Yolumnet

TYT · Temel Matematik

Üslü Sayılar

Yaklaşık 14 dakikalık okuma · Son güncelleme 2026-10-23

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir bakteri her saat ikiye bölünüyorsa 10 saat sonra kaç bakteri olur? 210=10242^{10} = 1024. Üslü sayılar hızlı büyümeyi ve çok küçük ya da çok büyük değerleri kısa yazmayı sağlar. TYT'de bu konu iki ana yolla sorulur: tabanı eşitleyerek karşılaştırma, denklem çözme ve birler basamağı bulma. Bu konuda üs kurallarını, negatif ve sıfır üssü, üslü denklemleri ve birler basamağı döngülerini öğreneceksin.

Hedefler

  1. Üslü ifadelerin tanımını ve temel üs kurallarını uygulamak.
  2. Sıfırıncı ve negatif üssü yorumlamak.
  3. Tabanı eşitleyerek üslü ifadeleri sadeleştirmek ve karşılaştırmak.
  4. Üslü denklemleri çözmek.
  5. Birler basamağını döngü yöntemiyle bulmak.
Üslü Sayılar · Matematiğin Güler Yüzü

1. Tanım ve temel kurallar

ana^n ifadesinde aa taban, nn üstür. nn pozitif tam sayı ise aa'yı nn kez kendisiyle çarp.

an=a⋅a⋯a⏟n tanea^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ tane}}

Temel kurallar (aa ve bb sıfırdan farklı):

Kural Örnek
am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} 23⋅24=272^3 \cdot 2^4 = 2^7
aman=am−n\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} 5652=54\dfrac{5^6}{5^2} = 5^4
(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n} (32)4=38(3^2)^4 = 3^8
(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n (2⋅5)3=23⋅53(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3
(ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} (23)2=49\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}
a0=1a^0 = 1 70=17^0 = 1
a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n} 2−3=182^{-3} = \dfrac{1}{8}

Dikkat edilecek üç nokta:

  • am⋅ana^m \cdot a^n ile (am)n(a^m)^n farklıdır. Birinde üsler toplanır, diğerinde çarpılır. (52)3=56(5^2)^3 = 5^6 iken 523=585^{2^3} = 5^8.
  • Toplama ve çıkarma için kural yoktur. 23+242^3 + 2^4 ifadesi 272^7 değildir. Ortak çarpan parantezine alırsın: 23(1+2)=242^3(1 + 2) = 24.
  • 000^0 tanımsızdır, 0n=00^n = 0 (n>0n > 0).

Negatif tabanlı ifadeler

  • Eksi işaretli taban parantez içindeyse üssün içine girer: (−3)4=81(-3)^4 = 81 ve (−2)3=−8(-2)^3 = -8.
  • Parantez yoksa eksi, üssün dışındadır: −34=−81-3^4 = -81.
  • Negatif tabanın üssü çiftse sonuç pozitif, tekse negatiftir.

2. Tabanı eşitleme

Örnek. 25⋅4382\dfrac{2^5 \cdot 4^3}{8^2} ifadesini bulalım. 4=224 = 2^2 ve 8=238 = 2^3 yazılır: 43=264^3 = 2^6 ve 82=268^2 = 2^6.

25⋅2626=25=32\dfrac{2^5 \cdot 2^6}{2^6} = 2^5 = 32

Üslü ifadeleri karşılaştırma

Tabanları eşitleyemiyorsan üsleri eşitle. a=240a = 2^{40}, b=330b = 3^{30} ve c=520c = 5^{20} sayılarını sıralayalım. Üsleri 10'a göre eşitleriz:

a=(24)10=1610b=(33)10=2710c=(52)10=2510a = (2^4)^{10} = 16^{10} \qquad b = (3^3)^{10} = 27^{10} \qquad c = (5^2)^{10} = 25^{10}

Üsler aynı olduğuna göre tabanı büyük olan büyüktür. 16<25<2716 < 25 < 27 olduğundan a<c<ba < c < b.

3. Üslü denklemler

Taban aynıysa üsler eşittir (a>0a > 0 ve a≠1a \neq 1): ax=aya^x = a^y ise x=yx = y.

Örnek. 2x+3−2x=1122^{x+3} - 2^x = 112 denklemini çözelim. Ortak çarpan 2x2^x:

2x(23−1)=112⇒2x⋅7=112⇒2x=16=242^x(2^3 - 1) = 112 \Rightarrow 2^x \cdot 7 = 112 \Rightarrow 2^x = 16 = 2^4

x=4x = 4 bulunur. Kontrol: 27−24=128−16=1122^7 - 2^4 = 128 - 16 = 112.

Aynı üslü toplamlar. 210+210=2⋅210=2112^{10} + 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2^{11} ve 35+35+35=3⋅35=363^5 + 3^5 + 3^5 = 3 \cdot 3^5 = 3^6. Aynı terim kaç tane varsa tabanın o kadarı çarpılır.

4. Birler basamağı

Bir üslü sayının birler basamağı, üs arttıkça belirli bir döngüyle tekrar eder. Döngüleri bilirsen devasa sayıların son rakamı hesaplanır.

Taban birler rakamı Birler basamağı (üs 1, 2, 3, ... için) Döngü uzunluğu
0, 1, 5, 6 Hep aynı (0, 1, 5, 6) 1
4 4, 6, 4, 6, ... 2
9 9, 1, 9, 1, ... 2
2 2, 4, 8, 6, 2, 4, ... 4
3 3, 9, 7, 1, 3, 9, ... 4
7 7, 9, 3, 1, 7, 9, ... 4
8 8, 4, 2, 6, 8, 4, ... 4

Yöntem: Üssü döngü uzunluğuna böl, kalana bak. Kalan 0 ise döngünün son değeri alınır.

Örnek. 72024+320257^{2024} + 3^{2025} toplamının birler basamağını bulalım.

  • 7'nin döngüsü 7, 9, 3, 1 (uzunluk 4). 2024=4⋅5062024 = 4 \cdot 506 olduğundan kalan 0 ve son değer 1.
  • 3'ün döngüsü 3, 9, 7, 1 (uzunluk 4). 2025=4⋅506+12025 = 4 \cdot 506 + 1 olduğundan kalan 1 ve ilk değer 3.
  • Toplam 1+3=41 + 3 = 4. Birler basamağı 4.

5. Konuyu toparla

Başlık Kısa not
Çarpma Üsler toplanır
Bölme Üsler çıkarılır
Üssün üssü Üsler çarpılır
a0a^0 1 (a≠0a \neq 0)
a−na^{-n} 1an\dfrac{1}{a^n}
Toplama ve çıkarma Ortak çarpan parantezine al
Karşılaştırma Tabanı ya da üssü eşitle
Birler basamağı Döngü, kalan 0 ise son değer

Mini test

Soru 1

34⋅92272\dfrac{3^4 \cdot 9^2}{27^2} işleminin sonucu kaçtır?

  1. A3
  2. B9
  3. C10
  4. D27
  5. E81
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

  1. 9=329 = 3^2 ve 27=3327 = 3^3 olduğundan 92=349^2 = 3^4 ve 272=3627^2 = 3^6.
  2. 34⋅3436=38−6=32\dfrac{3^4 \cdot 3^4}{3^6} = 3^{8 - 6} = 3^2.
  3. 32=93^2 = 9 olur. Doğru cevap B.

Diğer şıklar: 3 üsler yanlış çıkarılmış / 10 işlem hatasıyla bir fazla bulunmuş / 27 üslerin toplamı yanlış hesaplanmış / 81 27227^2 ile sadeleşme yapılmamış.

Soru 2

2x+1+2x+2x−1=562^{x+1} + 2^x + 2^{x-1} = 56 olduğuna göre xx kaçtır?

  1. A4
  2. B5
  3. C6
  4. D7
  5. E8
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: A

  1. Ortak çarpan 2x−12^{x-1} alınır: 2x−1(22+2+1)=562^{x-1}(2^2 + 2 + 1) = 56.
  2. 2x−1⋅7=562^{x-1} \cdot 7 = 56 ve 2x−1=8=232^{x-1} = 8 = 2^3.
  3. x−1=3x - 1 = 3 ve x=4x = 4. Kontrol: 25+24+23=32+16+8=562^5 + 2^4 + 2^3 = 32 + 16 + 8 = 56. Doğru cevap A.

Diğer şıklar: 5 işlem hatasıyla bir fazla bulunmuş / 6 işlem hatasıyla iki fazla bulunmuş / 7 7⋅2x−1=567 \cdot 2^{x-1} = 56 denkleminden 7 alınmış / 8 2x−1=82^{x-1} = 8 değeri sonuç sanılmış.

Soru 3

a=350a = 3^{50}, b=530b = 5^{30} ve c=280c = 2^{80} olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

  1. Aa<b<ca < b < c
  2. Bc<a<bc < a < b
  3. Cc<b<ac < b < a
  4. Da<c<ba < c < b
  5. Eb<a<cb < a < c
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: E

  1. Üsler 10'a eşitlenir: a=(35)10=24310a = (3^5)^{10} = 243^{10}, b=(53)10=12510b = (5^3)^{10} = 125^{10}, c=(28)10=25610c = (2^8)^{10} = 256^{10}.
  2. Üsler aynı olduğundan tabanı büyük olan büyüktür: 125<243<256125 < 243 < 256.
  3. Sıralama b<a<cb < a < c olur. Doğru cevap E.

Diğer şıklar: a<b<ca < b < c yalnızca tabanlara bakılmış / c<a<bc < a < b üsler eşitlenmeden tahmin edilmiş / c<b<ac < b < a sıralama tersten yazılmış / a<c<ba < c < b iki sayının yeri karıştırılmış.

Soru 4

82023+42024+920258^{2023} + 4^{2024} + 9^{2025} toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?

  1. A1
  2. B3
  3. C5
  4. D7
  5. E9
Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: D

  1. 8'in birler basamağı döngüsü 8, 4, 2, 6'dır. 2023=4⋅505+32023 = 4 \cdot 505 + 3 ve kalan 3 olduğundan üçüncü değer 2 alınır.
  2. 4'ün döngüsü 4, 6'dır. 20242024 çift olduğundan birler basamağı 6.
  3. 9'un döngüsü 9, 1'dir. 20252025 tek olduğundan birler basamağı 9.
  4. Birler basamağı 2+6+9=172 + 6 + 9 = 17'nin 7'si, yani 7 olur. Doğru cevap D.

Diğer şıklar: 1 820238^{2023} için 6 alınmış / 3 820238^{2023} için 8 alınmış / 5 420244^{2024} için 4 alınmış / 9 820238^{2023} için 4 alınmış.

Kendini dene

Kendini dene

35⋅9227\dfrac{3^5 \cdot 9^2}{27} işleminin sonucu kaçtır?

92=349^2 = 3^4 ve 27=3327 = 3^3. 35⋅3433=36=729\dfrac{3^5 \cdot 3^4}{3^3} = 3^6 = 729.

2−3+2−22^{-3} + 2^{-2} toplamı kaçtır?

18+14=38\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8}.

5x=1255^x = 125 ise xx kaçtır?

125=53125 = 5^3 olduğundan x=3x = 3.

−24-2^4 ile (−2)4(-2)^4 değerlerini yaz.

−24=−16-2^4 = -16 ve (−2)4=16(-2)^4 = 16.

220252^{2025} sayısının birler basamağı kaçtır?

2025=4⋅506+12025 = 4 \cdot 506 + 1 ve 2'nin döngüsünde kalan 1 ilk değer olan 2'yi verir. Birler basamağı 2.

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.

Temel Matematik dersinin diğer konuları