<16+26 - 5 < 2x - y < 16 + 2 yani 1<2x−y<181 < 2x - y < 18.

2x−y2x - y'nin tam sayı değerleri 2'den 17'ye kadardır ve 17−2+1=1617 - 2 + 1 = 16 tanedir. Uçlar dışarıda olduğundan 1 ve 18 sayılmaz.

5. Kareler ve terslerle ilgili sorular

Karelerde tek yönlü düşünmek yanıltır.

  • x>0x > 0 için xx büyüdükçe x2x^2 büyür.
  • x<0x < 0 için xx küçüldükçe x2x^2 büyür.
  • Aralık 0'ı içeriyorsa x2x^2'nin en küçük değeri 0 olur.

Örnek. −3<x<2-3 < x < 2 ise x2x^2 hangi aralıktadır? xx'in alabileceği en uzak değer −3-3 olduğundan (xx hiçbir zaman −3-3 olmaz) x2<9x^2 < 9. Aralık 0'ı içerdiğinden x2≥0x^2 \geq 0. Sonuç 0≤x2<90 \leq x^2 < 9.

Tam sayılar. −3<x≤4-3 < x \leq 4 ise tam sayı değerleri −2,−1,0,1,2,3,4-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. Karelerinin farklı değerleri 0, 1, 4, 9, 16'dır. Toplamları 30.

Terslerde. Pozitif sayılarda ters alınırsa yön değişir. 2<x<52 < x < 5 ise 15<1x<12\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2} olur. Aralıktaki sayıların hepsi aynı işaretliyse bu kural geçerlidir.

6. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
<,><, > Uç dışarıda, yuvarlak parantez
≤,≥\leq, \geq Uç içeride, köşeli parantez
Negatifle çarpma ya da bölme Yön değişir
İki eşitsizliği toplama Yönler aynıysa taraf tarafa topla
Çıkarma Önce −1-1 ile çarp, sonra topla
Kare Aralıkta 0 varsa en küçük değer 0
Pozitif sayılarda ters Yön değişir
Tam sayı sayısı son−ilk+1\text{son} - \text{ilk} + 1

Mini test

Soru 1

−5<4x−3≤17-5 < 4x - 3 \leq 17 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı xx değeri vardır?

  1. A4
  2. B5
  3. C6
  4. D7
  5. E8
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Her tarafa 3 eklenir: −2<4x≤20-2 < 4x \leq 20.
  2. Her taraf 4'e bölünür: −12<x≤5-\dfrac{1}{2} < x \leq 5.
  3. Tam sayılar 0, 1, 2, 3, 4, 5'tir. Toplam 6 tane olur. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 4 sınırlar yanlış çevrilmiş / 5 0 tam sayısı sayılmamış / 7 −1-1 de sayılmış / 8 iki uçtan birer fazla sayılmış.

Soru 2

2<x<62 < x < 6 ve −3<y<4-3 < y < 4 olduğuna göre 3x−2y3x - 2y ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?

  1. A23
  2. B24
  3. C25
  4. D26
  5. E27
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. 2<x<62 < x < 6 için 6<3x<186 < 3x < 18.
  2. −3<y<4-3 < y < 4 için −8<−2y<6-8 < -2y < 6.
  3. Taraf tarafa toplanır: −2<3x−2y<24-2 < 3x - 2y < 24.
  4. Uçlar dışarıda olduğundan tam sayılar −1-1'den 23'e kadardır. 23−(−1)+1=2523 - (-1) + 1 = 25. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 23 işlem hatasıyla iki eksik bulunmuş / 24 alt uçtaki −1-1 sayılmamış / 26 −2-2 de sayılmış / 27 iki uç da sayılmış.

Soru 3

xx bir tam sayı olmak üzere −3≤x≤5-3 \leq x \leq 5 olduğuna göre x2x^2 ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A9
  2. B30
  3. C54
  4. D55
  5. E69
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. Tam sayılar −3,−2,−1,0,1,2,3,4,5-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 olur.
  2. Kareleri 9,4,1,0,1,4,9,16,259, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25 olur.
  3. Farklı değerler 0,1,4,9,16,250, 1, 4, 9, 16, 25 ve toplamları 5555. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: 9 xx değerleri toplanmış / 30 x=5x = 5 alınmamış / 54 işlem hatasıyla bir eksik bulunmuş / 69 aynı değerler tekrar toplanmış.

Soru 4

−3<x<−1-3 < x < -1 olduğuna göre 1x\dfrac{1}{x} ifadesi aşağıdakilerden hangisinin aralığındadır?

  1. A−13<1x<−1-\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{x} < -1
  2. B−3<1x<−1-3 < \dfrac{1}{x} < -1
  3. C13<1x<1\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{x} < 1
  4. D−1≤1x≤−13-1 \leq \dfrac{1}{x} \leq -\dfrac{1}{3}
  5. E−1<1x<−13-1 < \dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{3}
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. xx negatif olduğundan ters alınınca da sonuç negatif kalır ve eşitsizlik yönü değişir.
  2. x=−3x = -3 için 1x=−13\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{3} ve x=−1x = -1 için 1x=−1\dfrac{1}{x} = -1. Uçlar dışarıdadır.
  3. −1<1x<−13-1 < \dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{3} olur. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: −13<1x<−1-\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{x} < -1 sınırların sırası değiştirilmemiş / −3<1x<−1-3 < \dfrac{1}{x} < -1 xx ile 1x\dfrac{1}{x} aynı aralıkta sanılmış / 13<1x<1\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{x} < 1 işaret unutulmuş / −1≤1x≤−13-1 \leq \dfrac{1}{x} \leq -\dfrac{1}{3} uçlar dahil edilmiş.

Kendini dene

Kendini dene

3x−5<73x - 5 < 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini yaz.

3x<123x < 12 ve x<4x < 4. Çözüm kümesi (−∞,4)(-\infty, 4).

−2x≤8-2x \leq 8 eşitsizliğini çöz.

−2-2'ye bölünce yön değişir: x≥−4x \geq -4.

−5<x≤3-5 < x \leq 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

−4,−3,…,3-4, -3, \ldots, 3 olduğundan 3−(−4)+1=83 - (-4) + 1 = 8 tam sayı.

1<x<41 < x < 4 ve 2<y<62 < y < 6 ise x+yx + y hangi aralıktadır?

3<x+y<103 < x + y < 10.

xx tam sayı ve −2≤x<5-2 \leq x < 5 ise x2x^2 en çok kaç olabilir?

Tam sayılar −2,−1,0,1,2,3,4-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. En büyük kare 42=164^2 = 16 olur.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Temel Matematik dersinin diğer konuları