Bölme ve Bölünebilme

Bu konuda ne öğreneceksin

Bir sayıyı başka bir sayıya bölüp kalanı bulmak, ilk bakışta basit görünür. TYT'de ise bu konu çok işe yarar: sayıların yapısını, rakam bulma sorularını ve gün, hafta, saat gibi periyodik problemleri kalanla çözersin. Bu konuda bölme algoritmasını, bölünebilme kurallarını ve kalan hesabının püf noktalarını öğreneceksin.

1. Bölme algoritması

$a$ sayısı $b$ sayısına bölündüğünde bölüm $q$, kalan $r$ ise

$a = b \cdot q + r \qquad 0 \leq r < b$

yazılır. Burada $b$ bölen, $q$ bölüm, $r$ kalandır.

Örnek. Bir sayının 7'ye bölümünden bölüm 12, kalan 5 ise sayı $7 \cdot 12 + 5 = 89$ olur.

Üç temel sonuç:

• $r = 0$ ise $a$, $b$'ye tam bölünür, yani $b$, $a$'nın bir çarpanıdır.
• Bir sayının 5'e bölümünden kalan 3 ise sayı $5k + 3$ biçimindedir. Böyle sayılar 3, 8, 13, 18, ... diye gider.
• Sayıya $(b - r)$ eklenirse $b$'ye tam bölünür. Örneğin 5'e bölümünden kalan 3 olan bir sayıya 2 eklenirse 5'in katı olur. Bu fikir "kalan eksik tamamlama" sorularının anahtarıdır.

2. Bölünebilme kuralları

Bir sayıyı bölmeden, hangi sayılara tam bölündüğünü anlamanın yolları vardır.

11 kuralını bir örnekle gösterelim. 918082 sayısında sağdan sola: $2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22$. $-22$, 11'in katı olduğundan sayı 11'e bölünür.

Birleşik kurallar. 6, 12, 15, 18, 24 gibi bileşik sayıların kuralı, aralarında asal çarpanlarına ayrılarak bulunur. 12'ye bölünmek için hem 3'e hem 4'e bölünmek gerekir. 6'ya bölünmek için hem 2'ye hem 3'e. Ama 12'ye bölünmek için "2'ye ve 6'ya bölünmek" yeterli değildir, çünkü 2 ile 6 aralarında asal değildir.

Rakam bulma soruları

Örnek. $\overline{5a8b}$ dört basamaklı sayısı 45'e bölünebiliyorsa $a + b$ en çok kaç olabilir?

45 = 5 · 9 ve 5 ile 9 aralarında asaldır. Sayı hem 5'e hem 9'a bölünmelidir.

• 5'e bölünmek için $b = 0$ ya da $b = 5$.
• 9'a bölünmek için $5 + a + 8 + b = 13 + a + b$ toplamı 9'un katı olmalı. Yani $a + b$, $9k - 13$ biçiminde olmalı. Rakamlar için $a + b \leq 18$ olduğundan $a + b = 5$ ya da $a + b = 14$ olabilir.
• $b = 0$ ise $a = 5$. $b = 5$ ise $a = 0$ ya da $a = 9$.

Üç çözüm vardır: 5580, 5085, 5985. $a + b$ en çok $9 + 5 = 14$ olur.

3. Kalanlarla işlem

Kalanlarla ilgili üç kural çok kullanılır.

Toplama. İki sayının toplamının kalanı, kalanların toplamının kalanıdır.

Çarpma. İki sayının çarpımının kalanı, kalanların çarpımının kalanıdır.

Üs. Bir sayının üssünün kalanı, kalanın üssünün kalanıdır.

Örnek. 47 ile 53'ün çarpımının 10'a bölümünden kalanı bulalım. 47'nin kalanı 7, 53'ün kalanı 3 olduğundan $7 \cdot 3 = 21$ ve 21'in 10'a bölümünden kalan 1'dir. Gerçekten de $47 \cdot 53 = 2491$ ve son rakamı 1'dir.

Örnek. Bir $x$ sayısının 7'ye bölümünden kalan 4 ise $x^2 + 2x$ sayısının 7'ye bölümünden kalanı bulalım.

• $x^2$ için kalan: $4^2 = 16$ ve 16'nın 7'ye bölümünden kalan 2.
• $2x$ için kalan: $2 \cdot 4 = 8$ ve 8'in 7'ye bölümünden kalan 1.
• Toplam kalan: $2 + 1 = 3$.

4. İki kalan koşulu birlikte

Örnek. Bir $x$ sayısının 6'ya bölümünden kalan 4, 8'e bölümünden kalan 6 ise $x$'in 24'e bölümünden kalanı bulalım.

Kalanlar bölenlerden 2 eksik ($6 - 4 = 2$ ve $8 - 6 = 2$). Yani $x + 2$ hem 6'ya hem 8'e tam bölünür. $x + 2$, 6 ve 8'in ortak katı olmalıdır. EKOK(6, 8) = 24 olduğundan $x + 2 = 24k$ ve $x = 24k - 2$ olur. 24'e bölümünden kalan $24 - 2 = 22$'dir.

Bu koşulları sağlayan en küçük üç basamaklı sayı $24k - 2 \geq 100$ eşitsizliğinden $k = 5$ için $118$ olur. Kontrol: $118 = 6 \cdot 19 + 4$ ve $118 = 8 \cdot 14 + 6$.

5. Konuyu toparla

Mini test

Kendini dene

Yanlış yaptığın soruları yanlış soru defterine ekleyebilirsin. Birkaç gün sonra tekrar karşına çıkar.