Rasyonel Sayılar

Bu konuda ne öğreneceksin

Pizzanın yarısı, bir saatin çeyreği, yüzde yirmi indirim: Hepsi rasyonel sayıdır. TYT'de ise bu sayıları karşılaştırmak, sıralamak, işlem yapmak ve ondalık yazılımla kesir arasında geçiş yapmak istenir. Konu kolay görünür ama işlem hatası çok yapıldığından soruların çoğu dikkat sorusudur.

1. Kesir türleri

$\dfrac{a}{b}$ kesrinde $a$ paydır, $b$ paydadır ve $b \neq 0$ olmalıdır.

Tam sayılı kesir ile bileşik kesir arasında geçiş:

$2\dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3} \qquad \dfrac{23}{4} = 5 + \dfrac{3}{4} = 5\dfrac{3}{4}$

2. Denk kesirler

Pay ve payda aynı sayıyla çarpılırsa ya da bölünürse kesrin değeri değişmez. Çarparsan genişletme, bölersen sadeleştirme olur.

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{8}{12}$

Sadeleştirmede yapılan en sık hata, toplama işareti varken terimleri ayrı ayrı sadeleştirmektir. $\dfrac{2a + b}{a + b}$ ifadesinde $a$ ve $b$ sadeleşmez. Yalnızca çarpan olan ortak ifadeler sadeleşir.

3. Rasyonel sayıları sıralama

İki kesri karşılaştırmanın üç yolu vardır.

Yol 1: Paydaları eşitle. $\dfrac{3}{4}$ ve $\dfrac{5}{7}$ için paydaları 28 yapınca $\dfrac{21}{28}$ ve $\dfrac{20}{28}$ olur. İlki büyüktür.

Yol 2: Çapraz çarpım. $\dfrac{a}{b}$ ve $\dfrac{c}{d}$ için ($b, d > 0$) $a \cdot d$ ile $c \cdot b$ karşılaştırılır. $\dfrac{3}{4}$ ve $\dfrac{5}{7}$ için $3 \cdot 7 = 21$ ve $5 \cdot 4 = 20$. Büyük çıkan, soldaki kesri büyük yapar.

Yol 3: Bire tamamlama. Payı paydadan 1 eksik olan kesirlerde (örneğin $\dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{5}{6}$) paydası büyük olan daha büyüktür, çünkü bire daha yakındır.

Pozitif kesirlerde pay eşitse paydası büyük olan küçüktür: $\dfrac{3}{5} < \dfrac{3}{4}$. Payda eşitse payı büyük olan büyüktür.

Örnek. $a = \dfrac{5}{8}$, $b = \dfrac{7}{12}$, $c = \dfrac{11}{18}$ sayılarını sıralayalım. Ortak payda 72: $a = \dfrac{45}{72}$, $b = \dfrac{42}{72}$, $c = \dfrac{44}{72}$. Sıralama $b < c < a$ olur.

4. Dört işlem

Toplama ve çıkarma: Paydalar eşitlenir, paylar işleme girer, payda aynen yazılır.

$\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}$

Çarpma: Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Çapraz sadeleştirme işi kolaylaştırır.

$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \dfrac{3}{2}$

Bölme: Bölen kesir ters çevrilip çarpılır.

$\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{9} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{10} = \dfrac{3}{4}$

5. Ondalık sayıları kesre çevirme

Sonlu ondalık sayılar: Virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfırlı bir paydaya yazılır. $0{,}125 = \dfrac{125}{1000} = \dfrac{1}{8}$.

Devirli ondalık sayılar: Devreden kısım üstü çizili yazılır. Çevirme kuralı şudur:

$\text{Pay} = (\text{tüm rakamlar}) - (\text{devretmeyen kısım})$

$\text{Payda} = \text{devreden basamak sayısı kadar 9, ardından devretmeyen basamak sayısı kadar 0}$

Örnekler.

• $0{,}\overline{3} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$
• $0{,}\overline{45} = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$
• $1{,}\overline{7} = \dfrac{17 - 1}{9} = \dfrac{16}{9}$
• $0{,}1\overline{6}$ sayısında devretmeyen kısım 1, tüm rakamlar 16. Pay $16 - 1 = 15$ ve payda 90. Sonuç $\dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$.

6. Oran içeren ifadelerde sabit seçmek

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{5}$ verildiğinde $a$ ile $b$'yi doğrudan bulamazsın. Ama $a = 3k$ ve $b = 5k$ yazabilirsin ($k$ sıfırdan farklı). İfadeyi $k$ ile hesaplarsın ve $k$ sadeleşir.

Örnek. $\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{5}$ ise $\dfrac{2a + b}{a + b}$ değerini bulalım.

$\dfrac{2 \cdot 3k + 5k}{3k + 5k} = \dfrac{11k}{8k} = \dfrac{11}{8}$

7. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.