Oran ve Orantı

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir yemek tarifini 4 kişiden 10 kişiye çevirmek, harita ölçeğiyle gerçek uzaklığı bulmak ya da bir işi daha fazla işçiyle ne kadar kısa sürede bitirebileceğini hesaplamak, hepsi oran ve orantıdır. TYT'de oran-orantı hem kendi başına hem de problemlerin altyapısı olarak sorulur. Bu konuda oran ve orantı kavramını, doğru ve ters orantıyı, orantı sabitini ve orantılı bölmeyi öğreneceksin.

1. Oran

İki çokluğun bölümüne oran denir. $a$ ile $b$'nin oranı $\dfrac{a}{b}$ ya da $a : b$ biçiminde yazılır. Oran birimsizdir ve aynı türden büyüklükler arasında kurulur.

Örneğin sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci varsa kızların erkeklere oranı $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$'tür.

2. Orantı

İki oranın eşitliğine orantı denir:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

Orantının özellikleri ($b, d$ sıfırdan farklı):

Örnek. $\dfrac{4}{6} = \dfrac{8}{12}$ için $4 \cdot 12 = 48$ ve $6 \cdot 8 = 48$ olur.

$k$ ile çözüm

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4}$ ve $a + b = 56$ ise $a = 3k$, $b = 4k$ yazılır. $3k + 4k = 56$ ve $k = 8$. Sonuç $a = 24$ ve $b = 32$.

Birden çok oranı aynı değişkene bağlayabilirsin: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = k$ yazarsan $x = 3k$, $y = 4k$, $z = 5k$ olur.

3. Doğru orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa doğru orantılıdır. Oranları sabittir:

$\dfrac{y}{x} = k \quad (\text{sabit})$

Örnek: Bir kilo elmanın fiyatı sabitse alınan kilo ile ödenen para doğru orantılıdır. 3 kg için 60 lira ödeniyorsa 4 kg için $60 \cdot \dfrac{4}{3} = 80$ lira ödenir.

4. Ters orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ters orantılıdır. Çarpımları sabittir:

$x \cdot y = k \quad (\text{sabit})$

Örnek: İş sabitse işçi sayısı arttıkça günler azalır. 12 işçi bir işi 15 günde bitiriyorsa toplam iş $12 \cdot 15 = 180$ işçi-günüdür. 18 işçi aynı işi $\dfrac{180}{18} = 10$ günde bitirir.

Dikkat: Ters orantıda cevabı doğru orantı gibi çarparsan yanlış çıkar. $15 \cdot \dfrac{18}{12} = 22{,}5$ olurdu ve işçi arttığı hâlde gün arttı sonucuna varırdın. Mantık kontrolü: İşçi arttıysa süre kısalmalı.

Grafikte gör

Doğru ve ters orantıyı karşılaştır. $x$ iki katına çıkınca $y$ bir durumda iki katına çıkar, ötekinde yarıya iner.

5. Üç değişkenli oranlar

$a : b = 2 : 3$ ve $b : c = 4 : 5$ ise $a : b : c$ oranını bulmak için ortak terim olan $b$'yi eşitle. $b$ için 3 ve 4'ün EKOK'u 12'dir.

• $a : b = 2 : 3 = 8 : 12$
• $b : c = 4 : 5 = 12 : 15$

Sonuç $a : b : c = 8 : 12 : 15$ olur. $a + b + c = 140$ ise toplam parça $8 + 12 + 15 = 35$ ve $k = \dfrac{140}{35} = 4$. $a = 32$, $b = 48$, $c = 60$.

6. Orantılı bölme

Bir miktarı verilen oranlarda paylaştırma sorularıdır.

Örnek. 200 lira, üç kardeşe 2 : 3 : 5 oranında bölünecek. Parçalar $2k$, $3k$, $5k$ ve toplam $10k = 200$ olduğundan $k = 20$. Kardeşler 40, 60 ve 100 lira alır.

Ters orantılı bölme. Oran $2 : 3 : 4$ ile ters orantılı bölünecekse $\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{4}$ yazılır. Paydaların EKOK'u 12 ile genişletilir: $6 : 4 : 3$.

7. Bileşik orantı

Üç ya da daha fazla çokluk birbirine bağlı olduğunda her çoklukla ayrı ayrı orantının yönüne bak.

Örnek. 6 işçi günde 8 saat çalışarak bir işi 10 günde bitiriyor. 8 işçi günde 6 saat çalışırsa aynı işi kaç günde bitirir?

İş sabit. Toplam iş $6 \cdot 8 \cdot 10 = 480$ işçi-saat'tir. Yeni durumda günlük işçi-saat $8 \cdot 6 = 48$ ve gün sayısı $\dfrac{480}{48} = 10$ olur.

8. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.