Yolumnet

TYT · Temel Matematik

Çarpanlara Ayırma

Yaklaşık 13 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-11-13

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak, onu çarpım biçiminde yazmaktır. Sadeleştirme, denklem çözme, değer hesaplama ve büyük sayılarla işlem yapma sorularının çoğunun arkasında çarpanlara ayırma vardır. 20252−202322025^2 - 2023^2 gibi bir işlemi hesap makinesiz saniyeler içinde çözmek bu konunun gücüdür. Bu konuda özdeşlikleri, üç terimlilerin ayrılmasını ve değer sorularında özdeşlik kullanmayı öğreneceksin.

Hedefler

  1. Ortak çarpan parantezine alma ve gruplama yöntemlerini uygulamak.
  2. İki kare farkı, tam kare ve küp özdeşliklerini kullanmak.
  3. x2+bx+cx^2 + bx + c ve ax2+bx+cax^2 + bx + c üç terimlilerini çarpanlarına ayırmak.
  4. Özdeşliklerle sayısal hesapları kolaylaştırmak.
  5. x+1xx + \dfrac{1}{x} ve a+ba + b, a⋅ba \cdot b verilen sorularda özdeşliği kullanmak.
Çarpanlara Ayırma · Yaşar Hoca MathMan
Çarpanlara Ayırma · MathBurger

1. Ortak çarpan ve gruplama

Her terimde bulunan ortak çarpan parantezin dışına alınır.

6x3−9x2=3x2(2x−3)6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x - 3)

Gruplama: Dört terimli ifadede terimler ikişerli gruplanıp ortak çarpan alınır.

ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)

2. Özdeşlikler

Aşağıdaki özdeşlikler her aa ve bb değeri için doğrudur.

Özdeşlik Adı
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) İki kare farkı
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 Toplamın karesi
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 Farkın karesi
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) Küp farkı
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) Küp toplamı
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 Toplamın küpü
Kenarı a artı b olan karenin alanı, a kare, iki tane ab ve b kare parçalarına ayrılmıştır
Toplamın karesinin alan modeli · İzlek

Resimde (a+b)2(a + b)^2 kenarı a+ba + b olan karenin alanıdır. Bu alan a2a^2, iki tane abab ve b2b^2 parçalarından oluşur. Bu yüzden ortadaki terim 2ab2ab'dir ve onu yazmayı unutmak çok yapılan bir hatadır.

Dikkat: (a+b)2≠a2+b2(a + b)^2 \neq a^2 + b^2 ve a2+b2a^2 + b^2 gerçek sayılarda çarpanlarına ayrılmaz.

3. Üç terimli ifadeler

x2+bx+cx^2 + bx + c biçimi. Çarpımı cc, toplamı bb olan iki sayı bulunur.

x2−5x+6=(x−2)(x−3)(c¸arpım 6, toplam −5)x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \qquad (\text{çarpım } 6, \text{ toplam } -5)

ax2+bx+cax^2 + bx + c biçimi. Çapraz çarpma ile ayrılır. 2x2+5x+22x^2 + 5x + 2 için 2x⋅x2x \cdot x ve 1⋅21 \cdot 2 çaprazlarının toplamı 4x+x=5x4x + x = 5x olur. Sonuç (2x+1)(x+2)(2x + 1)(x + 2).

Tam kare üç terimli. İlk ve son terim tam kareyse ve ortadaki terim bunların çarpımının 2 katıysa tam karedir: x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2.

Örnek. x2−5x+6x2−4\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} ifadesinin x=8x = 8 için değerini bulalım.

(x−2)(x−3)(x−2)(x+2)=x−3x+2\dfrac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{x - 3}{x + 2}

x=8x = 8 için 510=12\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}. Sadeleşebilmek için çarpan olması gerektiğini unutma. Terimleri ayrı ayrı sadeleştirmek yanlıştır.

4. Büyük sayılarla hesap

İki kare farkı sayısal hesapları saniyelere indirir.

20252−20232=(2025−2023)(2025+2023)=2⋅4048=80962025^2 - 2023^2 = (2025 - 2023)(2025 + 2023) = 2 \cdot 4048 = 8096

1012−992=2⋅200=400101^2 - 99^2 = 2 \cdot 200 = 400

Tam kareler için de bir sayıyı yuvarlağa yaklaştırırsın: 10022=(1000+2)2=1000000+4000+4=10040041002^2 = (1000 + 2)^2 = 1000000 + 4000 + 4 = 1004004. Ya da 51⋅49=(50+1)(50−1)=2500−1=249951 \cdot 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 2500 - 1 = 2499.

5. Değer soruları

Soruda "a+ba + b ve a⋅ba \cdot b verildi, şunun değeri nedir?" ya da "x+1xx + \dfrac{1}{x} verildi" diye sorular çıkar. Özdeşliği parçalayıp istediğin ifadeye getirirsin.

Örnek. x+1x=5x + \dfrac{1}{x} = 5 ise x2+1x2x^2 + \dfrac{1}{x^2} kaçtır?

(x+1x)2=x2+2⋅x⋅1x+1x2=x2+2+1x2\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}

25=x2+2+1x225 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} olduğundan x2+1x2=23x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 23 bulunur.

Örnek. a−b=3a - b = 3 ve a⋅b=10a \cdot b = 10 ise a3−b3a^3 - b^3 kaçtır? Küp farkı özdeşliğinde a2+ab+b2=(a−b)2+3aba^2 + ab + b^2 = (a - b)^2 + 3ab yazılır.

a3−b3=(a−b)[(a−b)2+3ab]=3⋅(9+30)=117a^3 - b^3 = (a - b)\left[(a - b)^2 + 3ab\right] = 3 \cdot (9 + 30) = 117

Kontrol: a=5a = 5 ve b=2b = 2 alınır. 53−23=125−8=1175^3 - 2^3 = 125 - 8 = 117.

6. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Ortak çarpan En büyük ortak ifadeyi dışarı al
a2−b2a^2 - b^2 (a−b)(a+b)(a - b)(a + b)
(a±b)2(a \pm b)^2 a2±2ab+b2a^2 \pm 2ab + b^2
a3±b3a^3 \pm b^3 (a±b)(a2∓ab+b2)(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)
x2+bx+cx^2 + bx + c Çarpımı cc, toplamı bb olan iki sayı
(x+1/x)2(x + 1/x)^2 x2+2+1/x2x^2 + 2 + 1/x^2
a3−b3a^3 - b^3 (a−b)[(a−b)2+3ab](a - b)[(a - b)^2 + 3ab]

Mini test

Soru 1

10122−98821012^2 - 988^2 işleminin sonucu kaçtır?

  1. A24
  2. B576
  3. C2000
  4. D24000
  5. E48000
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. İki kare farkı: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).
  2. (1012−988)(1012+988)=24⋅2000(1012 - 988)(1012 + 988) = 24 \cdot 2000.
  3. Sonuç 4800048000 olur. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: 24 yalnızca a−ba - b alınmış / 576 (a−b)2(a - b)^2 hesaplanmış / 2000 yalnızca a+ba + b alınmış / 24000 sonuç yarıya bölünmüş.

Soru 2

x=7x = 7 için x2−x−12x2−9\dfrac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9} ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A12\dfrac{1}{2}
  2. B35\dfrac{3}{5}
  3. C34\dfrac{3}{4}
  4. D54\dfrac{5}{4}
  5. E43\dfrac{4}{3}
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. Payı ve paydayı çarpanlarına ayır: x2−x−12=(x−4)(x+3)x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) ve x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).
  2. Ortak çarpan (x+3)(x + 3) sadeleşir: x−4x−3\dfrac{x - 4}{x - 3}.
  3. x=7x = 7 için 34\dfrac{3}{4}. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 12\dfrac{1}{2} x−3x - 3 yerine x−1x - 1 alınmış / 35\dfrac{3}{5} x−3x - 3 yerine x−2x - 2 alınmış / 54\dfrac{5}{4} x−4x - 4 yerine x−2x - 2 alınmış / 43\dfrac{4}{3} pay ile payda yer değiştirmiş.

Soru 3

x−1x=4x - \dfrac{1}{x} = 4 olduğuna göre x2+1x2x^2 + \dfrac{1}{x^2} ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A8
  2. B14
  3. C16
  4. D17
  5. E18
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. Verilen eşitliğin karesi alınır: (x−1x)2=x2−2+1x2\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2}.
  2. 16=x2−2+1x216 = x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} olduğundan x2+1x2=18x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 18 olur. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: 8 2⋅42 \cdot 4 hesaplanmış / 14 2 çıkarılmış / 16 2 eklemek unutulmuş / 17 işlem hatasıyla bir eksik bulunmuş.

Soru 4

a+b=7a + b = 7 ve a⋅b=10a \cdot b = 10 olduğuna göre a3+b3a^3 + b^3 ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A49
  2. B70
  3. C133
  4. D203
  5. E273
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

  1. a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) ve a2+b2=(a+b)2−2ab=49−20=29a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 49 - 20 = 29.
  2. a2−ab+b2=29−10=19a^2 - ab + b^2 = 29 - 10 = 19.
  3. a3+b3=7⋅19=133a^3 + b^3 = 7 \cdot 19 = 133. Doğru cevap C.

Diğer şıklar: 49 (a+b)2(a + b)^2 alınmış / 70 ab(a+b)ab(a + b) alınmış / 203 a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 yerine a2+b2a^2 + b^2 kullanılmış / 273 küp farkı özdeşliği karıştırılmış.

Kendini dene

Kendini dene

x2−16x^2 - 16 ifadesini çarpanlarına ayır.

(x−4)(x+4)(x - 4)(x + 4).

x2+8x+16x^2 + 8x + 16 ifadesini çarpanlarına ayır.

(x+4)2(x + 4)^2.

1012−992101^2 - 99^2 işlemini kolay yoldan yap.

(101−99)(101+99)=2⋅200=400(101 - 99)(101 + 99) = 2 \cdot 200 = 400.

a+b=6a + b = 6 ve a⋅b=8a \cdot b = 8 ise a2+b2a^2 + b^2 kaçtır?

(a+b)2−2ab=36−16=20(a + b)^2 - 2ab = 36 - 16 = 20.

x2−7x+12x^2 - 7x + 12 ifadesini çarpanlarına ayır.

Çarpımı 12, toplamı −7-7 olan sayılar −3-3 ve −4-4. Sonuç (x−3)(x−4)(x - 3)(x - 4).

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Temel Matematik dersinin diğer konuları