Yolumnet

TYT · Temel Matematik

Mutlak Değer

Yaklaşık 14 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-11-13

Bu konuda ne öğreneceksin

Mutlak değer, bir sayının işaretini boş vermen demektir. Ama TYT'de asıl önemli olan, mutlak değeri uzaklık olarak görmektir. ∣x−3∣|x - 3| ifadesi "xx ile 3 arasındaki mesafe" demektir. Bu bakışla denklem ve eşitsizlikler sayı doğrusunda çizilince çözülür. Bu konuda tanımı, özellikleri, mutlak değerli denklem ve eşitsizlikleri ve iki mutlak değerin toplamıyla ilgili en küçük değer sorularını öğreneceksin.

Hedefler

  1. Mutlak değerin tanımını ve uzaklık anlamını kullanmak.
  2. Mutlak değerin temel özelliklerini uygulamak.
  3. ∣x−a∣=b|x - a| = b biçimindeki denklemleri sayı doğrusunda çözmek.
  4. ∣x∣<a|x| < a ve ∣x∣>a|x| > a eşitsizliklerini yazıp çözmek.
  5. ∣x−a∣+∣x−b∣|x - a| + |x - b| ifadesinin en küçük değerini bulmak.
Mutlak Değer · Matematiğin Güler Yüzü
Mutlak Değer · Yaşar Hoca MathMan

1. Tanım

Bir xx sayısının mutlak değeri, xx'in sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığıdır. Uzaklık negatif olamaz.

∣x∣={xx≥0 ise−xx<0 ise|x| = \begin{cases} x & x \geq 0 \text{ ise} \\ -x & x < 0 \text{ ise} \end{cases}

Örneğin ∣7∣=7|7| = 7 ve ∣−7∣=7|-7| = 7. Eksi işareti xx negatifken sayıyı pozitif yapar. Yani ∣x∣=−x|x| = -x yazıldığında −x-x pozitif bir sayıdır.

İki sayı arasındaki uzaklık ise mutlak değerle yazılır: ∣a−b∣|a - b|, aa ile bb arasındaki uzaklıktır. Örneğin ∣3−8∣=5|3 - 8| = 5.

2. Mutlak değerin özellikleri

Özellik Örnek
∣x∣≥0\lvert x \rvert \geq 0 ∣−4∣=4\lvert -4 \rvert = 4
∣−x∣=∣x∣\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert ∣−9∣=∣9∣\lvert -9 \rvert = \lvert 9 \rvert
∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣\lvert a \cdot b \rvert = \lvert a \rvert \cdot \lvert b \rvert ∣−2⋅6∣=2⋅6=12\lvert -2 \cdot 6 \rvert = 2 \cdot 6 = 12
∣ab∣=∣a∣∣b∣\left\lvert \dfrac{a}{b} \right\rvert = \dfrac{\lvert a \rvert}{\lvert b \rvert} ∣−34∣=34\left\lvert \dfrac{-3}{4} \right\rvert = \dfrac{3}{4}
∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣\lvert a + b \rvert \leq \lvert a \rvert + \lvert b \rvert ∣−3+5∣=2≤8\lvert -3 + 5 \rvert = 2 \leq 8
∣x∣2=x2\lvert x \rvert^2 = x^2 ∣−5∣2=25\lvert -5 \rvert^2 = 25

Mutlak değer toplama ve çıkarmaya dağılmaz. ∣a+b∣|a + b| ile ∣a∣+∣b∣|a| + |b| aynı değildir. Aynı işaretli sayılarda eşit, farklı işaretli sayılarda ∣a+b∣|a + b| daha küçüktür.

3. Mutlak değerli denklemler

∣x∣=a|x| = a ve ∣x−a∣=b|x - a| = b

  • ∣x∣=a|x| = a ve a>0a > 0 ise x=ax = a ya da x=−ax = -a. İki çözüm vardır.
  • ∣x∣=0|x| = 0 ise x=0x = 0.
  • ∣x∣=a|x| = a ve a<0a < 0 ise çözüm yoktur, çünkü uzaklık negatif olamaz.

∣x−3∣=5|x - 3| = 5 denklemi şu demektir: xx'in 3'e uzaklığı 5. Sayı doğrusunda 3'ün 5 sağı ve 5 solu: x=8x = 8 ya da x=−2x = -2.

Sayı doğrusunda 3 noktası merkez alınmış, 3'ün 5 birim solu eksi 2, 5 birim sağı 8 noktası
Sayı doğrusunda 3 noktası merkez alınmış, 3'ün 5 birim solu eksi 2, 5 birim sağı 8 noktası · x - 3

Çözüm kümesinin eleman toplamı 8+(−2)=68 + (-2) = 6 yani iki çözümün ortası (3) çarpı 2.

∣f(x)∣=∣g(x)∣|f(x)| = |g(x)|

İki mutlak değerin eşit olması için iç ifadeler ya eşit ya da birbirinin negatifidir: f(x)=g(x)f(x) = g(x) ya da f(x)=−g(x)f(x) = -g(x).

Örnek. ∣x+4∣=∣2x−1∣|x + 4| = |2x - 1| denklemini çözelim.

  • x+4=2x−1x + 4 = 2x - 1 ise x=5x = 5.
  • x+4=−(2x−1)=−2x+1x + 4 = -(2x - 1) = -2x + 1 ise 3x=−33x = -3 ve x=−1x = -1.

Dikkat: Denklemi gerçekten çözerek bulduğun iki değerin ikisini de denemelisin. x=5x = 5 için ∣9∣=∣9∣|9| = |9|. x=−1x = -1 için ∣3∣=∣−3∣|3| = |-3| doğru. İki çözüm de geçerlidir. Kümeler {−1,5}\{-1, 5\} olur.

4. Mutlak değerli eşitsizlikler

a>0a > 0 olmak üzere:

Eşitsizlik Çözüm Sayı doğrusunda
∣x∣<a\lvert x \rvert < a −a<x<a-a < x < a 0'a uzaklığı aa'dan küçük, tek aralık
∣x∣>a\lvert x \rvert > a x<−ax < -a ya da x>ax > a 0'a uzaklığı aa'dan büyük, iki ayrı parça
∣x∣≤a\lvert x \rvert \leq a −a≤x≤a-a \leq x \leq a uçlar dahil

Örnek. ∣2x−5∣≤9|2x - 5| \leq 9 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

−9≤2x−5≤9-9 \leq 2x - 5 \leq 9 olur. Her tarafa 5 ekle: −4≤2x≤14-4 \leq 2x \leq 14. 2'ye böl: −2≤x≤7-2 \leq x \leq 7. Tam sayılar −2,−1,…,7-2, -1, \ldots, 7 ve 7−(−2)+1=107 - (-2) + 1 = 10 tanedir.

Sayı doğrusunda gör

Merkezi, yarıçapı ve xx noktasını değiştirip çözüm aralığının nasıl oluştuğuna bak.

5. İki mutlak değerin toplamı

∣x−a∣+∣x−b∣|x - a| + |x - b| ifadesi, xx'in aa ve bb noktalarına uzaklıkları toplamıdır. xx bu iki noktanın arasında olduğunda toplam sabittir ve ∣a−b∣|a - b|'ye eşittir. Dışarıda olduğunda daha büyüktür.

Örnek. ∣x−2∣+∣x−7∣|x - 2| + |x - 7| ifadesi x=4x = 4 için 2+3=52 + 3 = 5, x=6x = 6 için 4+1=54 + 1 = 5 olur. Ama x=0x = 0 için 2+7=92 + 7 = 9.

  • En küçük değer ∣2−7∣=5|2 - 7| = 5 olur.
  • Bu değeri veren xx değerleri 2≤x≤72 \leq x \leq 7 aralığındadır. Tam sayı olarak 2, 3, 4, 5, 6, 7 yani 6 tane.

6. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
∣x∣\lvert x \rvert 0'a uzaklık
∣a−b∣\lvert a - b \rvert aa ile bb arası uzaklık
∣x∣=a\lvert x \rvert = a x=±ax = \pm a (a>0a > 0)
∣x∣<a\lvert x \rvert < a −a<x<a-a < x < a
∣x∣>a\lvert x \rvert > a x<−ax < -a ya da x>ax > a
∣f∣=∣g∣\lvert f \rvert = \lvert g \rvert f=gf = g ya da f=−gf = -g
∣x−a∣+∣x−b∣\lvert x - a \rvert + \lvert x - b \rvert En küçük değer ∣a−b∣\lvert a - b \rvert

Mini test

Soru 1

∣x+2∣=6|x + 2| = 6 denkleminin çözüm kümesindeki elemanların toplamı kaçtır?

  1. A-8
  2. B-4
  3. C-2
  4. D4
  5. E12
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. ∣x+2∣=6|x + 2| = 6 ise x+2=6x + 2 = 6 ya da x+2=−6x + 2 = -6 olur.
  2. Çözümler x=4x = 4 ve x=−8x = -8 dir.
  3. Toplam 4+(−8)=−44 + (-8) = -4 olur. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: -8 yalnızca negatif çözüm alınmış / -2 merkez olan −2-2 alınmış / 4 yalnızca pozitif çözüm alınmış / 12 iki çözümün farkı alınmış.

Soru 2

∣2x+3∣<9|2x + 3| < 9 eşitsizliğini sağlayan kaç tane xx tam sayısı vardır?

  1. A8
  2. B9
  3. C10
  4. D11
  5. E16
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. −9<2x+3<9-9 < 2x + 3 < 9 yazılır.
  2. Her taraftan 3 çıkarılır: −12<2x<6-12 < 2x < 6. 2'ye bölünür: −6<x<3-6 < x < 3.
  3. Tam sayılar −5,−4,…,2-5, -4, \ldots, 2 ve 2−(−5)+1=82 - (-5) + 1 = 8 tanedir. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 9 bir uç fazla sayılmış / 10 uçlar dahil edilmiş / 11 işlem hatasıyla üç fazla bulunmuş / 16 işlem hatasıyla iki katı bulunmuş.

Soru 3

∣x+2∣+∣x−5∣=7|x + 2| + |x - 5| = 7 eşitliğini sağlayan kaç tane xx tam sayısı vardır?

  1. A2
  2. B4
  3. C6
  4. D7
  5. E8
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. İfade, xx'in −2-2 ve 5 noktalarına uzaklıkları toplamıdır.
  2. ∣−2−5∣=7|-2 - 5| = 7 olduğundan en küçük değer 7'dir ve bu değer −2≤x≤5-2 \leq x \leq 5 için elde edilir.
  3. Tam sayılar −2,−1,0,1,2,3,4,5-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 olup toplam 8 tanedir. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: 2 yalnızca iki uç değeri alınmış / 4 işlem hatasıyla yarısı bulunmuş / 6 iki uç değer sayılmamış / 7 fark (∣−2−5∣|{-2} - 5|) sayı sanılmış.

Soru 4

a<ba < b, ∣a∣=3|a| = 3 ve ∣b∣=5|b| = 5 olduğuna göre a+ba + b toplamının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A-10
  2. B0
  3. C2
  4. D8
  5. E10
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. a=±3a = \pm 3 ve b=±5b = \pm 5 olabilir.
  2. a<ba < b koşulu: b=−5b = -5 ise aa (−3-3 ya da 3) bb'den büyük olur, bu yüzden b=−5b = -5 olamaz. Geriye b=5b = 5 kalır.
  3. a=−3a = -3 için a+b=2a + b = 2, a=3a = 3 için a+b=8a + b = 8.
  4. Değerlerin toplamı 2+8=102 + 8 = 10 olur. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: -10 işaret hatası yapılmış / 0 a<ba < b koşulu unutulmuş / 2 yalnızca bir durum bulunmuş / 8 yalnızca bir durum bulunmuş.

Kendini dene

Kendini dene

∣x−4∣=7|x - 4| = 7 denkleminin çözüm kümesini yaz.

x−4=7x - 4 = 7 ise x=11x = 11. x−4=−7x - 4 = -7 ise x=−3x = -3. Çözüm kümesi {−3,11}\{-3, 11\}.

∣−8∣+∣3∣−∣−2∣|{-8}| + |3| - |{-2}| işleminin sonucu kaçtır?

8+3−2=98 + 3 - 2 = 9.

∣x∣<3|x| < 3 eşitsizliğini sağlayan tam sayıları yaz.

−2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2.

∣x+1∣=−4|x + 1| = -4 denkleminin çözümü var mıdır?

Hayır. Mutlak değer negatif olamaz.

∣x−1∣+∣x+2∣|x - 1| + |x + 2| ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

Noktalar 1 ve −2-2. Aralarındaki uzaklık ∣1−(−2)∣=3|1 - (-2)| = 3 olduğundan en küçük değer 3.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Temel Matematik dersinin diğer konuları