Yolumnet

TYT · Temel Matematik

Köklü Sayılar

Yaklaşık 14 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-23

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir karenin alanı 50 cm² ise kenarı kaç cm'dir? Cevap 50\sqrt{50} ve bu sayıyı 525\sqrt{2} diye yazabilmek kök sorularının temelidir. TYT'de köklü sayılarda sadeleştirme, işlem, paydayı kökten kurtarma ve karşılaştırma sorulur. Bu konuda kök kurallarını, iç içe kökleri ve eşlenik kullanımını öğreneceksin.

Hedefler

  1. Karekökün tanımını ve x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| ilişkisini kullanmak.
  2. Köklü ifadeleri sadeleştirmek ve kök dışına çıkarmak.
  3. Köklü sayılarla dört işlemi yapmak.
  4. Paydayı eşlenikle kökten kurtarmak.
  5. Köklü sayıları karşılaştırmak ve iki tam sayı arasına yerleştirmek.
Köklü Sayılar · Matematiğin Güler Yüzü
Köklü Sayılar · MathBurger

1. Karekök

a≥0a \geq 0 için a\sqrt{a}, negatif olmayan ve karesi aa olan sayıdır. 49=7\sqrt{49} = 7 yazılır, −7-7 değil. Karekökün sonucu hiçbir zaman negatif olmaz.

Bir sayının karesinin kökü, sayının mutlak değeridir:

x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|

Örneğin (−5)2=25=5=∣−5∣\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|. xx'in işareti belli değilse x2=x\sqrt{x^2} = x yazmak yanlıştır.

2. Kök kuralları

a,b≥0a, b \geq 0 ve paydada kök varsa b>0b > 0 olmak üzere:

Kural Örnek
a⋅b=a⋅b\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} 3⋅12=36=6\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6
ab=ab\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} 483=16=4\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{16} = 4
ab=a2⋅ba\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} 23=122\sqrt{3} = \sqrt{12}
(a)2=a(\sqrt{a})^2 = a (7)2=7(\sqrt{7})^2 = 7

Toplama ve çıkarmada kök içleri toplanmaz. 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} ifadesi 5\sqrt{5} değildir ve 9+16=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7 iken 25=5\sqrt{25} = 5 olduğu bunu gösterir.

3. Sadeleştirme ve işlem

Kök dışına çıkarma: Kökün içini tam kare çarpanlara ayır.

72=36⋅2=6275=25⋅3=53\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \qquad \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}

Toplama ve çıkarma: Yalnızca kök içleri aynı olan terimler toplanıp çıkarılır. Önce her terimi sadeleştir.

Örnek. 50+18−8\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8} işlemini yapalım.

52+32−22=(5+3−2)2=625\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (5 + 3 - 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}

Çarpma ve bölme: Katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında işlenir. 23⋅35=6152\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{15}.

4. Paydayı kökten kurtarma

Payda kökten kurtarılmadan sonuç tamamlanmış sayılmaz.

Tek terimli payda: Pay ve paydayı paydadaki köke çarp.

63=633⋅3=633=23\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}

İki terimli payda: Paydanın eşleniği ile çarp. a+ba + \sqrt{b}'nin eşleniği a−ba - \sqrt{b}'dir. Çarpım iki kare farkı olur: (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2.

Örnek. 13−1+13+1\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + 1} toplamını bulalım.

13−1=3+1(3−1)(3+1)=3+1213+1=3−12\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} \qquad \dfrac{1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}

3+12+3−12=232=3\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} + \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

5. İç içe kökler

a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} biçiminde bir ifade, toplamları aa ve çarpımları bb olan iki sayı bulunursa tam kareye dönüşür:

(x+y)+2xy=x+y\sqrt{(x + y) + 2\sqrt{xy}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}

Örnek. 14−65\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} ifadesini sadeleştirelim. 65=2⋅35=2456\sqrt{5} = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 2\sqrt{45} olduğundan 14−24514 - 2\sqrt{45} yazılır. Toplamı 14, çarpımı 45 olan sayılar 9 ve 5'tir.

14−245=9−5=3−5\sqrt{14 - 2\sqrt{45}} = \sqrt{9} - \sqrt{5} = 3 - \sqrt{5}

Eksi işaretliyse büyük kökten küçüğü çıkarılır, çünkü karekök negatif olamaz. 3>53 > \sqrt{5} olduğundan sonuç pozitiftir.

6. Karşılaştırma ve tam kısım

Kökleri karşılaştırma: Kök içindeki sayı büyüdükçe kök büyür. 3<5<3<10\sqrt{3} < \sqrt{5} < 3 < \sqrt{10} gibi. Katsayılı ifadelerde katsayıyı kök içine al: 23=122\sqrt{3} = \sqrt{12} ve 32=183\sqrt{2} = \sqrt{18} olduğundan 23<322\sqrt{3} < 3\sqrt{2}.

İki tam sayı arasına yerleştirme: Kök içindeki sayıyı komşu iki tam karenin arasına al. 36<40<4936 < 40 < 49 olduğundan 6<40<76 < \sqrt{40} < 7.

Örnek. 45+55\sqrt{45} + \sqrt{55} toplamının tam kısmı kaçtır?

  • 36<45<4936 < 45 < 49 yani 6<45<76 < \sqrt{45} < 7. Daha dar: 6,72=44,896{,}7^2 = 44{,}89 ve 6,712=45,026{,}71^2 = 45{,}02 olduğundan 45≈6,708\sqrt{45} \approx 6{,}708.
  • 49<55<6449 < 55 < 64 yani 7<55<87 < \sqrt{55} < 8 ve 55≈7,416\sqrt{55} \approx 7{,}416.
  • Toplam yaklaşık 14,1214{,}12. Tam kısım 14.

7. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
x2\sqrt{x^2} ∣x∣\lvert x \rvert
Çarpma ve bölme Kök içleri çarpılır ve bölünür
Toplama ve çıkarma Yalnızca aynı kök içli terimler
Kök dışına çıkarma Tam kare çarpanlara ayır
Payda tek terim Köke çarp
Payda iki terim Eşleniğiyle çarp
(x+y)±2xy\sqrt{(x+y) \pm 2\sqrt{xy}} x±y\sqrt{x} \pm \sqrt{y}
Tam kısım Komşu tam karelere sıkıştır

Mini test

Soru 1

75+27−12\sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{12} işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A3103\sqrt{10}
  2. B636\sqrt{3}
  3. C737\sqrt{3}
  4. D838\sqrt{3}
  5. E10310\sqrt{3}
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. Her terim sadeleştirilir: 75=53\sqrt{75} = 5\sqrt{3}, 27=33\sqrt{27} = 3\sqrt{3}, 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
  2. Katsayılar işleme girer: (5+3−2)3=63(5 + 3 - 2)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: 3103\sqrt{10} kök içleri toplanıp çıkarılmış / 737\sqrt{3} 12\sqrt{12} yerine 3\sqrt{3} alınmış / 838\sqrt{3} çıkarma unutulmuş / 10310\sqrt{3} çıkarma yerine toplama yapılmış.

Soru 2

25−3+25+3\dfrac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \dfrac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} işleminin sonucu kaçtır?

  1. A52\dfrac{\sqrt{5}}{2}
  2. B5\sqrt{5}
  3. C232\sqrt{3}
  4. D252\sqrt{5}
  5. E454\sqrt{5}
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. İlk kesir: 25−3=2(5+3)5−3=5+3\dfrac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \dfrac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \sqrt{5} + \sqrt{3}.
  2. İkinci kesir: 25+3=5−3\dfrac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}.
  3. Toplam (5+3)+(5−3)=25(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{5}. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: 52\dfrac{\sqrt{5}}{2} payda 5+3=85 + 3 = 8 alınmış / 5\sqrt{5} payın 2 çarpanı unutulmuş / 232\sqrt{3} ikinci kesir çıkarılmış / 454\sqrt{5} paydadaki 2 ile sadeleştirme yapılmamış.

Soru 3

33+71\sqrt{33} + \sqrt{71} toplamının tam kısmı kaçtır?

  1. A10
  2. B12
  3. C13
  4. D14
  5. E15
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. 25<33<3625 < 33 < 36 olduğundan 5<33<65 < \sqrt{33} < 6 ve daha yakından 33≈5,74\sqrt{33} \approx 5{,}74.
  2. 64<71<8164 < 71 < 81 olduğundan 8<71<98 < \sqrt{71} < 9 ve 71≈8,43\sqrt{71} \approx 8{,}43.
  3. Toplam yaklaşık 14,1714{,}17 ve tam kısmı 14'tür. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: 10 kök içleri toplanmış (104\sqrt{104}) / 12 iki kök de 6 sanılmış / 13 kökler ayrı ayrı aşağı yuvarlanmış / 15 kökler ayrı ayrı yukarı yuvarlanmış.

Soru 4

17−122\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. A22−32\sqrt{2} - 3
  2. B3−223 - 2\sqrt{2}
  3. C3−23 - \sqrt{2}
  4. D5−225 - 2\sqrt{2}
  5. E3+223 + 2\sqrt{2}
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. 122=2⋅6212\sqrt{2} = 2 \cdot 6\sqrt{2} olduğundan ifade 17−2⋅62\sqrt{17 - 2 \cdot 6\sqrt{2}} biçimindedir.
  2. Kare toplamı 17 ve çarpımı 626\sqrt{2} olan iki sayı 3 ile 222\sqrt{2}'dir. Çünkü 32+(22)2=9+8=173^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 8 = 17.
  3. İfade (3−22)2=3−22\sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} = 3 - 2\sqrt{2} olur ve 3>223 > 2\sqrt{2} olduğundan pozitiftir. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: 22−32\sqrt{2} - 3 sonuç negatif bulunmuş / 3−23 - \sqrt{2} kökün katsayısı 2 unutulmuş / 5−225 - 2\sqrt{2} katsayılar ayrı işlenmiş / 3+223 + 2\sqrt{2} eşlenik işareti yanlış.

Kendini dene

Kendini dene

48\sqrt{48} ifadesini sadeleştir.

16⋅3=43\sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}.

3⋅12\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} kaçtır?

36=6\sqrt{36} = 6.

105\dfrac{10}{\sqrt{5}} ifadesinin paydasını kökten kurtar.

1055=25\dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}.

7+210\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} ifadesini sadeleştir.

Toplamı 7, çarpımı 10 olan sayılar 5 ve 2'dir. Sonuç 5+2\sqrt{5} + \sqrt{2}.

(−4)2\sqrt{(-4)^2} kaçtır?

16=4\sqrt{16} = 4. Karekök negatif olmaz.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Temel Matematik dersinin diğer konuları